Problema del Commesso Viaggiatore 1 Introduzione 2 ... - Automatica

M. Monaci - Problema del Commesso Viaggiatore 7
3 Formulazioni compatte
Il risultato della sezione precedente è estremamente importante dal punto di vista teorico,
ma ha anche un riscontro pratico (in quanto il metodo funziona effettivamente in modo
efficiente), e conferma i seguenti risultati di validità più generale:
Teorema: Se il problema di separazione (o di generazione di colonne) è risolubile
in tempo polinomiale (nella taglia del problema), allora anche il numero di iterazioni è
polinomiale (nella taglia del problema).
Proposizione: Se il problema di separazione (o di generazione di colonne) è formulabile
come problema di programmazione di dimensione polinomiale (nella taglia del problema)
in cui ˜x compare solo nel termine noto o solo nei costi, allora anche il problema
originale è formulabile come LP di dimensione polinomiale (nella taglia del problema).
Infatti, si consideri il problema (P)
(P) min c T x (7)
A x ≤ b (8)
D x ≤ e (9)
x ≥ 0 (10)
nel quale immaginiamo che i vincoli (8) siano “pochi” mentre i vincoli (9) siano “molti”.
Immaginiamo di voler risolvere il problema con un algoritmo di tipo cutting-plane, risolvendo
ad ogni iterazione il problema di separazione dei vincoli (9), e che questo problema
abbia la seguente forma.
Problema di separazione: dato x, verificare se v ≥ 1 dove
(S) v = max f T y
G y ≤ H
L y ≤ M(x)
y ≥ 0
dove M(x) è lineare in x ed il problema di separazione (S) ha taglia polinomiale in n.
Questo corrisponde a dire che
D x ≤ e ⇐⇒ v ≥ 1.
Allora il problema (P) può essere riformulato nel seguente modo:
(P) min c T x
A x ≤ b
x ≥ 0
f T y ≥ 1
G y ≤ H
L y ≤ M(x)
y ≥ 0
cioè esiste una formulazione di dimensione polinomiale per (P).