Економіко-математичне моделювання

n
∑ i – загальна сума квадратів; ( )
i=
1
2
n
СКР = ∑ ˆyi−
y
i=
1
n
де ( ) 2
СКЗ = y − y
сума квадратів, що пояснює регресію; ( ) 2
ˆ
433
∑
СКП = y − y
i=
1
i i
–
– сума
квадратів помилок.
СКЗ, СКР і СКП – прийняті в літературі відповідні позначення.
Враховуючи наведені позначення, даний вираз можна записати
таким чином: СКЗ = СКР+СКП.
( ) 2
2 1
1
n
σ заг = ∑ yi− y – загальна дисперсія;
n i=
( ) 2
2 2 1
1
n
σ регр =σ ˆy поясн = ∑ i − y – пояснювальна дисперсія;
n i=
( ) 2
2 2 1
1
n
σ пом
непояснювальна .
=σ ˆ
непоясн = ∑ yi − yi
– дисперсія помилок або
n i=
2
З урахуванням викладеного маємо, що σ заг
2 2
= σрег
+ σпом.
Кожній заданій вище сумі квадратів ставиться у відповідність
певне число, яке називається ступенем її вільності. Воно показує
мінімальну кількість незалежних елементів з n результатів
спостережень у1,у2,…уn за показником у, яких буде достатньо для
обчислення значень відповідних сум.
Підрахуємо ступені вільності сум СКЗ, СКР та СКР. Для
визначення СКЗ треба підрахувати n значень із множини
y − y , … , y − y , які в свою чергу мають властивість:
{ ( i ) ( n ) }
n
∑
i=
1
( ) 2
y y
i
− = 0 .
Тому серед згаданої множини незалежними будуть тільки (n–1)
чисел. Отже, ступінь вільності суми СКЗ дорівнює n–1.
Для визначення СКР використовують n значень
ˆyy ,..., ˆyy
,
{ ( 1 ) ( i ) }
− − кожне з яких є певною функцією всіх
результатів спостережень { }
i
y . Можна довести, що
n n
2 2
∑( ˆ i ) ∑ ( i ) .
СКР = y − y =β x −x
i= 1 i=
1
Отже, сума квадратів, що пояснює просту лінійну регресію,
може бути утворена завдяки використання тільки однієї одиниці