Економіко-математичне моделювання

Тоді
−1
− λ
−
1
2
1
−
2 = 0 .
− 2 − λ
⎛ 1 ⎞⎛
1 ⎞
( −1−
λ)(
−2
− λ)
− ⎜−
⎟⎜−
⎟ = 0,
⎝ 2 ⎠⎝
2 ⎠
1
( 1+
λ)(
2 + λ)
− = 0,
4
2 1
2 + 2λ
+ λ + λ − = 0,
4
2 3
λ + 3λ
+ 1 = 0,
4
7
D = 9 − 4 ⋅ = 2,
4
− 3 ± 2
λ = ,
2
− 3 + 2 − 3 + 1.
4
λ 1 = ≈ = −0.
8 < 0,
2 2
− 3 − 2 − 3 −1.
4
λ 2 = ≈ = −2.
2 < 0.
2 2
Оскільки λ1 і λ2 є меншими від нуля, то квадратична форма
Z 2
2
= −x1
− x x 1 2
2
− 2x є від’ємно означеною, тобто увігнутою.
2
Функція Лагранжа для початкової задачі має вигляд:
2
L( x1,
x2,
λ ) = −x1
2
− x1x2
− 2x2
− 5x1
+ 3x2
+ λ(
5 − x1
− x2)
.
Необхідні умови існування екстремуму цільової функції за
теоремою мають вигляд:
∂L
= −2x1
− x2
∂x1
− 5 − λ ≤ 0;
∂L
= −x1
− 4x2
∂x2
+ 3 − λ ≤ 0;
∂L
= 5 − x1
− x2
∂λ
≥ 0;
∂L
0
⋅ x1
= 0;
∂x1
∂L
0
⋅ x2
= 0;
∂x2
∂L
0
⋅ λ = 0,
∂λ
0 0 0
де ( x 1 , x2
, λ ) – координати сідлової точки.
Розглянемо перших три нерівності та зведемо їх до рівнянь
шляхом вводу додаткових змінних
200