Економіко-математичне моделювання

Розділ 5. Задачі цілочислового лінійного
програмування та методи їх розв’язання
5.1. Постановка задачі цілочислового лінійного
програмування
Існує досить широкий клас задач математичного програмування,
в оптимальному розв’язку яких змінні приймають дробові значення,
що з економічної точки зору не має змісту, наприклад, коли
говориться про випуск певної продукції (комп’ютерів, меблів, станків
і т.д.). Тому це призвело до нового класу задач – задач цілочислового
програмування.
В загальному випадку така задача має вигляд:
Знайти максимум (мінімум) функції
n n x c x c x c c Z + + + + = 0 1 1 2 2 ...
(5.1)
за умов
⎧a11x1
+ a12x2
+ ... + a1n
xn{
≤,
= , ≥}
b1,
⎪
⎪a21x1
+ a22x2
+ ... + a2n
xn{
≤,
= , ≥}
b2,
⎪
⎨..........
.......... .......... .......... ......
(5.2)
⎪am1x1
+ am2
x2
+ ... + amnxn
{ ≤,
= , ≥}
bm,
⎪
⎪
⎩x
j ≥ 0,
j = 1,
n.
x j − цілі,
j = 1,
n.
(5.3)
До задач цього класу можна віднести задачу про використання
сировини, транспортну задачу, задачу раціонального розкрою
матеріалів, а інший клас задач цілочислового програмування містить
задачі оптимізації, в яких змінні набувають лише двох цілих значень
– 0 або 1 (бульові змінні). Прикладом такої задачі є задача про
комівояжера. Її зміст полягає в тому, що комівояжеру потрібно
відвідати кожне з п міст, починаючи і закінчуючи свій маршрут в
одному й тому ж місті і не заїжджаючи двічі в одне місто. Якщо між
містами і та j немає прямого маршруту, то вважають, c ij = ∞ (на
практиці беруть достатньо велике число). Крім цього, можливо, що
cij ≠ c ji . Задача полягає у знаходженні найкоротшого шляху
комівояжера. Математична модель задачі має вигляд:
170