Економіко-математичне моделювання

Розділ 6. Нелінійні оптимізаційні моделі
економічних систем
6.1. Постановка задачі нелінійного програмування
та її характерні особливості
До цього часу ми розглядали задачі лінійного програмування,
тобто всі невідомі і в цільову функцію, і в обмеження задачі входили
лінійно (в першому степені). Проте взаємозв’язки між економічними
показниками досить часто носять нелінійний характер і побудована
лінійна модель в такому випадку буде неадекватна реальній
дійсності. Тому доцільно досліджувати певні економічні процеси з
допомогою нелінійних моделей, математичним інструментом яких є
нелінійне програмування.
В загальному випадку задача нелінійного програмування має
вигляд:
( 1, 2,...,
n)
max(min) ,
x x x f Z = (6.1)
⎧q1(
x1,
x2,...,
xn
) { ≤,
= , ≥}
b1,
⎪
⎪q2(
x1,
x2,...,
xn
) { ≤,
= , ≥}
b2,
⎪
⎨..........
.......... .......... .......... ......
⎪
(6.2)
qm
( x1,
x2,...,
xn
) { ≤,
= , ≥}
bm,
⎪
⎪
⎩x
j ≥ 0,
j = 1,
n,
де ( 1, 2,...,
n)
x x x f та ) ,..., , ( q i x1
x2
xn
– нелінійні функції.
Часто задачу нелінійного програмування намагаються привести
до лінійного виду. Наприклад, якщо функція задається у вигляді
1
1
z = a + b , то заміною y = ми отримаємо лінійну функцію
x
x
z = a + by . За такої заміни похибки немає, але заміна функції
2
z = −ax
+ bx + c
деякою лінійною z = c + dy призводить до значних
похибок, що зображено на рис. 6.1.1. В точках х1 та х3 значення обох
функцій співпадають, а в точці х2 відрізняються значною мірою.
Ми бачимо, що лінеаризація нелінійних процесів не завжди себе
виправдовує і в загальному випадку є досить складною
математичною задачею.
186