Економіко-математичне моделювання

∂L
∂x
⋅
0
λi
0
0
≥
+ ν =
=
0,
0,
0,
j = 1,
n;
j = 1,
n;
∂L0
− w = 0,
i = 1,
m;
i
∂λ
x
j
j
j
i
0
x ν
j
w
i
j
= 0,
i = 1,
m;
0
λ ≥ 0,
ν ≥
i
Теорема. Х 0 є оптимальним розв’язком задачі квадратичного
програмування тільки тоді, коли існують такі m-вимірні вектори
0
Λ ≥ 0,
w ≥ 0 і n-вимірний вектор V ≥0, для яких виконуються умови:
0 0
∂L(
X ; Λ )
I.
+ ν = 0.
j = 1,
n.
0
j
∂x
j
0
II. ν = 0,
j = 1,
n .
x j j
0 0 ( X ; Λ )
j
∂L
III.
∂λi
− w = 0.
i = 1,
m.
i
0
IV. w λ = 0,
i = 1,
m.
i i
Приклад. 6.4. Розв’язати задачу квадратичного програмування.
2
Z = −x
− x x
2
− 2x
− 5x
+ 3x
→ max,
⎧x1
+ x2
≤ 5,
⎨
⎩x1
≥ 0,
x2
≥ 0.
♦ Розв’язування.
Z = Z
1
Z
1
1
2
1
= −5x
1
2
+ Z
2
+ 3x
Z 2
2
= −x1
− x1x2
2
− 2x2
.
Розглянемо квадратичну функцію Z 2
2
= −x1
− x x 1 2
2
− 2x2
та
відповідну їй матрицю, складену з коефіцієнтів при змінних
⎛
⎜ −1
C = ⎜
⎜ 1
−
⎝ 2
1 ⎞
− ⎟
2 ⎟.
− 2 ⎟
⎠
Знаходимо власні значення (характеристичні корені) матриці С,
виписавши характеристичне рівняння
,
199
2
0,
,
1
w
i
≥
2
0.