Економіко-математичне моделювання

Припустимо, що інвестор хоче мати структуру портфеля з
мінімальним ризиком. Наприклад, візьмемо другий портфель, який
містить акції першого та третього видів.
Отже, у нашому випадку (12.32) матиме вигляд:
2
2 2 2 2
σ ( a , a ) = α σ + α σ + 2α
α σ . (12.38)
П 1 3 1 1 3 3 1 3 13
Поклавши у формулу (12.32) а3=1–а1, отримаємо залежність
ризику портфеля від однієї змінної а1:
2
2 2
2 2
σ a = a σ + 1−
a σ + 2a
1−
a σ =
П
( ) ( ) ( )
1
1
1
2 2
= a1σ
1
2
+ σ 3
2
− 2a1σ
3
2 2
+ a1
σ 3 + 2a1σ
13
2
− 2a1
σ 13.
Для знаходження екстремуму окресленої функції знайдемо
часткову похідну і прирівняємо до нуля. Одержимо:
2
∂σ
( ) П a1
2 2
2
= 2a σ − 2σ
+ 2a
σ + 2σ
− 4a
σ = 0
1 1 3 1 3 13 1 13
∂a1
a
2
σ
2
+ σ − σ
2
= σ − . (12.39)
або ( ) 1 1 3 2 13 3 σ 13
Звідси,
σ
− σ
2
3 13
a =
.
1 2 2
σ 1 + σ 3 − 2σ 13
Така структура портфеля дає можливість отримати оптимальний
сподіваний приріст доходу (12.24) за мінімального ризику (12.38).
Проведені розрахунки дають змогу сформувати шість портфелів
цінних паперів. Отримані результати подаємо у таблиці 12.7.
Таблиця 12.7
Аналіз оптимальної структури портфеля цінних паперів
Портфель
1. 1-2
2. 1-3
3. 1-4
4. 2-3
5. 2-4
6. 3-4
з мінімальним ризиком
Структура портфеля
акцій
а1=0,765
а1=0,932
а1=0,478
а2=0,456
а2=0,165
а3=0,215
а2=0,235
а3=0,068
а4=0,522
а3=0,544
а4=0,835
а4=0,785
1
371
3
Сподіваний
приріст доходу
1
10,6695
9,8816
8,7732
12,140
8,7681
8,5139
1
13
Мінімальний
ризик
3,3903
4,0686
1,0773
5,3831
3,4725
3,2860
Аналіз таблиці показує, що з шести сформованих портфелів
оптимальним з точки зору мінімального ризику є третій портфель.
Припустимо, що інвестор асигнує на придбання акцій 17500 грн. і
планує мати третій портфель. Тоді він повинен купити на 8365 грн.
(0,478×17500=8365) акцій першого виду та на 9135 грн.