Економіко-математичне моделювання
Share Embed Flag
Download ePaper

Економіко-математичне моделювання

Економіко-математичне моделювання Економіко-математичне моделювання

library.tneu.edu.ua
from library.tneu.edu.ua More from this publisher
19.07.2013 Views

Постійна величина a визначає точку перетину прямої регресії з віссю ординат (рис. 15.2.4) і є середнім значенням у точці х0 = 0. Зрозуміло, що економічна інтерпретація a не тільки утруднена, а й взагалі неможлива. Величина a у рівнянні регресії лише виконує функцію вирівнювання і має розмірність у. При цьому слід відзначити, що завдяки постійній a функція регресії непомилкова. Рівняння регресії інтерпретується тільки в області скупчення точок і, як наслідок, тільки між найменшим і найбільшим значенням змінної х, яка спостерігається. Більш практичний інтерес представляє економічний зміст величин b та yˆ . Коефіцієнт b характеризує нахил прямої до осі абсцис. Позначимо через α кут, який пряма утворює з віссю абсцис. Тоді b = tg α. Коефіцієнт регресії b є мірою залежності змінної у від х або мірою впливу, виявленою зміною х на у. Відповідно до рівняння (15.2) b визначає середню величину зміни результативного показника при зміні пояснювальної змінної х на одну одиницю. Знак b визначає напрямок цієї зміни, а розмірність цього коефіцієнта є відношенням розмірності залежної змінної до розмірності пояснювальної змінної. Після визначення числових оцінок параметрів можна за рівнянням (15.2) обрахувати значення i yˆ для кожного значення пояснювальної змінної хі . Це значення називають розрахунковим. При лінійній функції сукупність розрахункових значень утворює пряму регресії. Як зазначалося раніше, через випадковий вплив сторонніх факторів для кожного значення хі може спостерігатися декілька емпіричних значень уі, тобто кожному значенню х відповідає розподіл значень змінної у. Значення функції регресії yˆ i таким чином є оцінками середніх значень змінної у для кожного фіксованого значення змінної х. Звідси випливає економічна інтерпретація yˆ i . Значення регресії yˆ i показують середнє значення залежної змінної у при заданому хі пояснювальної змінної у припущенні, що єдиною причиною зміни у є змінна х, а випадкова збурена змінна u набула значення, рівне нулю. Розкид спостережених значень змінної у довкола ˆy i зумовлений впливом множини неврахованих факторів. Різницею між емпіричним значенням уі і розрахунковим i ˆy назвемо залишком, який дає числову оцінку значенням збуреної змінної u (рис. 15.2.4). Отже, числове значення е визначається як yi − ˆyi = e i,i = 1,n. Зрозуміло, що чим менше значення еі, тим більш вдало вибрана пряма. 422

Таким чином, ми підійшли до проблеми оцінювання невідомих параметрів α та β шляхом відповідних процедур, одна з яких має назву – метод найменших квадратів. 15.3. Метод найменших квадратів Провівши економічний аналіз певного процесу з врахуванням характеру хмарки точок на діаграмі розсіювання, переходимо до вирівнювання дослідних даних, яке полягає у побудові гіпотетичної лінії. Основною вимогою при цьому є зведення до мінімуму помилок специфікації форм зв’язку між змінними. Ці помилки визначаються через відхилення емпіричних даних уі від значень регресії i ˆy , тобто вони формують значення збуреної змінної е. yi − ˆyi = ei. (15.3) З графіка (рис. 15.2.4) бачимо, що еі – відхилення дослідної точки від оціночної прямої, виміряне по вертикалі. Це відхилення може бути додатнім чи від’ємним залежно від того, по яку сторону від лінії розміщена конкретна точка. При виборі прямої можна висунути вимогу, щоби сума відхилень всіх точок від лінії регресії була рівна нулю, тобто n n ∑( yi − ˆyi) = ∑ ei = 0 . (15.4) i= 1 i= 1 Умова (15.4) означає, що сума додатних відхилень повинна бути рівною сумі від’ємних. Дотримання окресленої умови не дає можливості однозначно визначити розміщення вирівнювальної прямої на площині. Цю умову задовольняє нескінчена множина прямих (рис. 15.3.1), тобто ми маємо пучок прямих, які проходять через задану точку з координатами ( хі; уі). y y * ** * * * * * * * * * * * * * ***** ** 0 x x Рис. 15.3.1. Пучок регресійних прямих 423 **

Постійна величина a визначає точку перетину прямої регресії з<br />

віссю ординат (рис. 15.2.4) і є середнім значенням у точці х0 = 0.<br />

Зрозуміло, що економічна інтерпретація a не тільки утруднена, а й<br />

взагалі неможлива. Величина a у рівнянні регресії лише виконує<br />

функцію вирівнювання і має розмірність у. При цьому слід<br />

відзначити, що завдяки постійній a функція регресії непомилкова.<br />

Рівняння регресії інтерпретується тільки в області скупчення точок і,<br />

як наслідок, тільки між найменшим і найбільшим значенням змінної<br />

х, яка спостерігається. Більш практичний інтерес представляє<br />

економічний зміст величин b та yˆ .<br />

Коефіцієнт b характеризує нахил прямої до осі абсцис.<br />

Позначимо через α кут, який пряма утворює з віссю абсцис. Тоді b =<br />

tg α. Коефіцієнт регресії b є мірою залежності змінної у від х або<br />

мірою впливу, виявленою зміною х на у. Відповідно до рівняння<br />

(15.2) b визначає середню величину зміни результативного показника<br />

при зміні пояснювальної змінної х на одну одиницю. Знак b визначає<br />

напрямок цієї зміни, а розмірність цього коефіцієнта є відношенням<br />

розмірності залежної змінної до розмірності пояснювальної змінної.<br />

Після визначення числових оцінок параметрів можна за<br />

рівнянням (15.2) обрахувати значення i yˆ для кожного значення<br />

пояснювальної змінної хі . Це значення називають розрахунковим.<br />

При лінійній функції сукупність розрахункових значень<br />

утворює пряму регресії. Як зазначалося раніше, через випадковий<br />

вплив сторонніх факторів для кожного значення хі може<br />

спостерігатися декілька емпіричних значень уі, тобто кожному<br />

значенню х відповідає розподіл значень змінної у. Значення функції<br />

регресії yˆ i таким чином є оцінками середніх значень змінної у для<br />

кожного фіксованого значення змінної х.<br />

Звідси випливає економічна інтерпретація yˆ i . Значення регресії<br />

yˆ i показують середнє значення залежної змінної у при заданому хі<br />

пояснювальної змінної у припущенні, що єдиною причиною зміни у є<br />

змінна х, а випадкова збурена змінна u набула значення, рівне нулю.<br />

Розкид спостережених значень змінної у довкола ˆy i зумовлений<br />

впливом множини неврахованих факторів. Різницею між емпіричним<br />

значенням уі і розрахунковим i ˆy назвемо залишком, який дає числову<br />

оцінку значенням збуреної змінної u (рис. 15.2.4). Отже, числове<br />

значення е визначається як yi − ˆyi<br />

= e i,i<br />

= 1,n.<br />

Зрозуміло, що чим<br />

менше значення еі, тим більш вдало вибрана пряма.<br />

422

logo

Prodotti

Risorse

Aziende

Terms of service
Privacy policy
Cookie policy
Cookie settings
Imprint
Change language
Made with love in Switzerland
© 2024 Yumpu.com all rights reserved

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!