Studio di un algoritmo di consensus Newton-Raphson ... - Automatica
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Fig. 2. Confronto delle rette <strong>di</strong> regressione <strong>di</strong> <strong>un</strong> set <strong>di</strong> dati buoni (crocette<br />
nere) e outliers (cerchi rossi) ottenute tramite l’utilizzo della f<strong>un</strong>zione costo<br />
quadratica (linea rossa tratteggiata) e della f<strong>un</strong>zione costo L 1 (linea nera).<br />
La retta blu a p<strong>un</strong>tini invece è il risultato ottenuto con la f<strong>un</strong>zione costo<br />
quadratica senza la presenza degli outliers.<br />
i no<strong>di</strong>. La misura xi <strong>di</strong> ogni nodo potrebbe essere in questo<br />
caso il numero <strong>di</strong> operazioni che l’i esimo processore deve<br />
svolgere per <strong>un</strong>a determinata operazione <strong>di</strong> calcolo ai fini<br />
<strong>di</strong> <strong>un</strong>a elaborazione globale che comprenda l’intera rete. Per<br />
migliorare complessivamente la velocità <strong>di</strong> calcolo si potrebbe<br />
fare in modo che i processori possano <strong>di</strong>stribuirsi omogeneamente<br />
le operazioni la svolgere sfruttando le connessioni<br />
presenti in modo da bilanciare il lavoro totale. L’obiettivo<br />
è quin<strong>di</strong> quello che tutti i processori abbiano alla fine lo<br />
stesso numero <strong>di</strong> operazioni da svolgere, ossia la quantità<br />
me<strong>di</strong>a x ∗ . Un approccio possibile può essere quin<strong>di</strong> l’utilizzo<br />
<strong>di</strong> <strong>un</strong> <strong>algoritmo</strong> <strong>di</strong> <strong>consensus</strong> <strong>di</strong>stribuito che tenga conto<br />
della tipologia della rete attraverso <strong>un</strong> grafo e pesi il numero<br />
delle operazioni <strong>di</strong> calcolo in carico a ciasc<strong>un</strong> processore con<br />
delle apposite f<strong>un</strong>zioni costo. Ogni nodo aggiornerà il valore<br />
me<strong>di</strong>o x ∗ tramite <strong>un</strong> <strong>algoritmo</strong> <strong>di</strong> <strong>consensus</strong>, successivamente<br />
avverrà lo spostamento effettivo delle operazioni <strong>di</strong> calcolo tra<br />
i processori.<br />
Matematicamente si tratta <strong>di</strong> determinare x ∗ che minimizza il<br />
carico totale <strong>di</strong> operazioni dell’intera rete; se definiamo con<br />
fi(x) le f<strong>un</strong>zioni costo <strong>di</strong> ogni nodo, si perviene al problema:<br />
x ∗ = argmin<br />
x<br />
N<br />
fi(x)<br />
i=1<br />
Con evidenza questo problema può essere risolto con<br />
l’<strong>algoritmo</strong> in esame.<br />
D. Localizzazione <strong>di</strong> <strong>un</strong>a fonte acustica<br />
La localizzazione <strong>di</strong> <strong>un</strong>a fonte acustica è <strong>un</strong> particolare<br />
problema che si riscontra anche in ambito militare.<br />
Supponiamo che la fonte acustica sia in <strong>un</strong>a posizione ignota<br />
θ ∗ da stimare attraverso delle misure rilevate da <strong>un</strong>a serie<br />
<strong>di</strong> sensori <strong>di</strong>stribuiti <strong>un</strong>iformemente nello spazio. Se ri è la<br />
locazione, nota, dell’i esimo sensore (i = 1,...,N) che rileva<br />
m misure, possiamo descrivere il segnale ricevuto utilizzando<br />
il modello isotropo <strong>di</strong> propagazione dell’energia:<br />
xi,j =<br />
A<br />
||θ −ri|| β +wi,j j = 1,...,m<br />
dove A > 0 è <strong>un</strong>a costante, ||θ − ri|| β > 1, l’esponente<br />
β > 1 descrive l’attenuazione acustica causata dal mezzo<br />
<strong>di</strong> propagazione e wi,j sono supposti rumori <strong>di</strong> <strong>di</strong>stribuzione<br />
gaussiana a me<strong>di</strong>a nulla e varianza σ2 .<br />
La locazione della fonte rumorosa si trova risolvendo:<br />
θ ∗ = argmin<br />
θ<br />
1<br />
mN<br />
N<br />
m<br />
i=1 j=1<br />
(xi,j −<br />
A<br />
||θ −ri|| β)2<br />
Si tratta evidentemente <strong>di</strong> <strong>un</strong> problema <strong>di</strong> minimizzazione (non<br />
lineare) ai minimi quadrati, sul quale possiamo applicare il<br />
nostro <strong>algoritmo</strong> ponendo come f<strong>un</strong>zioni costo:<br />
fi(θ) = 1<br />
m<br />
E. No<strong>di</strong> in <strong>un</strong>a rete<br />
m<br />
j=1<br />
(xi,j −<br />
A<br />
||θ −ri|| β)2<br />
In alc<strong>un</strong>i casi può essere utile conoscere quanti no<strong>di</strong> sono<br />
presenti in <strong>un</strong>a rete (si pensi ad esempio al caso <strong>di</strong> PC collegati<br />
alla rete Internet oppure sensori che trasmettono informazioni<br />
etc.). Questa operazione può essere fatta semplicemente con<br />
<strong>un</strong> <strong>algoritmo</strong> <strong>di</strong> average <strong>consensus</strong>, inizializzando <strong>un</strong> nodo ad<br />
1,x1(0) = 1, e tutti gli altri a zero,xi(0) = 0,i = 2,3,...,N.<br />
Siccome l’average <strong>consensus</strong> converge alla me<strong>di</strong>a delle con<strong>di</strong>zioni<br />
iniziali, ponendo la variabile:<br />
ˆNi(k) = 1<br />
xi(k)<br />
che stima N in ogni nodo i della rete, otteniamo:<br />
ˆNi(k) = 1<br />
xi(k)<br />
k→+∞<br />
−−−−−→<br />
1<br />
N<br />
1<br />
= N N<br />
j=1xj(0) essendo ovviamente N<br />
j=1 xj(0) = 1 come prima specificato.<br />
F. Calibrazione <strong>di</strong> sensori<br />
Molte tipologie <strong>di</strong> sensori economici spesso possono essere<br />
affetti da errori <strong>di</strong> offset dovuti ad imprecisioni <strong>di</strong> fabbricazione.<br />
Se si utilizzano <strong>di</strong>spositivi che misurano la potenza<br />
del segnale (in<strong>di</strong>ce RSII) per stimare la <strong>di</strong>stanza tra due no<strong>di</strong><br />
wireless, la misura <strong>di</strong> potenza del j-esimo <strong>di</strong>spositivo rilevata<br />
dall’i-esimo <strong>di</strong>spositivo può essere modellizzata come:<br />
yij = f(ξi,ξj)+oi<br />
dove ξi e ξj sono la posizione dei due <strong>di</strong>spositivi, oi è l’offset<br />
del <strong>di</strong>spositivo ricevente e f(ξi,ξj) è <strong>di</strong> solito f<strong>un</strong>zione della<br />
<strong>di</strong>stanza ||ξi −ξj|| tra gli apparecchi.<br />
L’obiettivo è quello <strong>di</strong> stimare l’offset oi <strong>di</strong> ogni nodo con<br />
lo scopo <strong>di</strong> rimuoverlo dalle misurazioni. Possiamo impostare<br />
il problema come segue: vogliamo stimare l’offset ôi in modo<br />
tale che per ogni nodo valga la relazione oi − ôi = o, ossia<br />
che tutti i no<strong>di</strong> abbiano lo stesso offset o.