Nella Fig. 6.2 sono riportati i risultati delle prove triassiali ... - Padis

7.5 Conservazione della quantità di moto dei singoli costituenti 107
7.4 Conservazione della massa della miscela
In accordo con il primo ed il terzo principio di Truesdell la conservazione della
massa della miscela nel suo complesso deve essere formalmente uguale a quella di
un corpo monofase, che è:
∂ρ ∂ρvi
+ = 0 (7.29)
∂t ∂xi
e deve essere ottenuto come conseguenza delle equazioni di conservazione della
massa dei singoli costituenti.
Dalle eq. 7.23–7.25 si ottiene:
∂
∂t
3
α=1
ραnα
+ ∂
3
ραnαv
∂xi α=1
α
= 0 (7.30)
Confrontando la eq. 7.29 con la eq. 7.30 si ottengono le seguenti equivalenze:
ρ :=
v := 1
ρ
3
ραnα = (1 − n)ρs + Swnρw + Sgnρg
α=1
3
ρ α v α =
α=1
3
c α v α = c s v s + c w v w + c g v g
α=1
(7.31)
(7.32)
in cui ρ è la densità della miscela, v è la velocità della miscela e c α := ρ α /ρ è la
concentrazione di massa del costituente α nella miscela.
7.5 Conservazione della quantità di moto dei singoli
costituenti
Il principio di conservazione della quantità di moto della generica fase α richiede
che, per un arbitrario volume B della miscela, delimitato dalla superficie regolare
chiusa S, si abbia:
d α
dt
nαραv
B
α i dv =
(nαραbi + p
B
α i )dv +
S
σ α ijnjda (7.33)
nella quale bi è l’accelerazione di gravità, σα ij il tensore della tensione parziale per
la fase α, nj il versore della normale alla superficie S, e p α i la forza di interazione
trasmessa alla fase α dagli altri costituenti della miscela.
La forma locale di tale equazione, ottenibile trasformando la eq. 7.33 mediante
i teoremi di Reynolds e della divergenza, e tenendo conto dell’equazione di
conservazione della massa eq. 7.21 e dell’arbitrarietà del volume B, è data da:
∂σ α ij
∂xi
+ nαρα(bi − ai) + p α i = 0 (7.34)
dove ai è l’accelerazione della fase α. Per un terreno non saturo, la eq. 7.34 si
specializza in: