Економіко-математичне моделювання

8.2. Оптимальний розв’язок в іграх двох осіб
з нульовою сумою
Розглянемо гру, в якій беруть участь два гравці, один з яких
може дотримуватися стратегії i з n своїх можливих (і =1, 2,…, n), а
другий, не знаючи вибору першого, вибирає стратегію j із m своїх
можливих стратегій ( j =1, 2, …, m). У результаті перший гравець (A)
виграє ai , а другий (B) програє цю величину.
Величини aij утворюють платіжну матрицю (матрицю гри):
B B
[ a ]
ij
=
A
A
A
1
2
n
⎡ a
⎢
a
⎢
⎢
⎢
⎣a
n
1 m
11
21
1
229
a
a
a
1m
2m
nm
⎤
⎥
⎥ . (8.1)
⎥
⎥
⎦
Рядки матриці [aij] відповідають стратегіям (А1, …, Аn) гравця А.
А стовпці – стратегіям (В1, …, Вm) гравця B. Такі стратегії
називаються чистими. Будемо вважати, що при aij > 0 гравець А
виграє, а гравець B програє величину aij. Якщо aij < 0, то, навпаки,
виграє гравець B і програє гравець А.
Спочатку знайдемо найкращу зі стратегій гравця А, тобто
найкращу серед А1,…, Аn з урахуванням можливих варіантів
відповідей на неї гравця B. При цьому необхідно враховувати те, що
на довільну стратегію Аі гравець B відповідає стратегією Вj, для якої
виграш гравця А буде мінімальним. Для знаходження стратегії Вj
α = min a . При
необхідно в і-му рядку платіжної матриці знайти i { ij}
зміні стратегії гравця А одночасно будуть змінюватися відповідні їм
числа αі. Зрозуміло, що гравцеві А вигідно завжди зупинятися на
α = max a , або, враховуючи
такій стратегії Аі, для якої значення { }
представлення αі, отримаємо max min{ aij}
α= .
i j
Число α називається нижньою ціною гри чи максиміном, а
відповідна йому стратегія (рядок) – максимінною.
Якщо гравець А буде дотримуватися максимінної стратегії, то
йому, при довільній поведінці гравця В, в будь-якому випадку
гарантований виграш, не менший α. Аналогічно можна визначити
найкращу стратегію для гравця В, мета якого – звести виграш гравця
i
i
j