Problema del Commesso Viaggiatore 1 Introduzione 2 ... - Automatica
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M. Monaci - <strong>Problema</strong> <strong>del</strong> <strong>Commesso</strong> <strong>Viaggiatore</strong> 7<br />
3 Formulazioni compatte<br />
Il risultato <strong>del</strong>la sezione precedente è estremamente importante dal punto di vista teorico,<br />
ma ha anche un riscontro pratico (in quanto il metodo funziona effettivamente in modo<br />
efficiente), e conferma i seguenti risultati di validità più generale:<br />
Teorema: Se il problema di separazione (o di generazione di colonne) è risolubile<br />
in tempo polinomiale (nella taglia <strong>del</strong> problema), allora anche il numero di iterazioni è<br />
polinomiale (nella taglia <strong>del</strong> problema).<br />
Proposizione: Se il problema di separazione (o di generazione di colonne) è formulabile<br />
come problema di programmazione di dimensione polinomiale (nella taglia <strong>del</strong> problema)<br />
in cui ˜x compare solo nel termine noto o solo nei costi, allora anche il problema<br />
originale è formulabile come LP di dimensione polinomiale (nella taglia <strong>del</strong> problema).<br />
Infatti, si consideri il problema (P)<br />
(P) min c T x (7)<br />
A x ≤ b (8)<br />
D x ≤ e (9)<br />
x ≥ 0 (10)<br />
nel quale immaginiamo che i vincoli (8) siano “pochi” mentre i vincoli (9) siano “molti”.<br />
Immaginiamo di voler risolvere il problema con un algoritmo di tipo cutting-plane, risolvendo<br />
ad ogni iterazione il problema di separazione dei vincoli (9), e che questo problema<br />
abbia la seguente forma.<br />
<strong>Problema</strong> di separazione: dato x, verificare se v ≥ 1 dove<br />
(S) v = max f T y<br />
G y ≤ H<br />
L y ≤ M(x)<br />
y ≥ 0<br />
dove M(x) è lineare in x ed il problema di separazione (S) ha taglia polinomiale in n.<br />
Questo corrisponde a dire che<br />
D x ≤ e ⇐⇒ v ≥ 1.<br />
Allora il problema (P) può essere riformulato nel seguente modo:<br />
(P) min c T x<br />
A x ≤ b<br />
x ≥ 0<br />
f T y ≥ 1<br />
G y ≤ H<br />
L y ≤ M(x)<br />
y ≥ 0<br />
cioè esiste una formulazione di dimensione polinomiale per (P).