Економіко-математичне моделювання

Приклад 6.3. Визначити оптимальні значення функції
2
z = 3x1 при обмеженні
2
+ 2x
+ 2x
x − 2x
+ 3x
2 1 2 1 2
x + x 1 2 = 3.
♦ Розв’язування.
Перед тим, як будувати функцію Лагранжа, запишемо
обмеження у такому вигляді, щоб в правій частині був нуль:
x + x 1 2 − 3 = 0 . Тоді функція Лагранжа матиме вигляд:
2
L( x , x , λ ) = 3x
1 2
1
2
+ 2x2
+ 2x
x 1 2 − 2x
+ 3x
1 2 + λ(
x + x 1 2 − 3).
Візьмемо частинні похідні цієї функції і прирівняємо їх до нуля:
⎧ ∂L
⎪
= 0,
∂x1
⎪
⎧6x1
+ 2x2
− 2 + λ = 0,
⎪ ∂L
⎪
⎨ = 0,
⇒ ⎨4x2
+ 2x1
+ 3 + λ = 0,
⎪∂x2
⎪
⎪
⎩x1
+ x2
− 3 = 0.
∂L
⎪ = 0.
⎩∂λ
Віднімемо від першого рівняння друге, щоб виключити λ ,
отримаємо таку систему рівнянь:
⎧4x1
− 2x2
− 5 = 0,
⎨
⎩x1
+ x2
− 3 = 0.
Розв’яжемо її:
⎧4(
3 − x2)
− 2x2
− 5 = 0,
⎧12
− 4x2
− 2x2
− 5 = 0,
⎨
⇒ ⎨
⇒
⎩x1
= 3 − x2.
⎩x1
= 3 − x2.
⎧ 7
⎧6x
= 7,
⎪
x2
= ,
2
6
⎨
⇒ ⎨
⎩x1
= 3 − x2.
⎪ 7 11
⎪
x1
= 3 − = .
⎩ 6 6
Точка
* ⎛11
7 ⎞
x = ⎜ ; ⎟
⎝ 7 6 ⎠
є підозрілою на оптимальність. Для
визначення типу оптимальності обчислюємо частинні похідні другого
порядку
2
∂ L
= 6;
2
∂x1
а потім визначник
2
∂ L
= 4;
2
∂x2
2
∂ L
∂x1∂x2
2
∂ L
=
∂x2∂x1
= 2,
194