Nella Fig. 6.2 sono riportati i risultati delle prove triassiali ... - Padis

9.3 Linearizzazione consistente mediante derivazione numerica 141
k1 := f (yk) (9.16)
k2 := f yk + 1
2 ∆Tkk1
(9.17)
k3 := f (y k − ∆Tkk1 + 2∆Tkk2) (9.18)
Con le due soluzioni disponibili è ora possibile adattare le dimensioni del passo di
integrazione tramite la seguente procedura. Si consideri il tensore differenza:
Rk+1 := y k+1 − y k+1
a cui si può associare una misura scalare dell’errore relativo:
Rk+1 := Rk+1
y
k+1
(9.19)
(9.20)
L’integrazione sull’intervallo k–esimo si assume accettabile quando per una assegnata
T OL (ragionevolmente piccola), si ha:
Rk+1 < T OL (9.21)
Se tale disuguaglianza è verificata, lo stato del materiale è aggiornato e la
dimensione del substep successivo è assunta, in accordo con Sloan (1987), come:
1/3
T OL
∆Tk+1 = min 0.9∆Tk
; 4∆Tk
(9.22)
Rk+1
Nel caso contrario, l’ampiezza del substep è ridotta scegliendo un nuovo valore di
∆Tk tramite la funzione:
1/3 T OL
∆Tk+1 = min 0.9∆Tk
; 1
4 ∆Tk
(9.23)
Rk+1
L’ampiezza del substep è ridotta fino a quando l’accuratezza della soluzione fornita
dalla condizione 9.21 è soddisfatta e un nuovo substep può essere iniziato. Tale
procedura si arresta quando Tk = 1 e si passa allo step successivo [tn+1; tn+2] La
Tab. 9.1 sintetizza l’algoritmo utilizzato.
9.3 Linearizzazione consistente mediante derivazione
numerica
Nel Par. 8.5 è stato descritto con dettaglio il metodo di Newton–Raphson per
la risoluzione iterativa di problemi non lineari. Tale schema richiede la determinazione
della matrice di rigidezza tangente consistente, il cui calcolo, a causa della
non–linearità del legame costitutivo non è possibile in forma chiusa, ma è condotto
tramite il processo di linearizzazione dell’algoritmo di punto di Gauss sviluppato
per integrare l’equazione incrementale espressa dalla eq. 9.2 per i modelli
elastoplastici e dalla eq. 9.9 per i modelli ipoplastici.