Економіко-математичне моделювання

∂L
= −2x1
− x2
∂x1
− 5 − λ = −ν
1,
v1
< 0;
∂L
= −x1
− 4x2
∂x2
+ 3 − λ = ν 2,
v2
= 0;
∂L
= 5 − x1
− x2
∂λ
= ν 3,
v3
> 0.
Всі умови виконуються, а це означає, що точка з координатами
0
x 1 = 0;
0 3
x2
= ;
4
0
λ = 0 є сідловою точкою функції Лагранжа для
задачі квадратичного програмування. Точка з координатами
0⎛
0
0
X ⎜ x = 0;
x
1
2
⎝
3 0 ⎞
= ; λ = 0⎟
є точкою, в якій цільова функція досягає
4 ⎠
свого максимального значення:
2
2 3 ⎛ 3 ⎞ 3 9 9 9
Z = −0
− 0 ⋅ − 2 ⋅ − 5⋅
0 + 3⋅
= − + =
max
⎜ ⎟
.♦
4 ⎝ 4 ⎠ 4 8 4 8
Приклад. 6.5. Розв’язати задачу нелінійного програмування:
2
Z = x1
+ 2x1x
2
2
+ 2x2
+ 3x1
+ 2x2
→ min,
⎧2x1
+ 2x2
≤ 10,
⎨
⎩x1
≥ 0,
x2
≥ 0.
♦ Розв’язування.
Z = Z1
+ Z2
,
Z = 3x
+ 2x
,
1
1
2
1
Z 2 = x
2
+ 2x1x
2 + 2x2
.
Розглянемо квадратичну функцію Z 2
2
= x1
+ 2x x 1 2
2
+ 2x2
та
відповідну їй матрицю, складену з коефіцієнтів при змінних
⎛1
C = ⎜
⎝1
1⎞
⎟ .
2⎠
Знаходимо власні значення (характеристичні корені) матриці С,
виписавши характеристичне рівняння:
1−
λ
1
1
= 0.
2 − λ
Тоді
202
2