Економіко-математичне моделювання

x + y = 42;
б) стосовно невід’ємності змінних
x ≥ 0, y ≥ 0.
Задачу розв’язуємо з допомогою методу множників Лагранжа.
Для цього зробимо перетворення першого обмеження, представивши
його таким чином: 42 − x − y = 0 .
Функція Лагранжа має вигляд:
2
2
L( x,
y,
λ ) = 8x
− xy + 12y
+ λ ⋅ ( 42 − x − y)
.
Знаходимо частинні похідні першого порядку та прирівнюємо їх
до нуля.
⎧ ∂L
⎪ = 16x
− y − λ,
∂x
⎧ − − = ⎧ − − =
⎪
16x
y λ 0,
16x
y λ 0,
∂L
⎪
⎪
⎨ = −x
+ 24y
− λ,
⇒ ⎨−
x + 24y
− λ = 0,
⇒ ⎨−
x + 24y
− λ = 0,
⎪∂y
⎪
⎪
⎩ − − = ⎩ + =
⎪ ∂L
42 x y 0.
x y 42.
⎪
= 42 − x − y.
⎩ ∂λ
Розв’язуємо отриману систему трьох рівнянь із трьома
невідомими за формулами Крамера:
16 −1
−1
Δ = −1
24 −1
= 16⋅
24⋅
0 + ( −1)
⋅(
−1)
⋅1+
( −1)
⋅(
−1)
⋅1−
1⋅
24⋅
( −1)
−
1 1 0
−1⋅
Δ
Δ
Δ
1
2
3
( −1)
⋅16
− 0 ⋅ ( −1)
⋅(
−1)
= 0 + 1+
1+
24 + 16 − 0 = 42,
=
0
0
42
16
= −1
1
16
= −1
1
−1
24
1
0
0
42
−1
24
1
−1
−1
= 42 + 24 ⋅ 42 = 25⋅
42 = 1050,
0
−1
−1
= 42 + 16 ⋅ 42 = 17 ⋅ 42 =
0
210
714,
0
0 = 16 ⋅ 24 ⋅ 42 − 42 = 383⋅
42 = 15286,
42