Економіко-математичне моделювання

∂L
= 2x1
+ 2x
∂x
1
∂L
∂x
2
= −2x
1
2
− 4x
+ 3 − 2λ
= −ν
;
2
205
+ 2λ
− 2 = −ν
;
∂L
= 2x1
+ 2x2
−10
= ν 3;
∂λ
∂L
0 0 0
⋅ x1
= −ν
1 ⋅ x1
= 0 ⋅ 0 ≥ 0;
∂x
1
∂L
⋅ x
∂x
2
0
2
= −ν
⋅ x
0
2
0
2
= 0 ⋅
∂L
0 0
= ν 3 ⋅ λ = 9 ⋅ 2 = 18 ≥ 0.
∂λ
Оскільки виконуються умови оптимальності, то стверджуємо,
0
0 1 0
що точка з координатами x 1 = 0;
x2
= ; λ = 2 є сідловою точкою
2
⎛ 1 ⎞
функції Лагранжа. В точці з координатами ⎜ = 0; = ⎟
⎝ 2 ⎠
0
0 0
X x x цільова
1
2
функція досягає свого мінімального значення, яке вираховується
таким чином:
2
2 1 ⎛ 1 ⎞ 1 1
Z = 0 − 0 ⋅ 2⋅
+ 2 ⋅ + 3⋅
0 + 2⋅
= 1
max
⎜ ⎟
.♦
2 ⎝ 2 ⎠ 2 2
6.3. Прикладне використання методу множників Лагранжа
Розглянемо економічний зміст множників Лагранжа. Для цього
розглянемо задачу нелінійного програмування стосовно визначення
оптимального плану виробництва продукції при обмежених ресурсах:
= ( 1,
2,
, n)
→ max x x x f Z …
x , x , … , x ) ≤ b , i = 1,
m,
qi ( 1 2 n i
x j ≥ 0, j = 1,
n.
Головною метою виробництва продукції є отримання
найбільшого прибутку від її реалізації, тому цільовою функцією Z
задачі є прибуток від реалізації продукції обсягом Х=(х1, х2,…хn)
одиниць. Зауважимо, що функція f(х1, х2,…хn) – нелінійна.
1
2
≥
0;
1
2