Економіко-математичне моделювання

⎧−
2x
+ y −1000λ
= −10,
⎧−
2x
+ y −1000λ
= −10
⎪
⎪
⎨−
2y
+ x − 500λ
= −5,
⇒ ⎨ x − 2y
− 500λ
= −5
× −2
⇒
⎪
⎪
⎩−1000x
− 500y
= −20000.
⎩ − 2x
− y = −40
⎧−
2x
+ y −1000λ
= −10,
⎪
⇒ ⎨−
2x
+ 4y
+ 1000λ
= 10,
⎪
⎩−
2x
− y = −40.
Додамо перші два рівняння останньої системи і отримаємо:
4
− 4 x + 5y
= 0 ⇒ y = x .
5
4
100 2
Підставимо в третє рівняння: − 2 x − x = −40
⇒ x = = 14 .
5
7 7
4 100 80 3
Звідси, y = ⋅ = = 11 . Знайдемо значення множника
5 7 7 7
Лагранжа з другого рівняння системи (6.11):
100 80 25
− 2 ⋅ + 5 −
x − 2y
+ 5 7 7 7 1
λ = =
= = − .
500 500 500 140
Отже, розв’язком цієї системи є:
2
3
1
x = 14 ; y = 11 ; λ = − .
7
7 140
Переконаємося, чи досягає наша функція екстремального
значення в знайденій точці.
Для цього на основі вищезгаданої теореми знайдемо частинні
похідні першого порядку заданої функції:
2 2
Z( x,
y)
= −x
− y + xy + 10x
+ 5y
.
∂Z
= −2x
+ y + 10;
∂x
∂Z
= −2y
+ x + 5.
∂y
Знаходимо частинні похідні другого порядку:
2
2
2 2
∂ Z ∂ Z ∂ Z ∂ Z
= −2;
= −2;
= = 1.
2
2
∂x
∂y
∂x∂y
∂y∂x
Звідси,
208