Економіко-математичне моделювання

перед кожною партією проводиться випадковий вибір однієї з чистих
стратегій з допомогою деякого механізму, який здійснює цей вибір із
визначеними й наперед заданими ймовірностями.
Розглянемо гру двох осіб, матриця платежів якої має розмірність
n×m. Нехай гравець А має n стратегій, а гравець В – m стратегій.
Позначимо через р=(р1, р2,…,рn) і q=(q1, q2,,…,qm) вектори
ймовірностей, з якими гравці А та В відповідно вибирають свої чисті
стратегії. Оскільки ці стратегії за умовою гри повністю вичерпують
можливі ходи гравців А і В, то вони утворюють повну групу подій.
n m
Тому має місце: ∑p = ∑ q . (8.2)
i j
i= 1 j=
1
Якщо aij – (i, j)-й елемент матриці гри, то платіжна матриця має
вигляд
A
B1 B2 … Bm
q1 q2 … qm
A1 p1 a11 a12 … a1m
… … …
An pn an1 an2 … anm
Відповідно до основної теореми теорії ігор кожна скінченна гра
має хоч би один розв’язок, який визначає певна змішана стратегія.
Методика визначення розв’язку гри при змішаних стратегіях в
основному також ґрунтується на використанні критерію мінімакса.
Різниця полягає в тому, що гравець А вибирає Рі так, щоби
максимізувати найменший сподіваний виграш (математичне
сподівання) по стовпцях, тоді як гравець В вибирає qj з метою
мінімізації найбільшого сподіваного виграшу по рядах. Математично
критерій мінімакса для змішаних стратегій описується таким чином.
Гравець А вибирає стратегію Аі, яка дає
n n n
⎧ ⎛ ⎞⎫
max⎨min i1 i i2 i im i
p ⎜∑ap , ∑ap ,..., ∑ a p ⎟⎬
, (8.3)
i ⎩ ⎝ i= 1 i= 1 i=
1 ⎠⎭
а гравець B вибирає стратегію Вj, яка дає
⎧ m m m
⎪ ⎛ ⎞⎫⎪
min⎨max⎜ a1jq j, a2 jq j,..., anjqj⎟⎬ q
j
∑ ∑ ∑ . (8.4)
⎪ j= 1 j= 1 j=
1 ⎪
⎩ ⎝ ⎠⎭
Ці величини визначаються відповідно як сподівані максимінні
та мінімаксні платежі. При цьому має місце співвідношення:
232