Nella Fig. 6.2 sono riportati i risultati delle prove triassiali ... - Padis

9.2 L’algoritmo RKF–23 a passo adattativo con controllo dell’errore 137
2. si considera che il tensore di rigidezza elastico è costante nell’intervallo di
tempo.
Comunque entrambe le semplificazioni producono elevate discrepanze tra il comportamento
del terreno previsto e quello osservato nelle pratiche applicazioni. In
particolare l’ipotesi (1) porta a valori irrealistici del rapporto critico delle tensioni
per i terreni caratterizzati da elevati valori dell’angolo di attrito in compressione
triassiale, ogni volta che il problema ai limiti è caratterizzato da un ampio intervallo
di variazione della direzione del percorso tensionale. Dall’altra parte, come
ha osservato per primo Borja (1991), l’ipotesi (2) degrada in maniera sostanziale le
prestazioni dello schema di integrazione su percorsi di carico con elevate variazioni
della tensione media (analisi di scavi). Tali limitazioni sono state superate da Tamagnini
et al. (2002) che hanno utilizzato tale schema per un modello elastoplastico
ad incrudimento isotropo e degradazione chimica.
Rispetto agli algoritmi impliciti, gli algoritmi espliciti presentano il vantaggio
di essere più semplici da implementare, poichè richiedono soltanto le derivate prime
della funzione di snervamento e del potenziale plastico. Wissmann & Hauck (1983)
e Sloan (1987) hanno messo in evidenza che l’accuratezza e l’efficienza dei metodi
espliciti sono notevolmente migliori combinandoli con substepping automatico
e controllo dell’errore. Gli algoritmi espliciti, a differenza di quelli impliciti non
richiedono la risoluzione di un sistema di equazioni non–lineari per determinare lo
stato tensionale in ogni punto di Gauss. D’altro canto quando si passa da uno stato
elastico a uno plastico si rende necessario determinare il punto di intersezione tra
il percorso di carico e la superficie di snervamento. Tale fase richiede la risoluzione
di una sola equazione non–lineare, ma va trattata con una certa attenzione per
evitare di determinare intersezioni spurie.
Due differenti studi di Potts & Ganendra (1982, 1994) hanno comparato
le prestazioni dell’algoritmo return mapping di Ortiz & Simo (1986) con lo
schema esplicito di Sloan (1987), il secondo relativamente al modello di Cam–Clay
Modificato risulta essere più robusto ed efficiente del primo.
I metodi di substepping espliciti di Sloan (1987) sono stati originariamente
applicati a modelli elastoplastici classici e succesivamente (Sloan et al., 2001) sono
stati estesi a modelli elastoplastici avanzati.
In tale capitolo si descrive l’algoritmo esplicito adattativo di Runge–Kutta–
Fehlberg di terzo ordine (RKF23) che è stato applicato sia a modelli elastoplastici
avanzati (BS-TD e EP-RW) sia ad un modello ipoplastico (HP-MA).
9.2 L’algoritmo RKF–23 a passo adattativo con controllo
dell’errore
Lo schema di integrazione considerato è l’algoritmo esplicito adattativo di Runge–
Kutta–Fehlberg di terzo ordine (RKF23), che adotta lo schema di Eulero modificato
(di ordine 2) e lo schema di Runge–Kutta di ordine 3.
Tale algoritmo non è strettamente associato alla piattaforme impiegate nel
presente lavoro, ma può essere utilizzato in qualunque altro codice agli elementi
finiti che permetta l’ampliamento della libreria dei modell costitutivi.