Економіко-математичне моделювання

екстремуму, то в них можливий максимум або мінімум. Іноді
стаціонарна точка є сідловою (точкою перегину графіка функції).
Теорема. Нехай в околі критичної точки (x0; y0) функція f(x, y)
має неперервні частинні похідні до другого порядку включно.
Розглянемо вираз
( )
( ) ( ) ( ) 2
2
2
2
∂ f x,
y ∂ f x,
y ⎛ ∂ f x,
y ⎞
D x,
y = ⋅ − ⎜ ⎟ .
2
2
∂x
∂y
⎝ ∂x∂y
⎠
1) Якщо D ( x , y ) > 0,
то в точці (x0; y0) функція f(x, y) має такі
0 0
екстремуми:
2
∂ f ( x , y ) 0 0
а) досягає свого максимального значення, якщо < 0;
2
∂x
2
∂ f ( x , y ) 0 0
б) досягає свого мінімального значення, якщо > 0;
2
∂x
2) Якщо D ( x , y ) < 0 , то в точці (x0; y0) функція f(x, y) не має
0 0
екстремумів.
3) Якщо D ( x , y ) = 0,
то в точці (x0; y0) для функції f(x, y)
0 0
екстремуми можуть існувати чи не існувати.
Для наглядності в деяких випадках цю теорему формулюють
інакше. Складаємо матрицю такого виду:
2
2
⎡ ∂ Z ∂ Z ⎤
⎢ 2
∂x
∂x∂y
⎥
H ( x,
y)
= ⎢ 2
2 ⎥ .
⎢
∂ Z ∂ Z
⎥
2
⎢⎣
∂y∂x
∂y
⎥⎦
2
∂ Z
Обчислюємо H ( x,
y)
= і визначник матриці H ( x,
y)
:
1
2
∂x
2 2
∂ Z ∂ Z
2 2 2 2
2
2
2
2 2
∂x
∂x∂y
∂ Z ∂ Z ∂ Z ∂ Z ∂ Z ∂ Z ⎛ ∂ Z ⎞
H 2(
x,
y)
= 2 2 = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⎜ ⎟ .
2 2
2 2
∂ Z ∂ Z ∂x
∂y
∂y∂x
∂x∂y
∂x
∂y
⎝ ∂x∂y
⎠
2
∂y∂x
∂y
Якщо H ( x , y ) = D(
x , y ) > 0,
то в точці (x0; y0) досліджувана
2 0 0
0 0
функція має екстремум.
Якщо при цьому H ( x , y ) > 0,
то в окресленій точці функція
1 0 0
досягає мінімального значення; якщо H ( x , y ) < 0,
то –
1 0 0
максимального значення.
Розв’яжемо методом множників Лагранжа таку задачу.
193