Економіко-математичне моделювання

( )
( )
438
( )
( )
⎧⎪ cov x,u ⎫⎪ ⎧⎪cov x,u ⎫⎪
M{} b = M ⎨β+ ⎬=β+ M ⎨ ⎬.
(15.37)
⎪⎩ var x ⎪⎭ ⎪⎩ var x ⎪⎭
Далі використаємо (15.36) і припустимо, що х – невипадкова
величина. Тоді можна вважати Var(x) відомою сталою величиною і,
таким чином,
1
M{} b =β+ M{ cov( x,u)
} =β. (15.38)
var ( x)
Отже, b – незміщена оцінка β.
Незміщеність є мінімальною вимогою, яка ставиться до оцінки
параметра β. Якщо оцінка незміщена, то при багаторазовому
повторенні випадкової вибірки, навіть якщо для окремих вибірок,
можливо, були помилки оцінки (помилка b–β є випадковою
величиною), середнє значення цих помилок дорівнює нулю. Різниця
між математичним сподіванням оцінки та кількісним значенням
оціненого параметра θ = M(b) – β називається зміщенням оцінки. На
відміну від помилки оцінки зміщення є сталою величиною.
Так само можна довести, що величина а буде незміщеною
оцінкою для α. Для цього використаємо (15.15):
M {} a = M{
y − bx}
= M{
y}
− xM
{ b}
. (15.39)
Оскільки, у визначається з допомогою (15.1), тоді
M y = M α + βx
+ u = α + βx
+ M u = α + βx
, (15.40)
{ } { } ( ) i i
i
i
i
i
так як згідно з першою умовою Гаусса-Маркова { }
i
Отже,
M u =0.
M { y} = α+β x.
(15.41)
Підставимо цей вираз у (15.39) і скористаємось тим, що
b = , дістанемо:
M{ } β
M{ a} = ( α+βx) −β x =α ,
що і потрібно було довести.
(15.42)
Наступною властивістю оцінки є її обґрунтованість. Вибіркова
оцінка b параметра β називається обґрунтованою, якщо для дуже
малого числа ε>0 cправджується умова
lim p b − β