Nella Fig. 6.2 sono riportati i risultati delle prove triassiali ... - Padis
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126 8 Implementazione numerica agli elementi finiti <strong>delle</strong> equazioni dinamiche<br />
Sostituendo le espressioni 8.6–8.9 nelle eq. 8.3 e 8.4, si ottiene infine la seguente<br />
forma discreta del problema di consolidazione accoppiato: si determinino i vettori<br />
degli spostamenti nodali, d, e <strong>delle</strong> pressioni interstiziali nodali, a, in modo che le<br />
equazioni:<br />
δd T <br />
· M¨ d + f int (d) − Cswa − f ext<br />
= 0 (8.10)<br />
δa T <br />
· Cws ˙ d + P ˙a + Ha − q ext<br />
= 0 (8.11)<br />
risultino soddisfatte per qualunque valore dei vettori <strong>delle</strong> variazioni nodali (arbitrarie)<br />
δd e δa. Le matrici ed i vettori che compaiono nelle eq. 8.10 e 8.11 <strong>sono</strong><br />
definite come segue:<br />
M := A nel<br />
<br />
e=1<br />
Be ρN uT N u dv (8.12)<br />
f int (d) := A nel<br />
<br />
e=1<br />
Be B uT σ ′ [ɛ(d)]dv (8.13)<br />
Csw := A nel<br />
<br />
e=1<br />
Be B uT mN p dv (8.14)<br />
f ext (d) := A nel<br />
<br />
e=1<br />
Be N uT <br />
ρBdv +<br />
Se N uT <br />
tda<br />
(8.15)<br />
Cws := A nel<br />
<br />
e=1<br />
Be N pT m T B u dv = C T sw<br />
(8.16)<br />
P := A nel<br />
<br />
e=1<br />
Be CwN pT N p dv<br />
H := A<br />
(8.17)<br />
nel<br />
<br />
e=1<br />
Be 1<br />
E<br />
µw<br />
pT KE p dv<br />
q<br />
(8.18)<br />
ext (d) := A nel<br />
<br />
e=1 E pT ρw<br />
KB<br />
µw<br />
u <br />
dv − N pT <br />
qda (8.19)<br />
B e<br />
M rappresenta la matrice di massa; f int (d) è il vettore <strong>delle</strong> forze interne dipendente<br />
dal valore corrente del tensore della tensione totale. Quest’ultimo a sua volta<br />
è funzione del vettore degli spostamenti nodali attraverso il legame costitutivo e<br />
la relazione cinematica spostamenti–deformazioni; Csw è la matrice di accoppiamento<br />
e Cws è la sua trasposta; P rappresenta la matrice di compressibilità in<br />
cui Cw = n/Kw (ipotesi di incompressibilità dei grani); H è la matrice di permeabilità<br />
ed infine f ext (d) e q ext (d) <strong>sono</strong> i vettori <strong>delle</strong> forze esterne dipendenti<br />
da quantità note. Inoltre il simbolo A rappresenta l’operazione di assemblaggio<br />
dei contributi dei singoli elementi; B u è l’operatore gradiente discreto per il campo<br />
di spostamenti, ed E p l’operatore gradiente discreto per il campo di pressione<br />
interstiziale.<br />
Data l’arbitrarietà dei vettori δd e δa, affinchè le eq. 8.10 e 8.11 siano<br />
soddisfatte, è necessario che risulti:<br />
M ¨ d + f int (d) − Cswa − f ext = 0 (8.20)<br />
Cws ˙ d + P ˙a + Ha − q ext = 0 (8.21)<br />
S e