Nella Fig. 6.2 sono riportati i risultati delle prove triassiali ... - Padis
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9.2 L’algoritmo RKF–23 a passo adattativo con controllo dell’errore 139<br />
Infine nel modello HP-MA le leggi di evoluzione pos<strong>sono</strong> essere espresse<br />
sinteticamente come: <br />
˙σ = M(σ, q, ηδ)˙ɛ ˙q = H(σ, q, ηδ)˙ɛ (9.9)<br />
in cui il vettore <strong>delle</strong> variabili interne è espresso come:<br />
q = {δ, e} T<br />
(9.10)<br />
Il tensore di ridezza tangente è definito dalla eq. 4.107 e le leggi di evoluzione <strong>delle</strong><br />
variabili interne <strong>sono</strong> date da:<br />
<br />
˙δ = hδ ˙ɛ<br />
(9.11)<br />
˙e = he ˙ɛ<br />
le cui espressioni <strong>sono</strong> fornite nel Par.4.4 assieme al significato fisico di tutte le<br />
grandezze.<br />
L’algoritmo RKF23 confronta due soluzioni differenti, ottenute applicando due<br />
algoritmi di Runge–Kutta di ordine diverso, per stimare la soluzione del passo di<br />
integrazione da adottare sulla base di un valore prefissato (opportunamente basso)<br />
dell’errore di integrazione stimato. Se l’errore stimato è minore della tolleranza, è<br />
possibile aumentare l’ampiezza del passo per aumentare l’efficienza della procedura<br />
(Haier & Wanner, 1991; Sloan, 1987).<br />
All’interno del passo temporale [tn; tn+1] si introduce una suddivisione in substeps<br />
la cui ampiezza è definita in modo adattativo dalla procedura di Runge–<br />
Kutta–Felhberg.<br />
Introducendo la variabile adimensionale T , definita come:<br />
T :=<br />
t − tn<br />
tn+1 − tn<br />
= t − tn<br />
∆tn+1<br />
l’ampiezza del generico substep k risulta dunque pari a:<br />
∆Tk+1 := Tk+1 − Tk = tk+1 − tk<br />
∆tn+1<br />
ns <br />
k=1<br />
t ∈ [tn; tn+1] (9.12)<br />
∆Tk+1 = 1 (9.13)<br />
con ns numero variabile di substeps. Quando il substep coincide con il passo ∆tn+1<br />
si ha ∆Tk+1 = 1.<br />
<strong>Nella</strong> procedura RKF23 due differenti soluzioni <strong>sono</strong> calcolate simultaneamente<br />
nel generico substep k mediante le seguenti relazioni di ricorrenza:<br />
y k+1 = y k + ∆Tk<br />
y k+1 = y k + ∆Tk<br />
2<br />
Cjkj (yk, ∆Tk) (9.14)<br />
j=1<br />
3<br />
Cjkj (yk, ∆Tk) (9.15)<br />
j=1<br />
Le costanti che compaiono nelle eq. 9.14–9.15 assumono i valori C1 = 0, C2 = 1,<br />
C1 = C3 = 1/6, C2 = 2/3 mentre le funzioni k1, k2 e k3 <strong>sono</strong> definite come: