Nella Fig. 6.2 sono riportati i risultati delle prove triassiali ... - Padis

7.9 Formulazioni approssimate 113
per il caso di terreno saturo.
Nelle precedenti equazioni, si è tenuto conto delle leggi di compressibilità dei
due fluidi eq. 7.55 e eq. 7.57; le eq. 7.67 e eq. 7.73 definiscono invece il legame tra
la velocità di deformazione ˙ɛij ed il gradiente della velocità dello scheletro solido,
nella ipotesi di piccole deformazioni.
Le eq. 7.59–7.67 e le eq. 7.68–7.73 costituiscono un sistema di equazioni differenziali
alle derivate parziali (PDE) costituito rispettivamente da (24+k) e da
(19+k) funzioni incognite [k = dim(q)].
7.9 Formulazioni approssimate
Il sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali che controlla l’evoluzione
nello spazio e nel tempo dei processi di deformazione dello scheletro solido e di
flusso dei fluidi interstiziali, in linea di principio, può essere risolto per via numerica,
utilizzando il metodo degli elementi finiti, assegnate le opportune condizioni ai
limiti (iniziali ed al contorno) per il problema in esame. Tale approccio è discusso,
ad es., in Zienkiewicz & Shiomi (1985).
In molti casi, tuttavia, è possibile semplificare considerevolmente le equazioni
governanti tenendo conto che, in relazione al campo di frequenze caratteristiche
delle sollecitazioni applicate, alcuni termini che compaiono nelle equazioni governanti
risultano trascurabili. Tale possibilità è stata esplorata da Zienkiewicz et al.
(1980) per il caso speciale di terreno elastico lineare. I principali risultati raggiunti
da Zienkiewicz et al. sono sintetizzati nel seguito, con riferimento al solo caso di
mezzo saturo.
7.9.1 Processi estremamente lenti (ESP)
In questo caso, la velocità di variazione delle sollecitazioni applicate è talmente
bassa (al limite, nulla) che, nelle equazioni di bilancio, tutti i termini contenenti
derivate delle varie grandezze rispetto al tempo sono trascurabili, con la sola
eccezione della velocità di filtrazione.
In tali condizioni, cui si attribuisce il nome di “condizioni drenate” (Drained
processes, DP), si ha:
∂σij
∂w w i
∂xi
= 0 (7.74)
+ ρbi = 0 (7.75)
∂xi
w w i = − kw
ij ∂pw
− ρwbj
(7.76)
µw ∂xj
(7.77)
˙σ ′ ij = Dijkl(σ ′ ab, qr, ηst)˙ɛkl
˙qi = Hi(σ ′ ab, qc, ˙ɛlm, ηpq) (7.78)
˙ɛij = − 1
2
∂v s i
∂xj
+ ∂vs
j
∂xi
(7.79)