Економіко-математичне моделювання

для цієї групи методів є градієнтні. Непрямі методи полягають у
зведенні задачі до такої, знаходження оптимального розв’язку якої
вдається спростити. Найпоширенішими методами цього класу є
методи квадратичного програмування.
Оптимізаційні задачі, на змінні яких накладаються обмеження,
розв’язуються методами класичної математики. Оптимізацію з
обмеженнями-рівностями виконують методами зведеного градієнта,
наприклад, методом множників Лагранжа. У задачах оптимізації з
обмеженнями-нерівностями досліджують необхідні та достатні умови
існування екстремуму Куна-Таккера.
Розглянемо метод множників Лагранжа на прикладі такої
задачі нелінійного програмування:
, ,..., ) max(min) ,
x x x f Z = (6.3)
( 1 2 n
q ( x , x ,..., x )
i 1 2 n bi
,..., , ( x x x
i 1 2 n
= , i = 1,
m,
(6.4)
де ( , ,..., )
1 2 n x x x f та q ) – диференційовані.
Ідея методу Лагранжа полягає в заміні окресленої задачі
простішою – знаходження екстремуму складнішої функції, але без
обмежень. Ця функція називається функцією Лагранжа і записується
у вигляді:
L(
x , x ,..., x ; λ , λ ,..., λ ) = f ( x , x ,..., x ) + λ [ q ( x , x ,..., x ) − b ], (6.5)
1
2
n
1
2
m
1
2
де λ – невизначені поки що величини, так звані множники Лагранжа.
i
Необхідною умовою екстремуму функції багатьох змінних є
рівність нулю частинних похідних стосовно всіх змінних функції.
Візьмемо ці частинні похідні і прирівняємо їх до нуля:
⎧ ∂L
⎪
= 0,
j = 1,
n,
⎪∂x
j
⎨
⎪ ∂L
= 0,
i = 1,
m,
⎪⎩
∂λi
або
m
⎧∂f
( x1,
x2,...,
xn
) ∂qi
( x1,
x2,...,
xn
)
⎪
+ ∑ λi
= 0,
j = 1,
n,
⎨ ∂x
j
i= 1 ∂x
j
⎪
⎩qi
( x1,
x2,...,
xn
) − bi
= 0 i = 1,
m.
Отримуємо систему (m+n) рівнянь із (m+n) невідомими,
*
розв’язавши яку, знайдемо X = ( x , x ,..., x ) та λ = ( λ , λ ,..., λ ) –
1 2 n
0 1 2 m
стаціонарні точки. Оскільки їх знайдено з необхідної умови
192
n
m
∑
i=
1
i
i
1
2
n
i