Економіко-математичне моделювання

( 1−
λ)(
2 − λ)
−1⋅1
= 0,
( 1−
λ)(
2 − λ)
−1
= 0,
2
2 − 2λ
− λ + λ −1
=
2
λ − 3λ
+ 1 =
D = 9 − 4 ⋅1
=
0,
3 ± 5
λ = ,
2
3 + 5
λ1
= ≈ 2.
618
2
3 − 5
λ2
= ≈ 0.
382
2
203
5,
Оскільки λ1 і λ2 більші від нуля, то квадратична форма
Z 2
2
= x1
+ 2x x 1 2
2
+ 2x
є додатно означеною, тобто опуклою.
2
Функція Лагранжа для початкової задачі має вигляд:
2
L( x1,
x2,
λ ) = x1
2
+ 2x1x
2 + 2x2
+ 3x1
+ 2x2
+ λ(
10 − 2x1
− 2x2
) .
Необхідні умови існування екстремуму цільової функції:
∂L
= 2x1
+ 2x2
∂x1
+ 3 − 2λ
≤ 0;
∂L
= 2x1
+ 4x2
∂x2
+ 2 − 2λ
≤ 0;
∂L
= 10 − 2x1
− 2x2
∂λ
≥ 0;
∂L
0
⋅ x1
= 0;
∂x1
∂L
0
⋅ x2
= 0;
∂x2
∂L
0
⋅ λ = 0,
∂λ
0 0 0
де ( x 1 , x2
, λ ) – координати сідлової точки.
Розглянемо перших три нерівності та зведемо їх до рівнянь
шляхом вводу додаткових змінних:
2x1
+ 2x2
+ 2λ
≤ −3
× ( −1)
,
2x1
+ 4x2
− 2λ
≤ −2
× ( −1)
,
− 2x1
− 2x2
≥ −10
× ( −1).
Тоді
− 2x
− 2x
+ 2λ
≥ 3 ν , − 2x
− 2x
+ 2λ
−ν
= 3 u ,
1
− 2x
1
− 4x
2
2
1
+ 2λ
≥ 3ν
,
2
− 2x
2x1
+ 2x2
≤ 10 ν 3.
2x1
+ 2x2
+ ν 3 = 10.
Розглянемо задачу лінійного програмування:
⇒
1
1
0,
>
>
0,
0.
− 4x
2
2
+ 2λ
−ν
= 2 u
1
2
1
2
,