Економіко-математичне моделювання

одного виду сподіваний рівень доходу дорівнюватиме y, а ризик – σ.
Проаналізуємо другий випадок, коли портфель цінних паперів
інвестора складається з акцій двох видів і вкладень у банк.
Позначимо через 3 y – банківський річний процент, a – частку
3
коштів вкладених у банк.
Отже, сподіваний приріст доходу портфеля цінних паперів буде
рівний:
П
y = a1y1+ a2y2 + a3y3 = ( a1+ a2) y+ a3y3 . (12.34)
Аналіз (12.36) показує, що збільшення або зменшення
сподіваного приросту доходу у цьому випадку залежить від
співвідношення процентів як банківського, так і сподіваного
приросту доходу з акцій. Тобто, якщо y > y , тоді сподіваний приріст
3
доходу портфеля більший, ніж у першому випадку. Якщо y < y , тоді
3
вкладати капітал у банк не вигідно.
Використавши формулу (12.33) і врахувавши, що σ = σ = σ ,
1 2
знайдемо величину оцінки ризику сформованого портфеля цінних
паперів
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
σ П = a1σ
1 + a2σ
2 + 2a1a 2r12σ
1σ
2 = a1`σ
+ a2σ
+ 2a1a
2r12σ
=
2 2
2
= ( a + a + 2a a r ) σ . (12.35)
1 2 1 2 12
Аналіз показує, що зниження ризику портфеля порівняно з
ризиком вкладень тільки в один вид акцій буде лише за умови, коли
2 2
σ < σ , тобто повинно мати місце:
П
2 2
a + a + 2a a r < 1.
(12.36)
1 2 1 2 12
Враховуючи, що −1≤r12 ≤ 1,
отримаємо:
2 2
2
a + a + 2a
a r ≤ ( a + a ) < 1
1 2 1 2 12 1 2 , якщо 1 1 ≠ a або 1 2 ≠ a . (12.37)
Звідси, нерівність (12.36) виконується для будь-яких
допустимих структур портфеля, крім тих, коли інвестор купує тільки
один вид акцій (а1=1, а2=0 або а1=0, а2=1). Отже, якщо портфель
містить акції обох видів у будь-якому співвідношенні, то ризик
портфеля буде меншим, ніж ризик кожного цінного паперу зокрема.
У випадку вкладення інвестором капіталу в банк (а3=1–(а1+а2)>0)
вираз (а1+а2) зменшиться, і це приводить до зниження ризику
портфеля порівняно з ризиком акцій одного виду.
368