Економіко-математичне моделювання

Чисельник (15.16) є коефіцієнтом коваріації між х та у. За
означенням коефіцієнт коваріації між двома змінними х та у
визначається за формулою:
n n
1 1
cov( x,y ) = ∑( xi −x)( yi − y ) = ∑ xiyi −x⋅y. (15.17)
n i= 1 n i=
1
Знаменник (15.16) є дисперсію змінної х:
( ) ( ) 2 n n
1 1 2 2
var x = ∑ xi − x = ∑ xi −x.
(15.18)
n i= 1 n i=
1
Отже,
n n
1
xiyi x y xiyi n x y
cov( x,y ) ∑ − ⋅ ∑ − ⋅ ⋅
n i= 1 i=
1
b = = =
. (15.19)
n n
var ( x)
1 2 2 2 2
x −x x −n⋅x n
∑ ∑
i i
i= 1 i=
1
Звідси зрозуміло, що b також містить випадкову складову,
оскільки cov(x,y) залежить від значень у, а у залежить від u.
Теоретично можна розкласти b на випадкову та невипадкову
складові. Для цього використаємо правила розрахунку коваріації та
співвідношення (15.1), отримаємо:
cov( x,y ) = cov( x, α+β x + u) = cov( x, α ) + cov( x, β x) + cov( x,u)
. (15.20)
На основі коваріаційних правил маємо:
cov x, α = 0,cov
x, β x =β cov x,x =β Var x .
Отже,
( ) ( ) ( ) ( )
cov( x,y ) = β var ( x) + cov( x,u)
(15.21)
і, таким чином,
cov( x,y ) cov( x,u)
b = =β+ . (15.22)
var ( x) var ( x)
Це означає, що коефіцієнт b є сумою двох складових: постійної
величини, рівної дійсному значенню коефіцієнта β та випадкової
складової, яка залежить від cov(x,u).
Аналогічні міркування можна зробити відносно параметра а.
Проте на практиці ми не можемо розкласти коефіцієнти регресії на
складові, оскільки не знаємо дійсних значень α і β або фактичних
значень u у вибірці.
Далі розглянемо основні властивості простої вибіркової лінійної
регресії.
429