Економіко-математичне моделювання

Позначимо максимальний сумарний приріст продукції,
одержаний при розподілі інвестицій розміром х для перших k
проектів, через (x)
, причому
F k
x = x1
+ x2
+ ... + xk
, xi
≥ 0,
i = 1,
k .
Для визначення функцій Fk (x)
побудуємо рекурентне рівняння
за допомогою кількох етапів.
Почнемо з розподілу наявних засобів для першого проекту.
Знайдемо максимальне значення цього приросту за формулою:
F1( x) = max⎡f1( x) ⎤ = f1( x ) .
0≤x1≤x⎣ ⎦
Переходимо до другого етапу розрахунків. Нам необхідно
знайти оптимальний варіант розподілу інвестицій розміром х за
умови, що вони виділені першому та другому проекту. Тут слід
враховувати отриману найкращу ефективність для першого проекту.
Припустимо, що на другий проект виділені інвестиції розміром х2, які
дають f2(х2) приросту продукції, а залишок (х–х2) виділяється
першому проекту, який дає F1(х–х2) приросту. Тоді максимальний
приріст продукції, отриманий від оптимального розподілу всіх
інвестицій між першим і другим проектами буде:
F2( x) = max⎡f2( x2) + F1( x−x2) ⎤
0≤x2≤x⎣ ⎦ .
Переходимо до третього етапу, на якому необхідно знайти
оптимальний варіант розподілу інвестицій за умови, що вони
виділяються першим трьом проектам разом.
Нехай на третій проект виділено х3 одиниць коштів, які в свою
f x .
чергу даватимуть для нього приріст продукції розміром 3( 3)
Наявний залишок ( x x3
)
при оптимальному розподілі дають приріст F ( x x )
− надамо першому та другому проектам, які
2 − 3 грошових
одиниць. Отже, максимальний ефект, який отримаємо від розподілу
інвестицій між першими трьома проектами буде:
F3( x) = max⎡f3( x3) + F2( x−x3) ⎤
0≤x3≤x⎣ ⎦ .
Розглянемо загальний випадок розподілу інвестицій для перших
k проектів. Нехай k–му проекту виділено хk одиниць інвестицій, які
забезпечать йому приріст продукції розміром fk(хk). Залишок
інвестицій (х–хk) віддамо першим (k–1) проектам і вони при
оптимальному розподілі принесуть фірмі Fk-1(х–хk) приросту
216