Studio di un algoritmo di consensus Newton-Raphson ... - Automatica

Algorithm 4 Ottimizzazione distribuita
(variabili)
1: xi(n), yi(n), gi(n) ∈ R N×N for i = 1,...,M and k =
1,2,...
(parametri)
2: P ∈ R M×M , consensus matrix
3: ε ∈ (0,1)
(inizializzazione)
4: for i = 1 to M do
5: yi(0) = gi(−1) = 0
6: Zi(0) = Hi(−1) = 0
7: xi(0) = 0
8: end for
(algoritmo)
9: for n = 1,2,... do
(aggiornamenti locali)
10: for i = 1 to M do
11: gi(n) = ∇ 2 fi(xi(n))xi(n)−∇fi(xi(n))
12: Hi(n) = ∇ 2 fi(xi(n))
13: yi(n) = yi(n−1)+gi(n−1)−gi(n−2)
14: Zi(n) = Zi(n−1)+Hi(n−1)−Hi(n−2)
15: end for
(”average consensus” multidimensionale)
16: Y(n) = (P ⊗IN)Y(n)
17: Z(n) = (P ⊗IN)Z(n)
(aggiornamenti locali)
18: for i = 1 to M do
19: xi(n) = (1−ε)xi(n−1)+ε(Zi(n)) −1 yi(n)
20: end for
21: end for
In maniera sintetica, si può affermare che la grande differenza
tra questo metodo e quello precedente è che in questo
caso la stima della mappa non è più univoca ma ci saranno
tante stime quanti sono i sensori, che, grazie allo scambio
di informazioni tra di loro, convergono asintoticamente ad
un’unica stima, in maniera del tutto analoga a quanto visto
in II nel caso scalare.
Ad ogni iterazione dell’algoritmo, che ricordiamo avviene
in ciascun sensore contemporaneamente, possiamo distinguere
tre fasi diverse:
• Fase 1: aggiornamento della distanza tra la propria misura
e quella stimata dall’agente, successiva elaborazione dei
vettori Z e Y ;
• Fase 2: scambio di informazione tra gli agenti e i propri
vicini;
• Fase 3: aggiornamento dei vettori di coefficienti sulla base
della nuova informazione.
1) Fase 1: All’inizio dell’n-esimo ciclo, l’i-esimo agente ha
un vettore di parametri a (i) (n) cui corrisponde una determinata
funzione discreta G(·, a (i) (n)), e ne calcola il valore nel
proprio punto (xi) confrontandolo con quello misurato yi, per
ottenere così l’errore locale di approssimazione. Per l’i-esimo
agente, si avrà così:
zi(a (i) (n)) = yi −G(xi, a (i) (n)) (47)
Si noti come la (40) si differenzi dalla (47) in quanto presso
ciascun sensore si avrà una diversa ricostruzione della mappa
G(·, a (i) ) che dipende dal vettore a (i) a disposizione dell’iesimo
sensore in quell’istante.
A partire da questo dato, ciascun agente aggiorna i vettori
Hi e Zi, analogo multivariabile degli elementi dei vettori z e
y in 12.
L’aggiornamento avviene in maniera analoga a quanto visto
in II, solo che in questo caso le quantità gi(xi(n)) e hi(xi(n))
non sono più scalari bensì vettori e matrici, di conseguenza
nel loro calcolo intervengono gradienti ed Hessiane al posto
di derivate prime e seconde.
Volendo sviluppare le espressioni per gi(xi(n)) e
Hi(xi(n)), si riscrive la (47) in maniera esplicita come:
yi −a (i)
1 e−(xi−w1)2
−···−a (i)
M e−(xi−wM)2
(48)
A partire da questa forma risulta immediato calcolare il
gradiente della i-esima funzione costo f(zi) 6 .
avendo posto:
⎡
∇f(zi) = f ′ ⎢
(zi) ⎣
Si =
⎡
⎢
⎣
∂zi
∂a1
.
∂zi
∂aM
⎤
e −(xi−w1)2
.
e −(xi−wM)2
⎥
⎦ = −f ′ (zi)Si (49)
⎤
⎥
⎦ (50)
Infine la j-esima riga della matrice Hessiana Hi(zi) =
∇ 2 fi(zi) è il gradiente (trasposto) del j-esimo elemento di
∇f(zi), per cui si può calcolare l’elemento in posizione (j,k)
di Hi(zi) come
∂ 2 f(zi)
∂aj∂ak
= f ′′ (zi) ∂zi ∂zi
+f
∂aj ∂ak
′ (zi) ∂2zi ∂aj∂ak
= f ′′ (zi) ∂zi ∂zi
∂ak ∂aj
= f ′′ (zi)e −(xi−wk) 2 −(xi−wj) 2
= f ′′ (zi)SiS T i
(51)
Anche nel caso distribuito, così come si è trovato nel caso
centralizzato, ad ogni iterazione vengono calcolati unicamente
i nuovi valori delle derivate prime e seconde corrispondenti
alle funzioni costo locali. A partire da questi vengono calcolati
i gradienti e le matrici hessiane, sfruttando l’informazione
memorizzata in ciascun agente, ovvero il vettore Si.
6 Indichiamo le funzioni costo relative a ciascun sensore con f(zi) anziché
g(zi), per non fare confusione con il vettore gi(xi(n)), aggiornato nella riga
11 dell’Alg. 4, che viene calcolato proprio a partire dalla funzione costo locale
f(zi)).