Економіко-математичне моделювання

Несиметричні
Z = c0
+ c1x1
+ c2x2
+ ... + cnxn
(max), *
z = c0
+ b1
y1
+ b2
y2
+ ... + bm
ym
(min),
⎧a11x1
+ a12x2
+ ... + a1n
xn
= b1,
⎪
⎪a21x1
+ a22x2
+ ... + a2nxn
= b2,
⎪
⎨..........
.......... .......... .......... ......
⎪am1x1
+ am2x2
+ ... + amnxn
= bm,
⎪
⎪
⎩x
j ≥ 0,
j = 1,
n.
⎧a11y1
+ a21y
2 + ... + am1
ym
≥ c1,
⎪
a + + ... + ≥ ,
⎪ 12 y1
a22
y2
am2
ym
c2
⎨..........
.......... .......... .......... .....
⎪a1n
y1
+ a2n
y2
+ ... + amn
ym
≥ cn
,
⎪
⎪⎩
yi
∈]
− ∞;
+∞[.
Z = c0
+ c1x1
+ c2x2
+ ... + c x (min), *
n n z = c0
+ b1
y1
+ b2
y2
+ ... + bm
ym
(max),
⎧a11x1
+ a12x2
+ ... + a1n
xn
= b1,
⎧a11y1
+ a21y
2 + ... + am1
ym
≤ c1,
⎪
⎪a21x1
+ a22x2
+ ... + a2nxn
= b2,
⎪
a
⎪
⎪ 12 y1
+ a22
y2
+ ... + am2
ym
≤ c2,
⎨..........
.......... .......... .......... ...... ⎨..........
.......... .......... .......... .....
⎪am1x1
+ am2x2
+ ... + amnxn
= bm,
⎪a1n
y1
+ a2n
y2
+ ... + amn
ym
≤ cn
,
⎪
⎪
⎪
⎩x
j ≥ 0,
j = 1,
n.
⎪⎩
yi
∈]
− ∞;
+∞[.
Зауваження. Якщо в системі обмежень прямої задачі містяться
нерівності і рівняння, то в двоїстій задачі невідомі, що відповідають
обмеженням-нерівностям прямої задачі, повинні приймати тільки
невід’ємні значення, а двоїсті змінні, що відповідають обмеженнямрівнянням
прямої задачі, можуть набувати значення довільного знака.
3.2. Основні теореми двоїстості
Між прямою та двоїстою задачами лінійного програмування
існує тісний взаємозв’язок, який випливає з наведених нижче теорем.
Перша теорема двоїстості. Якщо одна з пари двоїстих задач
має оптимальний план, то інша задача також має оптимальний
розв’язок, причому значення цільових функцій для оптимальних
планів дорівнюють одне одному, тобто maxZ = minZ * , і навпаки.
Якщо ж цільова функція однієї з пари двоїстих задач
необмежена, то друга задача взагалі не має розв’язків.
Якщо одна з пари не має розв’язку, то цільова функція другої
задачі або необмежена, або також не має розв’язку.
101