A(s) - Automatica

A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova 

• Sistema in equilibrio 

Stabilita` 

• Risposta a possibili perturbazioni dell’equilibrio 

• Esempio: pendolo inverso nel piano (sistema NON lineare) 

• due punti di equilibrio (P 1 : ϑ=0, P 2 : ϑ =π) 

• perturbazione: condizione iniziale ϑ 0 diversa da quella 

di equilibrio 

• P 1 : dopo un po` di oscillazioni, si torna nella posizione 

equilibrio con ϑ=0 

• P 2 : ci si allontana sempre piu` da P 2 (il sistema si porta 

in P 1 ) 

• Caratterizzazione dell’equilibrio 

1


Stabilita` 

• Si consideri un sistema in quiete (c.i. nulle) in t=0: 

• u(t)=0, y(t)=0 per t0 t.c. |y(t)|≤M y ∀ t≥0 

(*) 

• risposta divergente: non esiste alcuna M y come in (*) 

• risposta convergente lim asintoticamente y(t) = 0 

a zero: ∃ My t→∞ 

come in (*) e inoltre 

2


Stabilita` 

• Risposta limitata o convergente: comportamento STABILE 

• Risposta divergente: comportamento INSTABILE 

• Esempio del pendolo inverso: 

• P 1 : comportamento stabile (risposta convergente 

asintoticamente a ϑ=0 a partire da qualsiasi ϑ 0 ) 

• P 2 : comportamento instabile (la distanza da P 2 pero` 

rimane in ogni caso limitata in quanto il sistema torna 

in P 1 ) 

• In generale il carattere della risposta dipende sia dal punto 

di equilibrio che dall’entita` della perturbazione 

3


Stabilita` dei sistemi lineari 

• Sistemi dinamici lineari tempo invarianti: il carattere della 

risposta non dipende ne’ dal particolare punto di 

equilibrio ne’ dall’entita` della perturbazione (carattere 

globale) 

• Si studia l’equilibrio del sistema in quiete (condizioni 

iniziali nulle) 

• Perturbazione: alterazione arbitraria delle condizioni 

iniziali 

• Stabilita` del sistema rispetto alle condizioni iniziali 

• Si determina in base all’andamento dell’evoluzione libera 

4



• Definizione: un sistema dinamico LTI e` detto stabile 

(semplicemente) rispetto alle c.i. se, per qualsiasi c.i., la 

risposta libera e` limitata: 

∀ (y 0 , y 0 (1) ,...,y0 (n-1) ) ∃ M>0 t.c. |yL (t)|≤M ∀ t≥0 

dove M dipende dalla c.i. (y 0 , y 0 (1) ,...,y0 (n-1) ) 

• Osservazione: la proprieta` deve valere per ogni possibile 

c.i.! 

du(t) 

• Esempio: 

− 2y(t) = − u(t) 

dt 

d 2 y(t) dy(t) 

+ 2 

dt dt 

yL (t) = 

€ 

y0 − y (1) 

0 e 

3 

−2t + 2y 0 + y (1) 

0 e 

3 

t 

y0 = − 1 

2 y (1) 

0 

(1) 

y0 = y0 convergente 

divergente 

5



• Definizione: un sistema dinamico LTI e` detto 

asintoticamente stabile rispetto alle c.i. se, per qualsiasi 

c.i., la risposta libera converge a zero: 

lim yL (t) = 0 

t→∞ 

• Osservazione: per la continuita`, convergenza a zero 

implica limitatezza ⇒ 

€ 

stabilita` asintotica ⇒ stabilita` 

• Definizione: un sistema dinamico LTI che non sia stabile 

rispetto alle c.i. e` detto instabile 

• Studio della stabilita` rispetto alle c.i.: analisi modale 

6


€ 


• Evoluzione libera: si ottiene combinando linearmente (con 

combinatori che dipendono dalle c.i.) un insieme di 

funzioni dette modi del sistema 

• Si consideri il sistema 

y L (t) = 

n 

ai i=0 

h ri Ki ∑ ∑ t 

i=1=1(r 

i − )! 

ri − e pi t 

€ 

d i y(t) 

∑ = ∑ bi dt i 

• Sia A(s)=a n s n +a n-1 s n-1 +...+a 1 s+a 0 

d i u(t) 

dt i 

t r i − e p i t modi complessi 

• pi : radice con molteplicita` ri di A(s) (polinomio 

caratteristico) 

€ 

m 

i=0 

7



• Se σ i = parte reale di p i , allora 

• σ i >0 ⇒ funzioni divergenti per t→∞ 

• σ i =0 ⇒ funzioni limitate se r i =1 o divergenti se r i >1 per 

t→∞ 

• σ i


p i reale 

p i complesso 

r i =2 

1 

0.5 


0 

0 5 10 

1 

0.5 

0 

-0.5 

0 5 10 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

σ i 0 

0 

0 5 10 

2 

1.5 

1 

0.5 

0.5 

-0.5 

0 

0 5 10 

1 

0 

-1 

0 5 10 

10 

5 

0 

-5 

-10 

0 5 10 

x 10 4 

3 

2 

1 

0 

0 5 10 

x 10 4 

1 

0 

-1 

-2 

0 5 10 

x 10 5 

1 

0 

-1 

-2 

0 5 10 

9


Stabilita` BIBO 

• “Cause” che determinano l’evoluzione di un sistema 

dinamico lineare: 

• condizioni iniziali 

• ingressi 

u(t) 

y0 , y (1) (n−1) 

0 , K , y0 

y L (t) 

+ y F (t) = y(t) 

• Evoluzione libera: stabilita` rispetto alle c.i., dipende dalle 

proprieta` del sistema 

• Evoluzione forzata: dipende dalle proprieta` sia del 

sistema che dell’ingresso 

10



• Studio della stabilita` “ingresso-uscita”: a partire da 

condizioni iniziali nulle 

• Intuitivamente: forzando il sistema con ingressi di 

ampiezza limitata, si ottengono uscite ancora dello stesso 

tipo 

• Definizione: un sistema dinamico LTI e` detto BIBO 

(Bounded Input - Bounded Output) stabile se, ad ogni 

ingresso u(t) limitato, il sistema reagisce con una uscita 

forzata y F (t) limitata: 

|u(t)| ≤M u ∀ t≥0 ⇒ ∃ M y tale che |y F (t)| ≤M y ∀ t≥0 

• Si puo` caratterizzare analizzando la funzione di 

trasferimento (o equivalentemente la risposta impulsiva) 

11



• Risposta forzata:se A(s) e` il polinomio caratteristico, 

YF (s) = B(s) N(s) 

U(s) = 

A(s) D(s) U(s) 

con N(s) e D(s) coprimi e degN(s)≤degB(s), degD(s)≤degA(s) 

• Teorema: 

€ 

un sistema dinamico LTI e` BIBO stabile se e 

solo se σi =Re[pi ] < 0 per ogni pi radice di D(s). 

• Le radici di D(s) sono un sottoinsieme delle radici di A(s): 

stabilita` asintotica rispetto alle c.i. ⇒ stabilita` BIBO 

• La stabilita` asintotica rispetto alle c.i. e` una proprieta` 

piu` forte rispetto alla stbilita` BIBO 

12


Imag Axis 

3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

Pole zero map 

-3 

-6 -4 -2 0 2 

Real Axis 

asint. stabile risp. c.i. 

BIBO stabile 


Imag Axis 

3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

Pole zero map 

-3 

-6 -4 -2 0 2 

Real Axis 

semp. stabile risp. c.i. 

BIBO instabile 

Imag Axis 

3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

Pole zero map 

-3 

-6 -4 -2 0 2 

Real Axis 

instabile rispetto alle c.i. 

BIBO instabile 

13



• Osservazione 1: la stabilita` BIBO e` equivalente alla 

stabilita` asintotica rispetto alle c.i. se numeratore e 

denominatore della f.d.t. sono polinomi coprimi 

• Osservazione 2: la stabilita` semplice rispetto alle c.i. NON 

implica la stabilita` BIBO 

1 

• Esempio: 

G(s) = 

s(s +1) 

• poli: p 1 =0 Re[p 1 ]=0 r 1 =1 

p2 € =-1 Re[p2 ]


€ 

Y F (s) = G(s) 1 

s = 

€ 

⇒ sistema BIBO instabile! 

1 

• Esempio: € G(s) = 

s 2 + ω 2 


1 

s 2 (s +1) 

1 1 1 

= − + 

s +1 s s 2 

yF (t) = L −1 [ YF (s) ] = e −t −1+ t 

~ ∃ M y F (t) < M ∀ t > 0 

• poli: p 1,2 =±jω Re[p 1,2 ]=0 r 1,2 =1 

• sistema € stabile semplicemente rispetto alle c.i. 

• Risposta a cos(ωt) (ingresso limitato) 

15


€ 

€ 

Y F (s) = G(s) 

s 

s 2 = 2 

+ ω 


s 

s 2 + ω 2 

( ) 

2 = 

1 

( s + jω) 

2 s − jω 

( ) 2 

• Calcolo dei residui in -jω (in +jω si ottengono i coniugati): 

( ) 2 s 

K 1 = s + jω 

K 2 = d 

ds 

s 2 + ω 2 

( ) 2 

s + jω ( )2 s 

s=− jω 

s 2 + ω 2 

( ) 2 

= 

s=− jω 

s 

( s − jω) 

2 

s=− jω 

= − s2 + ω 2 

( s − jω) 

4 

= j 

4ω 

s=− jω 

= 0 

16


€ 


YF (s) = j 1 j 1 

− 2 

4ω ( s + jω) 

4ω ( s − jω) 

2 

yF (t) = L −1 [ YF (s) ] = j 

4ω te− jωt − j 

€ 

⇒ sistema BIBO instabile! 

€ 

= − jt 

4ω 2 j e jωt − e 

2 j 

− jωt 

4ω 

te jωt 

= t 

2ω sinωt 

~ ∃ M y F (t) < M ∀ t > 0 

17


Stabilita` e cancellazioni zero-polo 

• Zero della funzione di trasferimento: indica che vi sono 

segnali che vengono “bloccati” dal sistema 

• Sia u(t)=ke pt 

€ 

+∞ 

G(s) = g(t)e −st ∫ dt 

0 

+∞ 

G(p) = g(t)e − pt ∫ dt 

• Uscita forzata y F (t): uso l’integrale di convoluzione 

t 

0 

yF (t) = ∫ g(t − τ)u(τ)dτ = ∫ 

g(t − τ)u(τ)dτ 

0 

t 

−∞ 

18


€ 


t 

∫ = g(t − τ)ke 

−∞ 

− p(t−τ ) e pt t 

∫ 

dτ 

−∞ 

y F (t) = g(t − τ)ke pτ dτ 

= ke pt g(t − τ)e − p(t−τ ) t 

dτ 

−∞ 

∫ = (t − τ = z) 

+∞ 

• Se G(p)=0 ⇒ y F (t)=0 

= ke pt g(z)e − pz ∫ dz = ke pt G(p) 

0 

y F (t) = kG( p)e pt 

19



• Connessione serie di due sistemi: 

u1 (t) y1 (t)=u2 (t) y2 (t) 

G1 (s) G2 (s) 

€ 

€ 

G 1 (s) = 1 

s − a 

Y 2 (s) 

U 1 (s) = 

s − a 

( s − a) 

s − b 

G 2 (s) = 

( ) 

s − a 

s − b 

= 1 

s − b 

Cancellazione zero-polo 

20


• Osservazioni: 


• qualunque sia u 1 (t), y 1 (t) contiene il fattore e at 

(dall’evoluzione libera a partire da c.i. arbitrarie, dato 

che a e` un polo di G 1 (s)) 

y 1 (t)=ke at +... 

• y 2 (t) NON contiene il fattore e at in quanto G 2 (a)=0 e 

y 2 (t)=kG 2 (a)e at +... 

• nell’uscita complessiva del sistema non si manifesta 

parte della dinamica del sistema (dinamica nascosta) 

21



• Nei sistemi reali, la cancellazione puo` essere non esatta 

• Due possibilita`: 

• Re[a]0 ⇒ la dinamica nascosta e` divergente 

(instabile) ⇒ se non e` cancellata esattamente, il 

termine residuo diverge ⇒ l’uscita puo` divergere 

anche se u 1 (t) e` limitato e la f.d.t. complessiva 

apparentemente ha solo poli a parte reale negativa 

• Nella pratica vanno evitate cancellazioni zero-polo se il 

polo e` a parte reale positiva 

22


Criteri di stabilita` 

• Studio della stabilita` di un sistema dinamico LTI ⇔ studio 

della posizione delle radici di polinomi nel piano 

complesso 

• La presenza di anche una sola radice in Re[s]>0 porta alla 

instabilita` (sia BIBO che rispetto alle c.i.) 

• Criteri che permettono di determinare le proprieta` di 

stabilita` senza dover calcolare esplicitamente le radici 

(cosa numericamente dispendiosa) 

• Regola di Cartesio: se un polinomio monico A(s) ha tutte 

le radici a parte reale negativa, allora deve avere tutti i 

coefficienti positivi. 

• E` condizione necessaria ma non sufficiente 

23


Il criterio di Routh 

• Criterio di Routh: algoritmo computazionalmente molto 

efficiente, di semplice applicabilita` e di grande 

affidabilita` 

• Fornisce una condizione necessaria e sufficiente perche’ 

un polinomio abbia tutte le radici in Re[s]


Costruzione della tabella di Routh 

• Costruzione della tabella: la tabella e` costituita da n+1 

righe 

• Le prima due righe si costruiscono direttamente a partire 

dai coefficienti del polinomio 

riga n an an-2 an-4 ... 

riga n-1 an-1 an-3 an-5 ... 

riga n-2 

... 

riga 1 

riga 0 

• Supponiamo di aver calcolato gli elementi delle righe i+2 

-esima e i+1-esima, e di voler calcolare gli elementi della 

riga i-esima 

25



riga n an an-2 an-4 ... ... 

riga n-1 an-1 an-3 an-5 ... ... 

... 

riga i+2 pi+2 pi pi-2 ... ... 

riga i+1 qi+1 qi-1 qi-3 ... ... 

riga i ri ri-2 ri-4 ... ... 

... 

riga 1 

riga 0 

rj = − 1 

( pi+2q j−1 − p jqi+1) = p j − 

qi+1 pi+2q j−1 

qi+1 j = i, i − 2, i − 4,… 

26



riga n an an-2 an-4 ... ... 

riga n-1 an-1 an-3 an-5 ... ... 

... 

riga i+2 pi+2 pi pi-2 pi-4 ... 

riga i+1 qi+1 qi-1 qi-3 qi-5 ... 

riga i ri ri-2 ri-4 ri-6 ... 

... 

riga 1 

riga 0 

ri = − 1 

( pi+2qi−1 − piqi+1) qi+1 27



riga n an an-2 an-4 ... ... 

riga n-1 an-1 an-3 an-5 ... ... 

... 




... 

riga 1 

riga 0 

ri−2 = − 1 

( pi+2qi−3 − pi−2qi+1) qi+1 28



riga n an an-2 an-4 ... ... 

riga n-1 an-1 an-3 an-5 ... ... 

... 




... 

riga 1 

riga 0 

ri−4 = − 1 

( pi+2qi−5 − pi−4qi+1) qi+1 29



• La riga i-esima ha (i/2)+1 elementi se i e` pari, (i+1)/2 

elementi se i e` dispari 

• La relazione per il calcolo degli elementi si puo` applicare 

se q i+1 ≠0 

• Se cio` si verifica per tutte le righe fino alla riga 0 (elementi 

della prima colonna tutti diversi da zero) ⇒ tabella 

completa 

• Esempio: 

A(s) = s 4 + 5s 3 + 20s 2 + 40s + 50 

= a 4 s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 

riga 4 a4 a2 a0 

riga 3 a3 a1 

riga 2 p2 p0 

riga 1 q1 

riga 0 r0 

30



riga 4 1 20 50 

riga 3 5 40 

riga 2 p2=-(40-100)/5=12 p0 

riga 1 q1 

riga 0 r0 

riga 4 1 20 50 

riga 3 5 40 0 

riga 2 12 p0=-(1 . 0-5 . 50)/5=50 

riga 1 q1 

riga 0 r0 

31



riga 4 1 20 50 

riga 3 5 40 0 

riga 2 12 50 

riga 1 q1=-(5 . 50-40 . 12)/12=230/12 

riga 0 r0 

riga 4 1 20 50 

riga 3 5 40 0 

riga 2 12 50 

riga 1 230/12 0 

riga 0 r0=(12 . 0-50 . 230/12)12/230=50 

32


• La tabella ottenuta e`: 


riga 4 1 20 50 

riga 3 5 40 

riga 2 12 50 

riga 1 230/12 

riga 0 50 

• Ogni elemento della prima colonna e` diverso da zero 

• Alcuni elementi si calcolano direttamente 

33


Uso della tabella di Routh 

• Teorema: sia A(s) un polinomio di grado n con tabella di 

Routh completa. Siano 

• n p : numero di permanenze di segno tra gli elementi 

della prima colonna della tabella 

• n v : numero di variazioni di segno tra gli elementi della 

prima colonna della tabella 

Allora A(s) non ha zeri sull’asse immaginario, ha n p zeri in 

Re[s]0 

• Corollario: un polinomio A(s) ha tutte le radici in Re[s]


• Nell’esempio precedente: 

Uso della tabella di Routh 

riga 4 1 20 50 

riga 3 5 40 

riga 2 12 50 

riga 1 230/12 

riga 0 50 

• La tabella e` completa 

• n p =4, n v =0 

• 4 zeri in Re[s]


Casi particolari 

• La tabella non e` completabile quando il primo elemento di 

una riga risulta essere nullo 

• In questo caso sicuramente vi sono radici di A(s) in 

Re[s]≥0 

• Due possibili situazioni: 

• alcuni elementi della riga sono non nulli 

• tutti gli elementi della riga sono nulli 

• Diverse tecniche per procedere 

36



• Caso riga i-esima non tutta nulla: “metodo ε” 

• Si sostituisce il primo elemento nullo della riga con una 

costante ε ≈0 e si prosegue con la costruzione della 

tabella 

• Esempio: 

A(s) = s 3 + 3s − 2 

riga 3 1 3 

riga 2 

riga 

€ 

1 

0 

q1 

-2 

riga 0 r0 

riga 3 1 3 

riga 2 ε -2 

riga 1 q1=-(-2-3ε)/ε 0 

riga 0 -2 

37



• Per determinare n p e n v si assegna un segno ad ε 

• Si osserva che (3ε+2)/ε ≈ 2/ε e studio l’alternanza dei segni 

nella sequenza (1, ε, 2/ε, -2): 

• Se ε>0: n p = 2, n v =1 

• Se ε



• Caso riga i-esima tutta nulla: interpretazione 

• Gli elementi di ogni riga della tabella possono essere 

interpretati come i coefficienti di un polinomio 

riga n an an-2 an-4 ... ... 

riga n-1 an-1 an-3 an-5 ... ... 

... 

riga i+2 pi+2 pi pi-2 ... ... 

riga i+1 qi+1 qi-1 qi-3 ... ... 

riga i ri ri-2 ri-4 ... ... 

... 

riga 1 

riga 0 

i + 2 : p(s) = p i+2 s i+2 + p i s i + p i−2 s i−2 +… 

i +1: q(s) = q i+1 s i+1 + q i−1 s i−1 + q i−3 s i−3 +… 

i : r(s) = r i s i + r i−2 s i−2 + r i−4 s i−4 +… 

39


• Riga i-esima nulla: r(s)=0 


• Il polinomio q(s) derivato dalla riga i+1 e` divisore di A(s): 

A(s)=q(s)c(s) 

• Si puo` dimostrare che, se a 0 ≠0, una riga nulla ha sempre 

indice dispari 2m+1 

• Si puo` spezzare la tabella in due parti: 

• prime n-(2m+1) righe: dai segni degli elementi della 

prima colonna determino la posizione di n-2m radici 

(zeri di c(s)) 

• restanti 2m+1 righe: diverse possibilita` 

40



• Risoluzione diretta dell’equazione ausiliaria q(s)=0: q(s) ha 

grado 2m ed e` un polinomio pari ⇒ pongo t=s 2 e se 

l’ordine e` basso trovo direttamente le radici 

• Esempio: 

€ 

A(s) = s 6 + s 5 + 3s 4 + 5s 3 − 6s 2 + 4s − 8 

riga 6 1 3 -6 -8 

riga 5 1 5 4 

riga 4 -2 -10 -8 

riga 3 0 0 

.......... 

q(s) = −2s 4 −10s 2 − 8 = −2(t 2 + 5t + 4) 

41


• Determinazione radici in t: 

€ 

t 1,2 = 

−5 ± 25 −16 

2 

• Determinazione radici in s: 

s 1,2 = −1 = ± j 

s 3,4 = −4 = ±2 j 

• 4 radici con parte reale nulla 


= −1 ⎧ 

⎨ 

⎩ −4 

• Inoltre, € dalla prima parte della tabella: np =1, nv =1 

42



• Eseguendo la divisione: 

A(s) = s 4 + 5s 2 ( + 4) 

s 2 ( + s − 2) 

• Si possono determinare le restanti radici: 

−1± 

s5,6 = 

2 

5 

• Le radici € del polinomio q(s) sono in simmetria quadrantale 

€ 

43



• Studio tramite derivazione della equazione ausiliaria: 

• si sostituisce la riga di zeri con i coefficienti del 

polinomio ottenuto derivando q(s). 

• si completa la tabella 

• il numero di variazioni di segno nella seconda parte 

della tabella fornisce il numero di radici in Re[s]>0 

• si completa lo studio sfruttando la simmetria 

quadrantale 

44


• Esempio: 

€ 

q(s) = s 4 − 3s 2 − 4 

q ′ (s) = 4s 3 − 6s 


A(s) = s 6 + s 5 − 2s 4 − 3s 3 − 7s 2 − 4s − 4 

riga 6 1 -2 -7 -4 

riga 5 1 -3 -4 

riga 4 1 -3 -4 

riga 3’ 0 0 

riga 3 4 -6 

riga 2 -6 -16 

riga 1 -100 

riga 0 -16 

45


€ 


• Dalla prima parte della tabella: 2 radici in Re[s]0 

• Per ottenere n=6 radici, le rimanenti devono essere due 

immaginarie pure, ed una in Re[s]


Esempio di utilizzo 

• Esempio: controllo in retroazione, studio del campo di 

stabilita` 

r y 

K G(s) 

Y(s) = T(s)R(s) = KG(s) 

R(s) = 

1+ KG(s) 

KN(s) 

D(s) + KN(s) R(s) 

• Per quali valori di K il sistema in catena chiusa e` BIBO 

stabile? 

€ 

47


€ 

€ 

G(s) = 

T(s) = 


1 

s 4 + 6s 3 +11s 2 + 6s + 2 

K 

s 4 + 6s 3 +11s 2 + 6s + 2 + K 

A(s) = s 4 + 6s 3 +11s 2 + 6s + 2 + K 

• A(s) deve avere tutte le radici in Re[s]



riga 4 1 11 K+2 

riga 3 6 6 

riga 2 10 K+2 

riga 1 (48-6K)/10 

riga 0 k+2 

• Solo permanenze di segno se -2


€ 

Studio della stabilita` con vincoli sui poli 

• Robustezza della stabilita`, prestazione: si impone che i 

poli del sistema a catena chiusa abbiano parte reale < -α, 

α>0 

• Criterio di Routh con s → p=s+ α 

• Esempio: q(s) = s 3 + (6 + K)s 2 + (5 + 6K)s + 5K 

s 3 1 5+6K 

€ 

s 2 6+K 5K 

s 1 

s 0 5K 

(6 + K)(5 + 6K) − 5K 

6 + K 

€ 

6 + K > 0 

K 2 + 6K + 5 > 0 

5K > 0 

K > 0 

50


€ 

p 3 1 4K-4 

p 2 3+K 1 

p 1 

p 0 1 

Studio della stabilita` con vincoli sui poli 

α=-1, p=s+1, s=p-1 

€ 

(3+ K)(4K − 4) −1 

3 + K 

q'(p) = ( p −1) 3 + (6 + K)(p −1) 2 + (5 + 6K)(p −1) + 5K 

= p 3 + (3+ K)p 2 + (4K − 4)p +1 

€ 

€ 

K > −3 

4K 2 + 8K −13 > 0 

K < K 1 = −3.061 o K > K 2 =1.06 

€ 

K >1.06 

51

A(s) - Automatica

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