Nella Fig. 6.2 sono riportati i risultati delle prove triassiali ... - Padis

132 8 Implementazione numerica agli elementi finiti delle equazioni dinamiche
M ¨ dn+1 +(1+α)C ˙ dn+1 −αC ˙ dn +(1+α)f int
n+1 −αf int
n = f ext (tn+1 +α∆t) (8.50)
La definizione dell’operatore è completata con le formule di integrazione di
Newmark per spostamenti e velocità riporate nelle eq. 8.42 e 8.43.
La soluzione è incondizionatamente stabile se i parametri soddisfano le seguenti
condizioni:
β1 = 1
2 − α β2 = 1
(1 − α)2
4
− 1
≤ α ≤ 0 (8.51)
3
Il vantaggio di tale operatore è rappresentato dal suo controllo sul damping numerico
che cresce lentamente alle basse frequenze e più rapidamente alle alte frequenze,
in cui si hanno dei modi ad origine spuria correlati agli errori introdotti dalla discretizzazione
spaziale dell’equazione di equilibrio. Il controllo di tale damping è
fornito dal parametro α: con α = 0 non c’è damping e l’operatore diventa la legge
trapezoidale (Newmark, β = 1/4); mentre con α = −1/3 si ha un elevato damping.
Una volta sostituite le espressioni di spostamenti e velocità riporate nelle
eq. 8.42 e 8.43 si ottiene il seguente sistema di equazioni algebriche non–lineari
nell’incognita ∆¨ dn+1:
G d n+1 = MƬ
1
dn + (1 + α) − α C∆t∆
2 ¨ dn + (1 + α)f int
n+1 = 0 (8.52)
in cui
F d n+1 = f ext (tn+1+α∆t)−M ¨
dn−(1+α)C ˙dn + ∆t¨
dn +αC ˙ dn+αf int
n
(8.53)
in maniera analoga al paragrafo precedente il termine F d n+1 è funzioni di variabili
note, poiché tutte riferite al tempo tn, mentre per valutare f int
n+1 = f int
n + ∆f int
n
della eq. 8.52 è necessario ricorre alla soluzione iterativa, descritta nel Par. 8.5.
8.5 Soluzione iterativa dei problemi non–lineari
A seguito della discretizzazione e dell’integrazione temporale, si ottiene un sistema
di equazioni algebriche non–lineari del tipo:
in cui per l’approccio MSP:
∆d¨ x =
∆ ˙a
mentre per quello UP:
Gn+1(xn+1) = f n+1 − Sn+1(xn+1) = 0 (8.54)
x =
Ƭ
d
d
G
G =
G a
G =
G d
(8.55)
(8.56)
f è il vettore delle variabili indipendenti da x e S è il vettore delle variabili
dipendenti. La eq. 8.54 può essere risolta in maniera iterativa impiegando il metodo
di Newton-Raphson. Il residuo Rn+1 è definito come: