Esercitazione 3 - Sforzi e deformazione

TECNOLOGIE E MATERIALI AEROSPAZIALI ESERCITAZIONE 3 – STATI DI SFORZO E DEFORMAZIONE
Elenco formule utilizzate nell’esercitazione
_________________
Esercitazione 3
_________________
STATI DI SFORZO E DEFORMAZIONE
xx
1) det yx
zx
xy
yy
zy
xz
yz
0:
calcolo sforzi principali
zz
Y
I III I II II III
2)
n max
, ,
; : criterio di Guest-Tresca
max
2 2 2 2
3) eq
Mises
3 J 2
2 2
I
II
2
III
I
II
I
III
II
III
Y
: criterio di Hubert-Hencky-Von
2
2
2 1 2 2 2
1
J 2 I II
II III
I III
I II III I II I III II
6
3
4)
1 2 2 2
s I sII
sIII
2
Yd
4)
1
Y 0
D
1 dv dV
3 dV
1
q
: legge di Cowper-Symonds
1 dv
3 dV
1
3
5) 1
tr
1 1
6) p tr
3
3
xx
yy
zz
: definizione della componente idrostatica di deformazione
: definizione della compoenente idrostatica di sforzo
III
1

TECNOLOGIE E MATERIALI AEROSPAZIALI ESERCITAZIONE 3 – STATI DI SFORZO E DEFORMAZIONE
1
E
v
xx
E
yy v
zz
7) E
xy 0
yz
zx
0
0
ingegneristiche
8)
xx
yy
zz
xy
yz
zx
v
E
1
E
v
E
0
0
0
v
E
v
E
1
E
0
0
0
0
0
0
1
G
2G
xx yy
xx 2G
yy
2G
xx
2G
2G
2G
xy
yz
zx
Ev
1
v 1
2v
9)
E
G
2 1
v
yy
0
0
0
0
0
0
1
G
0
zz
zz
zz
0
0
xx
yy
0
zz
: legame elastico diretto con costanti
0
xy
yz
0
zx
1
G
:legame elastico inverso con costanti di Lamè
: relazioni fra costanti di Lamè e costanti ingegneristiche
2

TECNOLOGIE E MATERIALI AEROSPAZIALI ESERCITAZIONE 3 – STATI DI SFORZO E DEFORMAZIONE
Esercizio 1: sforzi principali e criteri di snervamento
Si consideri uno stato di sforzo applicato a una lega metallica con componenti xx = 125 MPa, xy =
50MPa e le altre componenti di sforzo nulle. Determinare gli sforzi principali e verificare,
utilizzando il criterio di Guest-Tresca e Hubert-Hencky-Von Mises, se la lega rimane in campo
elastico assumendo Y = 220 MPa.
Soluzione:
a) determinazione sforzi principali
det
I
xx
det
yx
0
0
2 2
xx
2
xx
3
0
2
xy
0
2
2
0
Gli sforzi principali risultano
I , III
xx
xy
xy
xy
0
0
0
0
4
; 0
2
2 2
xx xx xy
II
Sostituendo i valori numerici risulta:
I = 142.54 MPa; II = 0 MPa; III = -17.54 MPa;
b) verifica con il criterio di Guest Tresca
I
III I
II II
n max , ,
max
2 2 2
max
max
n
max
materiale in campo elastico
materiale in condizioni di snervamento
Y
110
MPa
2
III
I
2
3
III
80 MPa
Il materiale rimane quindi in campo elastico secondo il criterio di Guest Tresca.
c) verifica con il criterio di Hubert-Hencky-Von Mises:
eq
2
I
3J
2
2
II
2
III
Sostituendo i valori ottenuti:
I
II
I
III
II
III
Y

TECNOLOGIE E MATERIALI AEROSPAZIALI ESERCITAZIONE 3 – STATI DI SFORZO E DEFORMAZIONE
eq
3J
2
( 142.
54)
2
( 17.
54)
2
Y
( 142.
5417.
54)
152
Il materiale rimane quindi in campo elastico secondo il criterio di Hubert-Hencky-Von Mises.
4

TECNOLOGIE E MATERIALI AEROSPAZIALI ESERCITAZIONE 3 – STATI DI SFORZO E DEFORMAZIONE
Esercizio 2
Si consideri uno stato di sforzo applicato a una lega di alluminio durante una lavorazione plastica
con Y = 190 MPa con componenti e xy = 80 MPa, xz = 90 MPa e le altre componenti di sforzo
nulle. Si valuti, mediante il criterio di Guest Tresca, se lo sforzo è adeguato a far entrare il materiale
in campo plastico essendo lo stato di sforzo stesso applicato con una velocità di deformazione di
d/dt = 200 s -1 . Il comportamento dinamico è modellabile con una legge di Cowper-Symonds
calibrata con parametri D e q rispettivamente pari a 12000 s -1 e 4.
Soluzione:
a) determinazione sforzi principali
det
I
det
yx
zx
3
2
xy
0
0
2
xz
0
2 2 2
0
xy
xy
xz
xz
0
0
Gli sforzi principali risultano
I , III
2 2
xy
yz ; II 0
Sostituendo i valori numerici risulta:
I = 120.42 MPa; II = 0 MPa; III = -120.42 MPa;
b) applicazione della legge di Cowper-Symonds
Per la legge di Cowper-Symonds, si ha:
Yd
1
Y 0
D
1
q
1
200
12000
1
4
1.
359
Lo sforzo di snervamento dinamico è dunque:
Yd
1. 359
Y 0
258.
27
MPa
c) applicazione della Criterio di Guest Tresca
Applicando il criterio di Guest-Tresca, risulta:
I
III I
II II
III I
n max , ,
max
2 2 2
2
max
max
materiale in campo elastico
materiale in condizioni di snervament o
5
III
120.
42 MPa

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n
max
2
Yd
129.
14 MPa
Lo stato di sforzo, conseguente alla velocità di deformazione di d/dt = 200 s -1 non risulta quindi
adeguato a far rimanere il materiale in campo plastico. Si noti infatti che nell’ipotesi di carico
applicato in condizioni quasi statiche o ad una velocità di deformazione inferiore a quella
considerata permetterebbe al materiale di rimanere in campo plastico.
In condizioni quasi statiche si avrebbe:
Y
n 95MPa
max 2
Inferiore al identificato con il criterio di Guest-Tresca ( =120.42 MPa)
n
max
6
n
max

TECNOLOGIE E MATERIALI AEROSPAZIALI ESERCITAZIONE 3 – STATI DI SFORZO E DEFORMAZIONE
Esercizio 3: Verifiche in stati di sforzo uniassiali e biassiali
Si consideri un acciaio con comportamento elastico-lineare e costanti elastiche ingegneristiche pari
a E=200000 MPa, v = 0.3 e sforzo di snervamento pari 1100 MPa.
a) si calcolino le costanti di Lamè del materiale e lo stato di sforzo di un acciao (E=200000
MPa, v = 0.3) per uno stato di deformazione con xx = yy = 0.0060 e per uno stato di
deformazione con xx = 0.0060, yy = zz = -0.0018 (con le altre componenti di deformazione
nulle).
b) In entrambi i casi si calcolino le componenti idrostatiche e deviatoriche dello sforzo e si
verifichi che il materiale rimane in campo elastico.
c) Sfruttando le relazioni elastiche espresse mediante le costanti di Lamè, si dimostri che in
regime uniassiale la legge elastica si riduce a xx = Exx.
Soluzione:
a) Le costanti di Lamè hanno espressione:
Ev
1 v1
2v
E
G
21
v
Nel caso in esame risulta:
G
2
1 v1
2v
E
Ev
1 v
115384MPa
76924MPa
Applicando il legame elastico diretto per il primo caso di deformazione con (xx = yy = 0.0060) si
ha:
xx
yy
zz
xy
yz
zx
2G
xx yy
xx 2G
yy
2G
xx
2G
2G
2G
xy
yz
zx
0
0
0
22
zz
zz
2308MPa
zz
2308 MPa
1385MPa
Applicando il legame elastico per il secondo caso di deformazione con (xx = 0.0060, yy = zz = -
0.0018) si ha:
7

TECNOLOGIE E MATERIALI AEROSPAZIALI ESERCITAZIONE 3 – STATI DI SFORZO E DEFORMAZIONE
xx
yy
zz
xy
yz
zx
2G
xx yy
xx 2G
yy
2G
xx
2G
2G
2G
xy
yz
zx
0
0
0
yy
zz
zz
zz
1200MPa
0MPa
0MPa
b) componenti deviatoriche e idrostatiche e verifiche con Hubert-Hencky-Von Mises
In entrambi i casi, gli stati di sforzo sono espressi in assi principali (sforzi di taglio nulli). Nel primo
caso risulta:
1 1
3 3
xx p
308
yy p
308
zz p
615
xy 0
0
yz
0
zx
2000 MPa
p tr
xx yy zz
s
s
s
s
s
s
xx
yy
zz
xy
yz
zx
La verifica con il criterio di Hert-Hencky-Von Mises comporta:
eq
2
I
3J
2
2
II
2
III
I
II
I
III
II
8
III
3
2
2 2 2 s s s 923MPa
Risulta eq < Y e, di conseguenza, il materiale rimane in campo elastico secondo il criterio di
Hubert-Hencky-Von Mises.
Nel secondo caso si ha:
1
p tr
3
1
3
xx yy zz
s
xx
xx p
800
s yy
yy p
400
s zz zz p
400
s
xy xy 0
s
0
yz yz
s
0
zx zx
400MPa
La verifica con il criterio di Hert-Hencky-Von Mises comporta:
I
II
III

TECNOLOGIE E MATERIALI AEROSPAZIALI ESERCITAZIONE 3 – STATI DI SFORZO E DEFORMAZIONE
eq
2
I
3J
2
2
II
2
III
I
II
I
III
II
9
III
3
2
2 2 2 s s s 1200MPa
Risulta eq < Y e, di conseguenza, il materiale non rimane in campo elastico secondo il criterio di
Hubert-Hencky-Von Mises.
c) legame sforzo deformazione nel caso uniassiale
L’espressione generale del legame elastico fornisce la seguente espressione per la componente di
sforzo xx :
xx yy zz
xx 2 G
Per conciliare tale espressione con il classico enunciato = E occorre considerare che quest’ultima
espressione è valida esclusivamente in stato di trazione (o compressione) uniassiale. Si introducano,
infatti, le relazioni fra le costanti di Lamè e quelle ingegneristiche nella precedente espressione
generale del legame elastico:
G
2
xx
1 v1
2v
xx
xx
E
Ev
1 v
2G
xx
Ev
yy
2
zz
E
1 v1
2v
21
v
xx 1 v1
2v
yy 1 v1
2v
E1
v
xx
1 v1
2v
Ev
yy
1 v1
2v
Ev
zz
1 v1
2v
Si consideri, quindi, che nella prova di trazione uniassiale in direzione x si ha:
v
yy
zz
xx
Introducendo il legame fra le deformazioni nell’espressione ottenuta per lo sforzo si ha:
xx
xx
E1
v
Ev
xx
v
xx
1 v1
2v
1 v1
2v
2
2
1 v
2v
1
v 2v
E
xx E
2
1 v1
2v
1
2v
v 2v
Ev
xx
Ev
I
Ev
II
v
xx
1 v1
2v
1
v 2v
E
1
v 2v
2
2
E
Si è ottenuta, quindi, l’espressione xx = Exx che è coerente con la classica formulazione delle legge
di Hooke in ambito monodimensionale. E’ tuttavia sempre da sottolineare come tale espressione sia
valida solo per la prova di trazione/compressione uniassiale.
xx
III
zz