Економіко-математичне моделювання

Метод, в основу якого покладена вимога мінімізації суми
квадратів відхилень, називається методом найменших квадратів
(МНК). З його допомогою знаходять такі оцінки параметрів рівняння
регресії, які зводять до мінімуму вибрану міру розсіювання. При
цьому проходить вирівнювання емпіричних значень в одну лінію
регресії. У випадку лінійного зв’язку між змінними ця лінія є прямою
(пряма регресія).
Таким чином, проблема визначення прямої регресії зводиться до
мінімізації функції (15.6). Необхідною умовою цього є перетворення
в нуль перших частинних похідних цієї функції по кожній змінній а
n n
2
n
2
i i i i i
i= 1 i= 1 i=
1
n
∑ ∑ ∑ , то
2
та b. Оскільки F( a,b) = e = ( y − ˆy
) = ( y −a−bx )
⎧∂F
⎪ =−2∑( yi −a− bx i)
= 0,
⎪ ∂a
i=
1
⎨ n
⎪ ∂F
=−2 ( yi −a− bxi) x i = 0.
⎪ ∑
⎩ ∂b
i=
1
Результатом виконання відповідних перетворень є система
нормальних рівнянь відносно невідомих а та b.
n n
⎧
⎪na
+ b∑xi = ∑y
i,
⎪ i= 1 i=
1
⎨
(15.7)
n n n
⎪ 2
a xi + b xi = xiy i.
⎪⎩
∑ ∑ ∑
i= 1 i= 1 i=
1
Розв’язки системи:
a =
n
yi n
2
xi −
n
xi n
xiyi i= 1 i= 1 i= 1 i=
1
n n
2
2 ⎛ ⎞
n∑xi − ⎜∑xi⎟ i= 1 ⎝ i=
1 ⎠
n n n
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
i i i i
i= 1 i= 1 i=
1
n n
2
2 ⎛ ⎞
n∑xi − ⎜∑xi⎟ i= 1 i=
1
425
, (15.8)
n x y − x y
b =
. (15.9)
⎝ ⎠
Значення a та b, обчислені за формулами (15.8) і (15.9), є
оцінками параметрів α та β регресії, отриманої МНК. Маючи
значення a та b, можна, користуючись (15.6), обрахувати значення
регресії для заданої області значень пояснювальної змінної х. Ці
значення є найкращими з точки зору МНК лінійною апроксимацією