Економіко-математичне моделювання

12.2. Критерій «сподіване значення – дисперсія»
Розглянемо модифікацію наведеного критерію в §12.1 для
випадків, які повторюються рідко. Якщо х – випадкова величина з
D ( x)
дисперсією D(x), то вибіркове середнє x має дисперсію , де n –
n
обсяг вибірки. Звідси, якщо D(x) зменшується, дисперсія x також
зменшується, і ймовірність того, що x близьке до M(x), збільшується.
Це показує доцільність введення критерію, в якому максимізація
сподіваного значення прибутку поєднується з мінімізацією її
дисперсії. Можливим критерієм, що відповідає цій меті, є максимум
виразу M(x)-KD(x), де х – випадкова величина, що відображає
прибуток, K – задана постійна величина (K>0).
Величину K інколи інтерпретують як рівень несхильності до
ризику. Дійсно, K визначає ступінь важливості дисперсії х відносно
M(x). Наприклад, підприємець, який особливо гостро реагує на великі
від’ємні відхилення прибутку вниз від M(x), може взяти K набагато
більше за одиницю. Це надає велику вагу дисперсії і призводить до
розв’язку, що зменшує ймовірність великих втрат прибутку.
Введений критерій погоджується із використанням корисності
при прийнятті рішень, оскільки параметр несхильності до ризику
характеризує відношення особи, яка приймає рішення, до великих
відхилень від очікуваних значень.
Використаємо критерій «сподіване значення – дисперсія» до
конкретної ситуації, наведеної у прикладі 12.1. Нам необхідно
обчислити дисперсію витрат за один інтервал, тобто дисперсію
T −1
∑
c1 nt+ nc2
CT
= t=
0
T
. (12.6)
Оскільки nt ( t = 0, T − 1)
– випадкова величина, то CT – також
випадкова, nt має біномний розподіл із середнім значенням nPt і
дисперсією n Pt (1– Pt ).
Тоді
2 T−1 2 T−1
⎛c1⎞ ⎛c1⎞ DC [ T] = ⎜ ⎟ ∑Dn ( t) = ⎜ ⎟ ∑nPt(
1−
Pt)
=
⎝T ⎠ t= 0 ⎝T ⎠ t=
0
2 T−1 T−1 2 T−1
⎛c1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛c1⎞ 2
= n⎜ ⎟ Pt Pt n ( Pt P t ) .
T
⎜∑ − ∑ ⎟=
⎜ ⎟ ∑ −
⎝ ⎠ ⎝ t= 0 t= 0 ⎠ ⎝T ⎠ t=
0
(12.7)
349