Nella Fig. 6.2 sono riportati i risultati delle prove triassiali ... - Padis
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108 7 Equazioni governanti per i processi accoppiati in campo dinamico<br />
per la fase solida;<br />
per la fase liquida, e<br />
∂σ s ij<br />
∂xi<br />
∂σ w ij<br />
∂xi<br />
∂σ g<br />
ij<br />
∂xi<br />
+ nsρs(bi − ai) + p s i = 0 (7.35)<br />
+ nwρw(bi − ai) + p w i = 0 (7.36)<br />
+ ngρg(bi − ai) + p g<br />
i<br />
= 0 (7.37)<br />
per la fase gassosa.<br />
Risulta essere opportuno osservare che, per le fasi liquida e gassosa, le tensioni<br />
parziali pos<strong>sono</strong> essere considerate isotrope, e pari a:<br />
σ w ij = −nSwpw<br />
σ g<br />
ij = −nSgpg<br />
(7.38)<br />
nelle quali pw e pg rappresentano le pressioni nelle fasi liquida e gassosa, rispettivamente,<br />
considerate positive in compressione.<br />
7.6 Conservazione della quantità di moto della miscela<br />
Le forze di interazione scambiate tra le fasi che compaiono nelle eq. 7.36–7.38, in<br />
quanto azioni interne alla miscela, <strong>sono</strong> autoequilibrate. Dunque:<br />
n<br />
p α i = 0 (7.39)<br />
α=0<br />
Inoltre, il tensore <strong>delle</strong> tensioni totali è legato alle tensioni parziali tra le varie fasi<br />
dalla relazione:<br />
n<br />
σij = (σ α ij + nα + ραv α i v α j ) ∼ n<br />
=<br />
(7.40)<br />
α=0<br />
nella quale le componenti diffusive di Reynolds pos<strong>sono</strong> essere considerate trascurabili.<br />
Tenendo conto di tali <strong>risultati</strong> ed introducendo alcune altre semplificazioni<br />
minori (si veda, ad es., Lewis & Schrefler (1998)), dalla somma <strong>delle</strong> equazioni<br />
di conservazione <strong>delle</strong> singole fasi si ottiene la seguente equazione di equilibrio<br />
dinamico locale per la miscela solido–liquido–gas:<br />
∂σij<br />
α=0<br />
+ ρ(bi − a s i ) − nSwρwa ws<br />
i − nSgρga gs<br />
i = 0 (7.41)<br />
∂xi<br />
dove:<br />
ρ := (1 − n)ρs + Swnρw + Sgnρg<br />
è la densità media della miscela, mentre le quantità aws i<br />
s wi a ws<br />
i = ds<br />
dt<br />
a gs<br />
i<br />
+ 1<br />
w<br />
nSw<br />
w i,kw w k<br />
nSw<br />
s<br />
ds wi = +<br />
dt nSg<br />
1<br />
w<br />
nSg<br />
g<br />
i,kwg k<br />
σ α ij<br />
ed a gs<br />
i <strong>sono</strong> date da:<br />
(7.42)<br />
(7.43)<br />
(7.44)<br />
e rappresentano le accelerazioni relative <strong>delle</strong> fasi liquida e gassosa rispetto alla<br />
fase solida.