Nella Fig. 6.2 sono riportati i risultati delle prove triassiali ... - Padis

8.2 Discretizzazione nello spazio 125
gli spazi delle variazioni δus i e δpw del campo di spostamenti e delle pressioni
interstiziali, rispettivamente, definite in modo tale da essere nulle in corrispondenza
dei contorni Su ed Sp. La forma variazionale del problema dinamico accoppiato
è formulata nel modo seguente: si determinino le funzioni us i ∈ Cu e pw ∈ Cp in
modo che, per ogni δus i ∈ Vu e δpw ∈ Vp, risulti:
−
ρδu
B
s i aidv +
ρδu
B
s i bidv +
δpw {Cw ˙pw + ˙ɛkk} dv +
B
Nelle precedenti equazioni,
B
Sl
δu s i tidv −
δɛijσ
B
′ ijdv +
B
δɛkkpwdv = 0
(8.3)
kij
(δpw),i {(pw),i − ρwbj} dv + δpwq wda = 0
µw
Sq
(8.4)
ɛij = u s (i,j) δɛij = δu s (i,j) (8.5)
rappresentano i tensori della deformazione dello scheletro solido, e la parte simmetrica
del gradiente della variazione δus (i,j) , rispettivamente, mentre il coefficiente
Cw = n/Kw è la compressibilità specifica della fase liquida.
La formulazione discreta del problema di consolidazione dinamica accoppiata si
ottiene dalle eq. 8.3–8.4 introducendo una opportuna suddivisione del dominio B
in elementi finiti, e definendo opportune approssimazioni per le funzioni incognite,
a partire da funzioni interpolanti a supporto locale. In particolare, si pone:
u s i (xk, t) =
nnu
A=1
per gli spostamenti dello scheletro solido, e:
pw(xk, t) =
nnu
A=1
N u A(xk)dAi(t) u s i (x, t) = N u d(t) (8.6)
N p
A (xk)aA(t) pw(x, t) = N p a(t) (8.7)
per la pressione interstiziale. Nelle eq. 8.6 e nella eq. 8.7, i vettori d ed a rappresentano
i vettori degli spostamenti e delle pressioni interstiziali nodali, mentre N u
ed N p sono le matrici delle funzioni di forma per gli spostamenti e le pressioni
interstiziali (generalmente diverse tra loro).
Seguendo l’approccio classico di Galerkin, per le funzioni variazione δu s i e
δpw si adottano tipicamente le stesse approssimazioni utilizzate per il campo di
spostamenti e delle pressioni interstiziali:
δu s i (xk, t) =
δpw(xk, t) =
nnu
A=1
nnu
A=1
N u A(xk)δdAi(t) δu s i (x, t) = N u δd(t) (8.8)
N p
A (xk)δaA(t) δpw(x, t) = N p δa(t) (8.9)
dove δd e δa sono i vettori delle variazioni nodali per gli spostamenti e le pressioni
interstiziali, rispettivamente.