Економіко-математичне моделювання

⎧12 p1+ 3p2 = v, ⎧12q1+
3q4
= v,
⎪ ⎪
⎨5p1+ 8p2 = v, ⎨5q1+
8q4
= v,
⎪p1 1 p 2, ⎪
⎩ = − ⎩q2
= 1−q
1.
Розв’язками цих систем буде:
5 7 5 7 27
p 1 = ; p 2 = ; q 1 = ; q 4 = ; v=
млн.грн.
12 12 12 12 4
Ми отримали оптимальний розв’язок.
Підприємству необхідно 5
обсягів сировини використати на
12
виготовлення першого виду продукції, а 7
– для другого виду
12
продукції. При цьому отримаємо максимальний прибуток у розмірі
6,75 млн. грн. ♦
8.5. Зведення задач теорії ігор до задач
лінійного програмування
Розглянемо матричну гру n × m, задану матрицею ij a ⎡
⎣
⎤
⎦ .
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Позначимо через p ( p 1,p 2,...,p n) , q ( q 1,q 2,...,qm)
= = імовірності
оптимальних змішаних стратегій відповідно першого та другого
гравців, а через v – ціну гри. Без доведення сформулюємо теорему.
Теорема. Для того, щоби число v було ціною гри, а p * і q * –
векторами ймовірностей оптимальних стратегій, необхідне й достатнє
виконання системи нерівностей:
n
⎧ ∗
⎪∑aij
pi≥ v, j = 1 ,m
(8.8)
⎪ i=
1
⎨ m
⎪ ∗
aq ij j ≤ v,i = 1 ,n
(8.9)
⎪⎩
∑
j=
1
Для простоти припустимо, що v>0. Цього завжди можна
досягнути завдяки додаванню до всіх елементів матриці ij a ⎡
⎣
⎤
⎦ одного
й того ж постійного числа k. Така процедура не вплине на оптимальні
стратегії, а тільки збільшить ціну гри на k.
236