Nella Fig. 6.2 sono riportati i risultati delle prove triassiali ... - Padis

9.2 L’algoritmo RKF–23 a passo adattativo con controllo dell’errore 139
Infine nel modello HP-MA le leggi di evoluzione possono essere espresse
sinteticamente come:
˙σ = M(σ, q, ηδ)˙ɛ ˙q = H(σ, q, ηδ)˙ɛ (9.9)
in cui il vettore delle variabili interne è espresso come:
q = {δ, e} T
(9.10)
Il tensore di ridezza tangente è definito dalla eq. 4.107 e le leggi di evoluzione delle
variabili interne sono date da:
˙δ = hδ ˙ɛ
(9.11)
˙e = he ˙ɛ
le cui espressioni sono fornite nel Par.4.4 assieme al significato fisico di tutte le
grandezze.
L’algoritmo RKF23 confronta due soluzioni differenti, ottenute applicando due
algoritmi di Runge–Kutta di ordine diverso, per stimare la soluzione del passo di
integrazione da adottare sulla base di un valore prefissato (opportunamente basso)
dell’errore di integrazione stimato. Se l’errore stimato è minore della tolleranza, è
possibile aumentare l’ampiezza del passo per aumentare l’efficienza della procedura
(Haier & Wanner, 1991; Sloan, 1987).
All’interno del passo temporale [tn; tn+1] si introduce una suddivisione in substeps
la cui ampiezza è definita in modo adattativo dalla procedura di Runge–
Kutta–Felhberg.
Introducendo la variabile adimensionale T , definita come:
T :=
t − tn
tn+1 − tn
= t − tn
∆tn+1
l’ampiezza del generico substep k risulta dunque pari a:
∆Tk+1 := Tk+1 − Tk = tk+1 − tk
∆tn+1
ns
k=1
t ∈ [tn; tn+1] (9.12)
∆Tk+1 = 1 (9.13)
con ns numero variabile di substeps. Quando il substep coincide con il passo ∆tn+1
si ha ∆Tk+1 = 1.
Nella procedura RKF23 due differenti soluzioni sono calcolate simultaneamente
nel generico substep k mediante le seguenti relazioni di ricorrenza:
y k+1 = y k + ∆Tk
y k+1 = y k + ∆Tk
2
Cjkj (yk, ∆Tk) (9.14)
j=1
3
Cjkj (yk, ∆Tk) (9.15)
j=1
Le costanti che compaiono nelle eq. 9.14–9.15 assumono i valori C1 = 0, C2 = 1,
C1 = C3 = 1/6, C2 = 2/3 mentre le funzioni k1, k2 e k3 sono definite come: