Nella Fig. 6.2 sono riportati i risultati delle prove triassiali ... - Padis

8.4 Discretizzazione nel tempo 129
una matrice di smorzamento proporzionale alla combinazione delle matrici di massa
e di rigidezza, come proposto per la prima volta da Lord Rayleigh. In questo
caso, sommando tra loro le due espressioni alternative date dalle eq. 8.32, si ottiene
la matrice di smorzamento alla Rayleigh:
C = αr
M + βrK (8.34)
2ωn
dove M è la matrice di massa e K è una matrice di rigidezza del sistema, di solito
assunta pari a quella di “rigidezza tangente”.
Risulta dunque evidente come lo smorzamento alla Rayleigh conduca alla
seguente relazione tra rapporto di smorzamento e frequenza di vibrazione:
ξn = αrM + βrK + βrωn
2
(8.35)
In Fig. 8.1 sono mostrate in maniera schematica le relazioni tra ξ e ω espresse dalle
eq. 8.33 e dalla eq. 8.35. Si comprende, quindi, come nel caso di smorzamento alla
Rayleigh, i due fattori αr e βr, possono essere valutati dalla soluzione del sistema
di due equazioni in due incognite rappresentato da:
ξn
ξm
βr
= 1
2
1/ωm ωm αr
1/ωn ωn
ωn + ωm
βr
(8.36)
ottenuto imponendo che siano verificate contemporaneamente due equazioni del
tipo 8.35 per due valori noti di ξn e ξm, associati a due specifiche frequenze ωn e
ωm. Poiché però la maggior parte delle volte non si hanno sufficienti informazioni
sulla variazione del rapporto di smorzamento con la frequenza, allora di solito si
assume un valore dello smorzamento uguale per le due differenti frequenze, ovvero
ξn = ξm = ξ. In questo caso i due fattori di smorzamento incogniti αr e βr, si
ottengono dal sistema semplificato ottenuto dalla eq. 8.36:
αr 2ξ ωnωm
=
(8.37)
1
Clough e Penzien propongono di scegliere un valore di ωm prossimo alla frequenza
fondamentale del sistema in esame ed un valore di ωn da scegliere tra i valori
delle frequenze più alte che possono contribuire alla sua risposta dinamica. Così
facendo, infatti, i valori di frequenza compresi tra ωn e ωm avranno dei rapporti
di smorzamento minori di ξn = ξm = ξ assunto nel calcolo, mentre tutti i modi
con frequenze più alte di ωn avranno valori di smorzamento che aumentano
proporzionalmente con la frequenza. In questa maniera l’effetto finale è quello di
smorzare maggiormente i modi di vibrazione ad alte frequenze.
8.4 Discretizzazione nel tempo
Nel caso in cui le grandezze siano dipendenti dalla variabile tempo d(t) e a(t) si
rende necessaria una ulteriore discretizzazione nel dominio temporale. A tal fine
una delle famiglie di metodi diretti più utilizzata è la famiglia dei metodi alla
Newmark dettagliatamente descritte da Hughes (2000).