Nella Fig. 6.2 sono riportati i risultati delle prove triassiali ... - Padis
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7.5 Conservazione della quantità di moto dei singoli costituenti 107<br />
7.4 Conservazione della massa della miscela<br />
In accordo con il primo ed il terzo principio di Truesdell la conservazione della<br />
massa della miscela nel suo complesso deve essere formalmente uguale a quella di<br />
un corpo monofase, che è:<br />
∂ρ ∂ρvi<br />
+ = 0 (7.29)<br />
∂t ∂xi<br />
e deve essere ottenuto come conseguenza <strong>delle</strong> equazioni di conservazione della<br />
massa dei singoli costituenti.<br />
Dalle eq. 7.23–7.25 si ottiene:<br />
∂<br />
∂t<br />
3<br />
α=1<br />
ραnα<br />
<br />
+ ∂<br />
<br />
3<br />
ραnαv<br />
∂xi α=1<br />
α<br />
<br />
= 0 (7.30)<br />
Confrontando la eq. 7.29 con la eq. 7.30 si ottengono le seguenti equivalenze:<br />
ρ :=<br />
v := 1<br />
ρ<br />
3<br />
ραnα = (1 − n)ρs + Swnρw + Sgnρg<br />
α=1<br />
3<br />
ρ α v α =<br />
α=1<br />
3<br />
c α v α = c s v s + c w v w + c g v g<br />
α=1<br />
(7.31)<br />
(7.32)<br />
in cui ρ è la densità della miscela, v è la velocità della miscela e c α := ρ α /ρ è la<br />
concentrazione di massa del costituente α nella miscela.<br />
7.5 Conservazione della quantità di moto dei singoli<br />
costituenti<br />
Il principio di conservazione della quantità di moto della generica fase α richiede<br />
che, per un arbitrario volume B della miscela, delimitato dalla superficie regolare<br />
chiusa S, si abbia:<br />
d α<br />
dt<br />
<br />
nαραv<br />
B<br />
α i dv =<br />
<br />
(nαραbi + p<br />
B<br />
α i )dv +<br />
<br />
S<br />
σ α ijnjda (7.33)<br />
nella quale bi è l’accelerazione di gravità, σα ij il tensore della tensione parziale per<br />
la fase α, nj il versore della normale alla superficie S, e p α i la forza di interazione<br />
trasmessa alla fase α dagli altri costituenti della miscela.<br />
La forma locale di tale equazione, ottenibile trasformando la eq. 7.33 mediante<br />
i teoremi di Reynolds e della divergenza, e tenendo conto dell’equazione di<br />
conservazione della massa eq. 7.21 e dell’arbitrarietà del volume B, è data da:<br />
∂σ α ij<br />
∂xi<br />
+ nαρα(bi − ai) + p α i = 0 (7.34)<br />
dove ai è l’accelerazione della fase α. Per un terreno non saturo, la eq. 7.34 si<br />
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