Nella Fig. 6.2 sono riportati i risultati delle prove triassiali ... - Padis

106 7 Equazioni governanti per i processi accoppiati in campo dinamico
dα
ραnαdv = 0
dt B
(7.20)
Applicando all’ eq. 7.14 i teoremi di Reynolds e della divergenza si ha:
0 = dα
dt B ραnαdv =
∂ραnα
B ∂t dv + S ραnαvα i nida =
=
∂ραnα ∂
B ∂t + ∂xi (nαραvα i )
dv
(7.21)
Tenendo conto dell’arbitrarietà del volume B l’equazione di conservazione
(eq. 7.21) è equivalente alla seguente equazione di bilancio locale:
∂
∂t (nαρα) + ∂
(nαραv
∂xi
α i ) = 0 (7.22)
Per un terreno non saturo tenendo conto delle eq. 7.6, si ha:
per la fase solida;
per la fase liquida, e
∂
∂t {(1 − n)ρs} + ∂
∂xi
{(1 − n)ρsv s i } = 0 (7.23)
∂
∂t {Swnρw} + ∂
{Swnρwv
∂xi
w i } = 0 (7.24)
∂
∂t {Sgnρg} + ∂
∂xi
{Sgnρgv g
i } = 0 (7.25)
per la fase gassosa. Nella eq. 7.24 e nella eq. 7.25, Sw = Sr ed Sg = 1 − Sr
rappresentano i gradi di saturazione del liquido e del gas, rispettivamente.
Le precedenti equazioni 7.23–7.25 possono essere espresse in una forma più
conveniente combinando tra loro le equazioni di conservazione per la massa dei
due fluidi con quella del solido. Si ottiene così Lewis & Schrefler (1998):
n ˙ Sw + Sw
n
ρw
per la combinazione solido+liquido, e
n ˙ n
Sg + Sg
ρg
∂v
˙ρw + Sw
s i
+
∂xi
∂ww i
∂xi
∂v
˙ρg + Sg
s i
∂xi
+ ∂wg
i
∂xi
= 0 (7.26)
= 0 (7.27)
per la combinazione solido+gas. Nelle precedenti equazioni, il punto indica la
derivata materiale rispetto al tempo; le quantità:
w w i := nw(v w i − v s i ) w g
i
:= ng(v g
i − vs i ) (7.28)
rappresentano le velocità (apparenti) di filtrazione delle fasi liquida e gassosa. Nella
loro derivazione, sono stati trascurati i gradienti spaziali delle densità ρw e ρg.