i jω - Automatica
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A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Risposta armonica<br />
• Analisi nel dominio del tempo: caratterizzazione del<br />
sistema osservando la sua risposta (forzata) ad ingressi<br />
significativi<br />
• Ipotesi:<br />
• il sistema ha f.d.t. G(s)=N(s)/D(s) e la corrispondente<br />
g(t) e` combinazione lineare di funzioni infinitesime<br />
per t→∞<br />
• U(s)=L[u(t)] e` razionale, U(s)=B(s)/A(s)<br />
• (N,D), (B,A), (N,A) sono coppie di polinomi coprimi<br />
1
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
• Risposta forzata:<br />
€<br />
• Per l’ipotesi su g(t):<br />
Risposta armonica<br />
Y(s) = G(s)U(s) = N(s)<br />
D(s)<br />
y(t) = y g (t) + y u (t)<br />
B(s)<br />
A(s) = Ng (s)<br />
D(s) + Nu (s)<br />
A(s)<br />
€<br />
lim y(t) = lim(y<br />
g (t) + yu (t)) = lim yu (t)<br />
t→∞ t→∞ t→∞<br />
componente di regime permanente (u persistente<br />
limitato) o asintotica (u persistente non limitato)<br />
€<br />
2
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
€<br />
Risposta armonica<br />
• Caso particolare di ingresso persistente limitato: sinusoidi<br />
€<br />
u(t) = Asin(ω 0t) ⇒ U(s) = A ω0 s 2 2<br />
+ ω0 Y(s) = G(s)U(s) = G(s) Aω0 s 2 2<br />
+ ω0 = G(s)<br />
Aω 0<br />
(s + <strong>jω</strong> 0 )(s − <strong>jω</strong> 0 )<br />
• Antitrasformando (N.B.: D(s) e A(s) necessariamente<br />
coprimi....)<br />
€<br />
y(t) = yg (t) + α0e <strong>jω</strong> 0 t ∗ − <strong>jω</strong> 0 t<br />
+ α0e 3
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
• Residui:<br />
Risposta armonica<br />
Aω0 α0 = lim (s − <strong>jω</strong>0 )G(s)<br />
s→ <strong>jω</strong> (s + <strong>jω</strong>0 )(s − <strong>jω</strong>0 )<br />
= Aω 0 G( <strong>jω</strong> 0 )<br />
2 <strong>jω</strong> 0<br />
• Poiche’ € G*(s)=G(s*) e definito<br />
€<br />
€<br />
€<br />
∗ A<br />
α0 =<br />
−2 j G(− <strong>jω</strong>0 )<br />
j argG(s)<br />
= A<br />
2 j G( <strong>jω</strong> 0 )<br />
G(s) = G(s)e G( <strong>jω</strong>) = G( <strong>jω</strong>)e<br />
G(− <strong>jω</strong>) = G(( <strong>jω</strong>) ∗ ) = G ∗ €<br />
− jφ(ω )<br />
( <strong>jω</strong>) = G( <strong>jω</strong>)e<br />
€<br />
φ(ω) = argG( <strong>jω</strong>)<br />
jφ(ω )<br />
4
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Risposta armonica<br />
• Essendo y g (t) infinitesima, per t “grande”<br />
€<br />
y(t) ≅ α0e <strong>jω</strong> 0 t ∗ − <strong>jω</strong> 0 t<br />
+ α0e = A<br />
2 j G( <strong>jω</strong> 0 )e j(φ(ω 0 )+ω 0 t) − A<br />
2 j G( <strong>jω</strong> 0 )e− j(φ(ω 0 )+ω 0 t)<br />
= A G( <strong>jω</strong> 0 ) e j(φ(ω 0 )+ω 0 t) − e − j(φ(ω 0 )+ω 0 t)<br />
2 j<br />
= G( <strong>jω</strong> 0 ) Asin(ω 0 t + φ(ω 0 ))<br />
5
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
• In regime permanente:<br />
Risposta armonica<br />
u(t) = Asin(ω 0 t + ϕ 0 ) ⇒<br />
y(t) = G( <strong>jω</strong> 0 ) Asin(ω 0 t + ϕ 0 + φ(ω 0 ))<br />
• y(t) a regime e` ancora una sinusoide con<br />
€<br />
• stessa frequenza ω0 • ampiezza amplificata/attenuata di un fattore |G(<strong>jω</strong> 0 )|<br />
• fase aumentata/diminuita di un fattore ϕ(ω 0 )<br />
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A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Risposta armonica<br />
• G(<strong>jω</strong>): funzione di RISPOSTA ARMONICA o RISPOSTA IN<br />
FREQUENZA<br />
• Si ottiene valutando la funzione di trasferimento in s=<strong>jω</strong><br />
(muovendosi lungo l’asse immaginario), con ω≥0<br />
• Legame con la risposta impulsiva g(t):<br />
€<br />
g(t) → L<br />
s= <strong>jω</strong><br />
G(s) →<br />
G( <strong>jω</strong>)<br />
• Nelle ipotesi fatte, l’ascissa di convergenza e` σ 0
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Risposta armonica<br />
• Quindi G(<strong>jω</strong>) e` determinabile univocamente da G(s) e<br />
viceversa<br />
• Forniscono caratterizzazioni equivalenti del sistema<br />
• La risposta armonica puo` essere calcolata<br />
sperimentalmente<br />
• applico u(t)=Asin(ω 0 t+ϕ)<br />
• lascio esaurirsi il transitorio<br />
• misuro y(t)=A’sin(ω 0 t+ϕ’)<br />
• assumo |G(<strong>jω</strong> 0 )|=A’/A e ϕ(ω 0 )= ϕ’- ϕ<br />
• ripeto per altre frequenze<br />
• costruisco per punti G(<strong>jω</strong>)<br />
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Risposta armonica<br />
• Significato della funzione di risposta armonica:<br />
• descrizione frequenziale dei segnali (spettro)<br />
• sviluppo in serie di Fourier di un segnale u(t) periodico<br />
di periodo T<br />
∞<br />
u(t) = C0 + ∑Cn<br />
sin(nΩt + ϕn )<br />
n=1<br />
= 1<br />
T U ∞<br />
n<br />
n=−∞<br />
e jnΩt<br />
∑ Ω = 2π<br />
• ogni componente del segnale “transita” indipendentemente<br />
attraverso il sistema e a regime<br />
€<br />
∞<br />
y(t) = C0 G(0) + ∑Cn<br />
G( jnΩ) sin(nΩt + ϕn + ϕ(nΩ))<br />
n=1<br />
T<br />
9
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2.5<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
-0.5<br />
-1<br />
-1.5<br />
-2<br />
€<br />
Risposta armonica<br />
u(t) = sin(t) + 0.2sin(10t) +1.2sin(20t)<br />
-2.5<br />
0 5 10 15 20 25 30<br />
€<br />
€<br />
€<br />
G(s) =<br />
1<br />
s 2 + s +1<br />
1<br />
G( <strong>jω</strong>) =<br />
1−ω 2 + <strong>jω</strong><br />
G( j1) =1<br />
G( j10) = 0.01<br />
G( j20) = 0.0025<br />
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A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Risposta armonica<br />
• Per segnali non periodici: trasformata di Fourier<br />
€<br />
u(t) = 1<br />
2π U( <strong>jω</strong>)e <strong>jω</strong>t +∞<br />
∫ dω<br />
−∞<br />
+∞<br />
U( <strong>jω</strong>) = u(t)e − <strong>jω</strong>t ∫ dt<br />
−∞<br />
• La trasformata di Fourier coincide con la trasformata di<br />
Laplace valutata € sull’asse immaginario (sotto opportune<br />
ipotesi)<br />
• Descrizione del contenuto frequenziale di un segnale<br />
€<br />
1<br />
T U ∞<br />
∑<br />
n<br />
n=−∞<br />
e jnΩt<br />
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A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
sin(ω 2 t)<br />
Risposta armonica<br />
sin(ω 1 t)<br />
sin(ω 3 t)<br />
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Risposta armonica<br />
• Quando il segnale transita attraverso il sistema<br />
Y(s) = G(s)U(s) ⇒ Y( <strong>jω</strong>) = G( <strong>jω</strong>)U( <strong>jω</strong>)<br />
• Il contenuto spettrale del segnale di uscita (ad ogni<br />
frequenza) € si ottiene “sagomando” lo spettro del segnale<br />
di ingresso tramite la funzione di risposta armonica del<br />
sistema<br />
• Nel dominio del tempo: rappresentazione grafica naturale<br />
• La funzione di risposta armonica e` una funzione<br />
complessa di variabile reale (ω)<br />
• Quali rappresentazioni grafiche?<br />
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A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
• Due diagrammi separati:<br />
€<br />
• |G(<strong>jω</strong>)| in funzione di ω<br />
• argG(<strong>jω</strong>) in funzione di ω<br />
Risposta armonica<br />
G( <strong>jω</strong>) = G( <strong>jω</strong>)e<br />
• Unica curva nel piano complesso parametrizzata in ω :<br />
• ImG(<strong>jω</strong>) in funzione di ReG(<strong>jω</strong>)<br />
j argG( <strong>jω</strong> )<br />
Diagrammi di Bode<br />
Diagramma di Nyquist<br />
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A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
€<br />
Diagrammi di Bode<br />
• Si consideri la f.d.t. in forma fattorizzata (di Evans)<br />
G(s) = K (s − z 1 )(s − z 2 )…(s − z m )<br />
(s − p 1 )(s − p 2 )…(s − p n )<br />
(1+ τ ′ is) G(s) = K0 ′ µ s<br />
i 1+ 2 ζ i′<br />
+<br />
ω ′ ni<br />
s2<br />
ν ′ i<br />
m1 m2 ⎛<br />
⎞<br />
∏ ∏⎜<br />
2 ⎟<br />
i=1<br />
i=1⎝<br />
ω ′ ni⎠<br />
s h<br />
(1+ τ is) µ s<br />
i 1+ 2ζ i +<br />
ωni s2<br />
• Con opportune posizioni si ottiene la forma con costanti di<br />
tempo (forma di Bode)<br />
€<br />
ν i<br />
n1 n 2 ⎛<br />
⎞<br />
∏ ∏⎜<br />
2 ⎟<br />
i=1<br />
i=1⎝<br />
ω ni⎠<br />
K0 = K τ 2 2<br />
1τ 2…ω ′ n1ω<br />
′ n 2…<br />
τ 1 ′ ′ 2 2<br />
ω …<br />
τ 2…ω n1 n 2<br />
guadagno di Bode<br />
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A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Diagrammi di Bode<br />
• Ponendo s=<strong>jω</strong>, si ottiene la funzione di risposta armonica<br />
G( <strong>jω</strong>) = K 0<br />
m 1<br />
∏<br />
i=1<br />
( <strong>jω</strong>) h<br />
(1+ j ′<br />
τ iω) ′<br />
µ m 2<br />
2⎛<br />
<strong>jω</strong> ω ⎞<br />
i ∏⎜<br />
1+ 2 ζ i′<br />
−<br />
ω ′ 2 ⎟<br />
i=1⎝<br />
ni ω ′ ni⎠<br />
n 2<br />
2 ⎛ <strong>jω</strong> ω ⎞<br />
∏⎜<br />
−<br />
2 ⎟<br />
i=1⎝<br />
ωni ω ni⎠<br />
(1+ jτ iω) µ n1 i ∏<br />
1+ 2ζ i<br />
i=1<br />
• Quando h=0, K0 rappresenta il guadagno statico (G(0)= K0 € ⇒ K0 e` il valore a cui tende la risposta al gradino)<br />
• Quando h=1, K0 e` la costante di velocita`<br />
• Quando h=2, K0 e` la costante di accelerazione<br />
ν ′ i<br />
ν i<br />
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A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Diagrammi di Bode<br />
• Diagrammi logaritmici e semilogaritmici<br />
• necessita` di rappresentare compattamente un ampio<br />
intervallo di pulsazioni ω (alte e basse frequenze,<br />
segnali “lenti” e segnali “veloci”)<br />
• operare facilmente su prodotti di termini (forma<br />
fattorizzata di G(s), calcolo della risposta<br />
Y(s)= G(s)U(s), ...)<br />
• descrivere variazioni relative ad un valore di riferimento<br />
(amplificazione, attenuazione)<br />
• Diagramma dei moduli: ascissa logω, ordinata 20log 10 |G(<strong>jω</strong>)|<br />
[dB]<br />
• Diagramma delle fasi: ascissa logω,<br />
[deg,rad]<br />
ordinata argG(<strong>jω</strong>)<br />
17
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
€<br />
G( <strong>jω</strong>) = G( <strong>jω</strong>)e<br />
Diagrammi di Bode<br />
j argG( <strong>jω</strong> )<br />
lnG( <strong>jω</strong>) = ln(G( <strong>jω</strong>)e j argG( <strong>jω</strong> ) )<br />
= lnG( <strong>jω</strong>) + lne j argG( <strong>jω</strong> ) = lnG( <strong>jω</strong>) + j argG( <strong>jω</strong>)<br />
€<br />
• La raffigurazione di ln(|G(<strong>jω</strong>)|) e di argG(<strong>jω</strong>) corrisponde<br />
alla rappresentazione della parte reale ed immaginaria di<br />
lnG(<strong>jω</strong>)<br />
• Il passaggio dal logaritmo naturale al logaritmo in base 10<br />
comporta solo l’introduzione di un fattore di scala<br />
18
€<br />
€<br />
€<br />
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
A = A e<br />
log( € A B ) = log( A ) + log B<br />
Diagrammi di Bode<br />
j argA<br />
log A ⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟ = log( A ) − log B<br />
⎝ B ⎠<br />
( )<br />
( )<br />
B = B e<br />
j argB<br />
arg(AB) = arg A e j argA (<br />
j argB<br />
B e ) = arg e j(argA+argB)<br />
( ) = arg A + argB<br />
arg A ⎛<br />
⎜<br />
⎝ B<br />
⎞ ⎛ j argA<br />
A e ⎞<br />
⎟ = arg⎜ j argB ⎟ = arg e<br />
⎠ ⎝ B e ⎠<br />
j(argA−argB)<br />
( ) = arg A − argB<br />
log=log 10<br />
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A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
€<br />
Diagrammi di Bode<br />
• Riferendosi alla risposta armonica:<br />
20logG( <strong>jω</strong>) = 20logK 0 + 20 ∑µ ′ i log(1+ j τ ′ iω)<br />
i<br />
⎛<br />
2<br />
<strong>jω</strong> ω ⎞<br />
+20 ∑ν ′ i log⎜ 1+ 2 ζ i′<br />
−<br />
i<br />
ω ′ 2 ⎟ − 20hlogω<br />
⎝<br />
ni ω ′ ni⎠<br />
−20 µ ′ i<br />
∑ log(1+ jτ iω)<br />
i<br />
−20 ν i<br />
i<br />
⎛<br />
∑ log⎜ 1+ 2ζ i<br />
⎝<br />
2<br />
<strong>jω</strong> ω ⎞<br />
−<br />
2 ⎟<br />
ωni ω ni⎠<br />
20
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
€<br />
Diagrammi di Bode<br />
argG( <strong>jω</strong>) = argK B + ∑µ ′ i arg(1+ j τ ′ iω)<br />
i<br />
⎛<br />
2<br />
<strong>jω</strong> ω ⎞<br />
+ ∑ν i′<br />
arg⎜ 1+ 2 ζ i′<br />
−<br />
i<br />
ω ′ 2 ⎟ − 20harg( <strong>jω</strong>)<br />
⎝<br />
ni ω ′ ni⎠<br />
⎛<br />
2<br />
<strong>jω</strong> ω ⎞<br />
− ∑µ i′<br />
arg(1+ jτ iω) − ∑ν i arg⎜ 1+ 2ζ i −<br />
2 ⎟<br />
i<br />
i ⎝ ωni ω ni⎠<br />
• A partire da una forma fattorizzata della funzione di risposta<br />
armonica, posso ottenere i diagrammi di modulo e fase<br />
come “somma” dei grafici delle componenti elementari<br />
21
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Diagrammi di Bode<br />
• decibel: unita` logaritmica convenzionale<br />
• Tradizionalmente usata in radiotecnica per caratterizzare il<br />
guadagno di amplificatori, potenze,...<br />
v i<br />
A<br />
v u<br />
v u =Av i<br />
A dB =20log 10 |A|<br />
• grandezza adimensionale (se indica il rapporto tra<br />
grandezze della stessa natura) o dimensionale (nel qual<br />
caso vanno specificate le unita` di misura)<br />
22
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
€<br />
G( <strong>jω</strong> 1 ) =10G( <strong>jω</strong> 2 )<br />
€<br />
Diagrammi di Bode<br />
20log G( <strong>jω</strong> 1 )<br />
G( <strong>jω</strong> 2 )<br />
= 20log10 = 20<br />
20logG( <strong>jω</strong>1 ) − 20logG( <strong>jω</strong>2 ) = G( <strong>jω</strong>1 ) − G( <strong>jω</strong> dB 2 ) = 20 dB dB<br />
€<br />
€<br />
⇒ G( <strong>jω</strong> 1 )<br />
G( <strong>jω</strong> 2 ) =10<br />
⇒ G( <strong>jω</strong> 1 ) dB = G( <strong>jω</strong> 2 ) dB + 20 dB<br />
23
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Diagrammi di Bode<br />
• Qualsiasi grandezza si puo` pensare rapportata ad 1:<br />
€<br />
€<br />
€<br />
G( <strong>jω</strong>) =10 =10⋅1 ⇒<br />
20log<br />
G( <strong>jω</strong>)<br />
1<br />
G( <strong>jω</strong>)<br />
1<br />
= 20log10 = 20<br />
=10<br />
20logG( <strong>jω</strong>) − 20log1= G( <strong>jω</strong> 1 ) dB − 0 dB = 20 dB<br />
G( <strong>jω</strong>) dB = 20 dB<br />
24
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Diagrammi di Bode<br />
• |A|=r . 10 n , 1≤r
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Diagrammi di Bode<br />
• Rappresentazione logaritmica delle pulsazioni ω<br />
• Tipicamente si usa la scala in logω (meno usati ln, log 2 )<br />
• Si riportano pero` i valori effettivi di ω (la spaziatura e`<br />
logaritmica)<br />
2<br />
1.8<br />
1.6<br />
1.4<br />
1.2<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
decade<br />
1 2 3 10<br />
0 0.3 0.5 1<br />
log3≈0.5 ⇒ a meta` decade<br />
(tra log1=0 e log10=1)<br />
[ω]<br />
[x=logω]<br />
26
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Diagrammi di Bode<br />
• Esempio di diagramma dei moduli<br />
|G(0)|=15=23 dB<br />
Magnitude [dB]<br />
30<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
-5<br />
-10<br />
-15<br />
10 -1 10 0 10 1 10 2<br />
-20<br />
Frequency [rad/s]<br />
15 rad/s<br />
27
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Diagrammi di Bode<br />
• Esempio di diagramma delle fasi<br />
Phase [deg]<br />
0<br />
-10<br />
-20<br />
-30<br />
-40<br />
-50<br />
-60<br />
-70<br />
-80<br />
10 -1 10 0 10 1 10 2<br />
-90<br />
Frequency [rad/s]<br />
28
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Diagrammi di Bode<br />
• Regole per il tracciamento dei diagrammi di Bode dei<br />
termini elementari:<br />
€<br />
K 0<br />
( <strong>jω</strong>) ±1<br />
(1+ jτω) ±1<br />
1+ 2ζ <strong>jω</strong> ⎛<br />
2<br />
ω ⎞<br />
⎜ −<br />
2 ⎟<br />
⎝ ωn ω n ⎠<br />
±1<br />
costante<br />
zero (polo) nell’origine<br />
zero (polo) reale<br />
coppia di zeri (poli)<br />
complessi coniugati<br />
29
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
• Fattore costante K 0 :<br />
Fattore costante<br />
• diagramma dei moduli: retta parallela all’asse delle<br />
ascisse di altezza |K 0 | dB con<br />
• |K 0 |>1 |K 0 | dB >0<br />
• |K 0 |=1 |K 0 | dB =0<br />
• |K 0 |
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Phase (deg); Magnitude (dB)<br />
21<br />
20.5<br />
20<br />
19.5<br />
19<br />
150<br />
100<br />
50<br />
Fattore costante<br />
TextEnd<br />
Bode Diagrams<br />
10 -1 10 0 10 1 10 2<br />
0<br />
Frequency (rad/sec)<br />
K 0 0<br />
31
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
• Fattore (<strong>jω</strong>) ±1 :<br />
€<br />
€<br />
Zero (polo) nell’origine<br />
<strong>jω</strong> dB = 20log <strong>jω</strong> = 20logω , ω > 0<br />
arg( <strong>jω</strong>) = π<br />
2 , ω > 0<br />
1<br />
<strong>jω</strong> dB<br />
arg( 1<br />
) = −π<br />
<strong>jω</strong> 2<br />
= 20log 1<br />
= −20logω , ω > 0<br />
<strong>jω</strong><br />
, ω > 0<br />
32
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Phase (deg); Magnitude (dB)<br />
20<br />
10<br />
0<br />
-10<br />
-20<br />
50<br />
0<br />
-50<br />
Zero (polo) nell’origine<br />
TextEnd<br />
Bode Diagrams<br />
1/<strong>jω</strong> <strong>jω</strong><br />
10 -1 10 0 10 1<br />
Frequency (rad/sec)<br />
<strong>jω</strong><br />
1/<strong>jω</strong><br />
34
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
€<br />
Zero (polo) reale<br />
• Fattore (1+<strong>jω</strong>τ) (zero reale): diagramma dei moduli<br />
€<br />
1+ <strong>jω</strong>τ dB = 20log1+ <strong>jω</strong>τ<br />
= 20log 1+ ω 2 τ 2 =10log 1+ ω 2 τ 2<br />
( )<br />
• Analizzando il comportamento per ω→0, ω→∞:<br />
1+ <strong>jω</strong>τ dB ≅<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
1 dB = 0 ω → 0 +<br />
(logω → −∞)<br />
<strong>jω</strong>τ dB = 20logωτ ω → +∞ (logω → +∞)<br />
• Approssimazione con una spezzata (diagramma asintotico<br />
dei moduli)<br />
35
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Zero (polo) reale<br />
• (a) retta y=0 (coincide con l’asse delle ascisse)<br />
• (b) retta y=20log(ωτ)=20logω+20log|τ|=20x+ 20log|τ|<br />
(pendenza 20 dB per decade)<br />
• le rette (a) e (b) si intersecano nel punto<br />
€<br />
x = −20logτ = 20log 1<br />
τ<br />
ω = 1<br />
⎧<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩ τ<br />
punto di spezzamento<br />
36
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Magnitude [dB]<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
Zero (polo) reale<br />
|1/τ| 10|1/τ| [ω]<br />
log|1/τ| log|1/τ|+1 [x=logω]<br />
37
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
• Errore di approssimazione:<br />
€<br />
€<br />
€<br />
ω = ω = 1<br />
τ :<br />
ω = 2ω = 2<br />
τ :<br />
ω = ω<br />
2<br />
= 1<br />
2τ :<br />
Zero (polo) reale<br />
⎧ 1+ <strong>jω</strong> τ = 20log1± j = 20log 2 ≅ 3 dB dB<br />
⎨<br />
⎩<br />
0dB ⎧ 1+ j2ω τ = 20log1± 2 j = 20log 5 ≅ 7 dB dB<br />
⎨<br />
⎩ j2ω τ = 20log±2 j = 20log2 ≅ 6 dB dB<br />
⎧<br />
⎪<br />
ω τ<br />
1+ j<br />
⎨ 2 dB<br />
⎩ ⎪<br />
= 20log1± j<br />
2<br />
0dB = 20log 5<br />
2 ≅1 dB<br />
38
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Magnitude [dB]<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
Zero (polo) reale<br />
|1/2τ|<br />
1 dB<br />
3 dB<br />
1 dB<br />
|1/τ| 10|1/τ| [ω]<br />
2|1/τ|<br />
39
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Zero (polo) reale<br />
• Fattore (1+<strong>jω</strong>τ) (zero reale): diagramma delle fasi<br />
€<br />
arg(1+ <strong>jω</strong>τ) = arctan(ωτ)<br />
• Analizzando il comportamento per ω→0, ω→∞:<br />
arctan(ωτ) ≅<br />
0 ω → 0 +<br />
⎧<br />
⎪<br />
(logω → −∞)<br />
⎪ π 1<br />
⎨ ω = ω =<br />
⎪ 4 τ<br />
⎪ π<br />
ω → +∞ (logω → +∞)<br />
⎩ 2<br />
• Approssimazione con una spezzata (diagramma asintotico<br />
delle fasi)<br />
€<br />
40
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Phase [deg]<br />
90<br />
80<br />
70<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
1/(10|τ|)<br />
Zero (polo) reale<br />
|1/τ| 10|1/τ|<br />
[ω]<br />
41
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Zero (polo) reale<br />
• Fattore 1/(1+<strong>jω</strong>τ) (polo reale):<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 1+ <strong>jω</strong>τ ⎠<br />
dB<br />
= −20log1+ <strong>jω</strong>τ = −1+ <strong>jω</strong>τ dB<br />
⎛ 1 ⎞<br />
arg⎜<br />
⎟ = −arg(1+ <strong>jω</strong>τ)<br />
⎝ 1+ <strong>jω</strong>τ ⎠<br />
• I diagrammi € si ottengono per simmetria rispetto all’asse<br />
delle ascisse da quelli relativi allo zero<br />
42
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Phase (deg); Magnitude (dB)<br />
0<br />
-5<br />
-10<br />
-15<br />
-20<br />
0<br />
-20<br />
-40<br />
-60<br />
-80<br />
TextEnd<br />
Zero (polo) reale<br />
Bode Diagrams<br />
10 -1 10 0 10 1 10 2<br />
Frequency (rad/sec)<br />
43
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Zero (polo) reale<br />
• Osservazione: zeri e poli possono anche trovarsi nel<br />
semipiano destro ⇒ costanti di tempo negative<br />
σ =-1/|τ|<br />
C<br />
σ =1/|τ|<br />
s+p s-p<br />
1+s|τ| 1-s|τ|<br />
1+s|τ| 1+s(-|τ|)<br />
• Nel caso di costanti di tempo negative, non cambiano i<br />
diagrammi dei moduli, mentre cambiano quelli delle fasi<br />
arg(1− <strong>jω</strong> τ ) = −arctan(ω τ )<br />
• Si ottengono ancora per simmetria rispetto all’asse reale<br />
dai corrispondenti diagrammi per τ>0<br />
€<br />
44
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Phase (deg); Magnitude (dB)<br />
0<br />
-5<br />
-10<br />
-15<br />
-20<br />
50<br />
0<br />
-50<br />
TextEnd<br />
Bode Diagrams<br />
Frequency (rad/sec)<br />
Zero (polo) reale<br />
10 0 10 1 10 2<br />
1/(1+sτ)<br />
τ>0<br />
τ
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
€<br />
Coppia di zeri (poli) complessi coniugati<br />
1+ 2ζ <strong>jω</strong><br />
• Fattore<br />
⎛<br />
2<br />
ω ⎞<br />
⎜ −<br />
2 ⎟<br />
⎝ ωn ω n ⎠<br />
(coppia di zeri comp. con.)<br />
• Diagramma dei moduli: sia 0≤ζ ≤1 e ωn >0<br />
1+ 2ζ <strong>jω</strong><br />
ω n<br />
−<br />
ω 2<br />
2<br />
ω n dB<br />
⎛ 2<br />
ω ⎞<br />
= 20log⎜ 1−<br />
2 ⎟ + 2 jζ<br />
⎝ ω n ⎠<br />
ω<br />
ωn ⎛ 2<br />
ω ⎞<br />
= 20log ⎜ 1−<br />
2 ⎟<br />
⎝ ω n ⎠<br />
⎛ ⎛ 2<br />
ω ⎞<br />
=10log ⎜ ⎜ 1−<br />
2 ⎟<br />
⎝ ⎝ ω n ⎠<br />
2<br />
2<br />
+ 4ζ 2 ω 2<br />
2<br />
ωn + 4ζ 2 ω 2 ⎞<br />
⎟<br />
2<br />
ω ⎟<br />
n ⎠<br />
46
€<br />
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Coppia di zeri (poli) complessi coniugati<br />
• Analizzando il comportamento per ω→0, ω→∞:<br />
1+ 2ζ <strong>jω</strong><br />
ω → 0<br />
1 = 0<br />
2<br />
dB<br />
ω<br />
− ≅<br />
2 ωn ω n dB<br />
+<br />
⎧<br />
⎪<br />
(logω → −∞)<br />
⎨ 2<br />
⎪ ω ω → +∞<br />
− = 40logω − 40logω n<br />
⎩ ⎪<br />
(logω → +∞)<br />
2<br />
ω n dB<br />
• Approssimazione con spezzata (diagramma asintotico)<br />
• (a) retta y=0 (coincide con l’asse delle ascisse)<br />
• (b) retta y=40log(ω)- 40log(ω n )=40x- 40log(ω n )<br />
(pendenza 40 dB per decade)<br />
• le rette (a) e (b) si intersecano nel punto di<br />
spezzamento<br />
⎧ x = logω n<br />
⎨<br />
⎩<br />
ω = ωn 47
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Coppia di zeri (poli) complessi coniugati<br />
45<br />
40<br />
35<br />
30<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
-5<br />
ω n 10ω n [ω]<br />
48
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Coppia di zeri (poli) complessi coniugati<br />
• Il diagramma asintotico dipende solo da ω n . L’errore di<br />
approssimazione dipende da ζ. Nel punto di spezzamento<br />
1+ 2ζ <strong>jω</strong> n<br />
ω n<br />
ω<br />
− n2<br />
2<br />
n<br />
ω dB<br />
= 20log2ζ ≅<br />
6dB ζ =1<br />
3dB ζ = 1<br />
2<br />
0dB ζ = 1<br />
⎧<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎪ 2<br />
⎩ −∞ ζ = 0<br />
• L’errore di approssimazione aumenta per ζ →0<br />
€<br />
• Per cercare il massimo scostamento, si determina il punto<br />
di minimo della curva<br />
49
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
€<br />
Coppia di zeri (poli) complessi coniugati<br />
⎛<br />
d ⎛ 2<br />
ω ⎞<br />
⎜ ⎜ 1−<br />
2 dω ⎜ ⎟<br />
⎝ ⎝ ω n ⎠<br />
2<br />
+ 4ζ 2 ω 2 ⎞ ⎛ 2<br />
⎟<br />
ω ⎞<br />
2<br />
ω ⎟<br />
= 2⎜ 1−<br />
2 ⎟ −2<br />
n ⎠ ⎝ ω n ⎠<br />
ω ⎛ ⎞<br />
⎜ 2 ⎟ + 8ζ<br />
⎝ ωn ⎠<br />
2 ω<br />
= 0<br />
2<br />
ω n<br />
• Si ha un minimo solo per ζ < √2/2<br />
€<br />
• Valore del minimo:<br />
1+ 2ζ <strong>jω</strong><br />
ω n<br />
−<br />
2<br />
ω<br />
ω = ω n 1− 2ζ 2<br />
2<br />
ω n<br />
dB<br />
= 20 log2ζ 1−ζ 2<br />
( )<br />
= 6 + 20logζ +10log 1−ζ 2<br />
( )<br />
50
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Coppia di zeri (poli) complessi coniugati<br />
• Per ζ =0 (coppia di zeri puramente immaginari) si ha un<br />
asintoto a -∞ per ω →ω n<br />
• Per 1/√2 < ζ
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
€<br />
Coppia di zeri (poli) complessi coniugati<br />
1+ 2ζ <strong>jω</strong> ⎛<br />
2<br />
ω ⎞<br />
• Fattore ⎜ −<br />
2 ⎟ (coppia di zeri comp. con.)<br />
⎝ ωn ω n ⎠<br />
• Diagramma delle fasi: sia 0≤ ζ ≤1 e ω n >0<br />
€<br />
⎛ 2<br />
ω ⎞<br />
arg ⎜ 1−<br />
2 ⎟ + 2 jζ<br />
⎝ ω n ⎠<br />
ω<br />
⎛<br />
⎞<br />
ζ<br />
⎜<br />
⎟ = arctan<br />
⎝<br />
ωn ⎠<br />
ω ⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ωn ⎟<br />
⎜ ⎛ 2<br />
ω ⎞ ⎟<br />
⎜ ⎜ 1−<br />
2 ⎟ ⎟<br />
⎝ ⎝ ω n ⎠ ⎠<br />
• Analizzando il comportamento per ω→0, ω→∞:<br />
⎛ 2<br />
ω ⎞<br />
arg ⎜ 1−<br />
2 ⎟ + 2 jζ<br />
⎝ ω n ⎠<br />
ω<br />
0 ω → 0<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎟ =<br />
⎝<br />
ωn ⎠<br />
+<br />
π<br />
2 ω = ω ⎧<br />
⎪<br />
⎨<br />
n , ζ ≠ 0<br />
⎪<br />
⎩ π ω → +∞<br />
52
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Coppia di zeri (poli) complessi coniugati<br />
• Il diagramma asintotico e` una spezzata e dipende solo da<br />
ω n<br />
180<br />
160<br />
140<br />
120<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
0<br />
ω n<br />
[ω]<br />
53
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Coppia di zeri (poli) complessi coniugati<br />
• L’errore dipende da ζ. Per ζ →0 il diagramma vero tende<br />
all’asintotico<br />
Phase [deg]<br />
180<br />
160<br />
140<br />
120<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
10 -1 10 0 10 1<br />
0<br />
Frequency [rad/s]<br />
54
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Coppia di zeri (poli) complessi coniugati<br />
−1<br />
1+ 2ζ <strong>jω</strong> ⎛<br />
2<br />
ω ⎞<br />
• Fattore ⎜ −<br />
2 ⎟ (coppia di poli comp. con.)<br />
⎝ ωn ω n ⎠<br />
• Anche<br />
€<br />
in questo caso i diagrammi si ottengono per<br />
simmetria rispetto all’asse delle ascisse dai<br />
corrispondenti derivati per la coppia di zeri.<br />
• Quando ζ =0 (coppia di poli immaginari puri), in ω n il<br />
diagramma dei moduli presenta un asintoto a +∞.<br />
55
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Phase (deg); Magnitude (dB)<br />
Coppia di zeri (poli) complessi coniugati<br />
0<br />
-10<br />
-20<br />
-30<br />
-40<br />
-50<br />
-100<br />
-150<br />
TextEnd<br />
Bode Diagrams<br />
10 -1 10 0 10 1<br />
Frequency (rad/sec)<br />
56
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Coppia di zeri (poli) complessi coniugati<br />
• In tal caso si puo` scrivere il fattore trinomio come<br />
1− 2ζ <strong>jω</strong> ⎛<br />
2<br />
ω ⎞<br />
⎜ −<br />
2 ⎟<br />
⎝ ωn ω n ⎠<br />
±1<br />
⎛ 2<br />
ω ⎞<br />
= ⎜ 1−<br />
2 ⎟ − 2ζ<br />
⎝ ω n ⎠<br />
<strong>jω</strong><br />
⎛<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝<br />
ωn ⎠<br />
• Non cambia pertanto il diagramma dei moduli, mentre per<br />
la fase:<br />
€<br />
arg 1− 2ζ <strong>jω</strong> ⎛<br />
2<br />
ω ⎞<br />
⎜ −<br />
2 ⎟<br />
⎝ ωn ω n ⎠<br />
±1<br />
• Si ottengono ancora per simmetria rispetto all’asse reale<br />
dai corrispondenti diagrammi per ζ>0<br />
€<br />
±1<br />
⎛ 2<br />
ω ⎞<br />
= −arg ⎜ 1−<br />
2 ⎟ + 2ζ<br />
⎝ ω n ⎠<br />
<strong>jω</strong><br />
⎛<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝<br />
ωn ⎠<br />
±1<br />
58
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Phase (deg); Magnitude (dB)<br />
0<br />
-10<br />
-20<br />
-30<br />
-40<br />
150<br />
100<br />
50<br />
0<br />
-50<br />
-100<br />
-150<br />
Coppia di zeri (poli) complessi coniugati<br />
TextEnd<br />
Bode Diagrams<br />
10 -1 10 0 10 1<br />
Frequency (rad/sec)<br />
ζ 0<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
150<br />
100<br />
50<br />
0<br />
-50<br />
-100<br />
-150<br />
TextEnd<br />
Bode Diagrams<br />
10 -1 10 0 10 1<br />
Frequency (rad/sec)<br />
ζ >0<br />
ζ
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Regole per il tracciamento dei diagrammi<br />
• Per la generica G(s) i diagrammi di Bode si ottengono per<br />
sovrapposizione (somma) dei diagrammi elementari<br />
• Regole pratiche per il tracciamento<br />
G( <strong>jω</strong>) = K 0<br />
m 1<br />
∏<br />
i=1<br />
( <strong>jω</strong>) h<br />
(1+ j ′<br />
τ iω) ′<br />
µ m 2<br />
2⎛<br />
<strong>jω</strong> ω ⎞<br />
i ∏⎜<br />
1+ 2 ζ i′<br />
−<br />
ω ′ 2 ⎟<br />
i=1⎝<br />
ni ω ′ ni⎠<br />
n 2<br />
2 ⎛ <strong>jω</strong> ω ⎞<br />
∏⎜<br />
−<br />
2 ⎟<br />
i=1⎝<br />
ωni ω ni⎠<br />
(1+ jτ iω) µ n1 i ∏<br />
1+ 2ζ i<br />
i=1<br />
• Si individuano i punti di spezzamento<br />
€ 1<br />
τ<br />
1<br />
τ ′<br />
ωn ω ′ n<br />
log 1 ⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟ log<br />
⎝ τ ⎠<br />
1<br />
⎛<br />
⎛ ⎞<br />
⎜<br />
⎜ ⎟ logω n<br />
⎝<br />
⎝ τ ′ ⎠<br />
⎞<br />
log ω ′ n ⎟<br />
⎠<br />
ν ′ i<br />
ν i<br />
60
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Regole per il tracciamento dei diagrammi<br />
• Per il diagramma dei moduli:<br />
• pendenza iniziale: retta a h . (-20 dB /decade) che interseca<br />
l’asse delle ordinate nel punto |K 0 | dB<br />
• partendo dal punto di spezzamento piu` a sx, ad ogni<br />
punto di spezzamento si varia la pendenza di<br />
• µ’ . (20 dB /decade) zero reale, molteplicita` µ’<br />
• µ . (-20 dB /decade) polo reale , molteplicita µ<br />
• ν’ . (40 dB /decade) zeri comp.conj., moltep. ν’<br />
• ν . (-40 dB /decade) poli comp.conj., moltep. ν<br />
61
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Regole per il tracciamento dei diagrammi<br />
• Per il diagramma delle fasi:<br />
• inizialmente, retta orizzontale a -h . π/2 piu` un contributo<br />
di -π se K 0 0<br />
−µ’ . π/2 zero reale, molteplicita` µ’ τ’0<br />
µ . π/2 polo reale, molteplicita` µ τ0<br />
−ν’ . π zeri comp. conj. moltep. ν’ ζ’0<br />
ν . π poli comp. conj. moltep. ν ζ
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Regole per il tracciamento dei diagrammi<br />
• Il diagramma vero si puo` ottenere a partire dall’asintotico<br />
sommando dei termini di correzione<br />
Phase (deg); Magnitude (dB)<br />
50<br />
0<br />
-50<br />
-100<br />
-100<br />
-150<br />
-200<br />
-250<br />
-300<br />
TextEnd<br />
Bode Diagrams<br />
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2<br />
Frequency (rad/sec)<br />
63
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Regole per il tracciamento dei diagrammi<br />
• Determinazione delle costanti di posizione e velocita`: a<br />
basse frequenze (ω≈0)<br />
KG( <strong>jω</strong>) ≈ K 0<br />
1<br />
( <strong>jω</strong>)<br />
n<br />
• se n=0: l’asintoto per ω≈0 e` una retta orizzontale di<br />
ordinata K0 =Kp €<br />
• se n=1: Kv =K0 ed avendo l’asintoto equazione<br />
A(ω) = K 0<br />
ω<br />
leggo il valore di K0 determinando il valore dell’asintoto<br />
per ω=1<br />
€<br />
64
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Regole per il tracciamento dei diagrammi<br />
Magnitude (db)<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
-10<br />
-20<br />
10 -1 10 0 10 1 10 2<br />
-30<br />
Frequency (rad/sec)<br />
K p =20db=10<br />
65
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Magnitude (dB)<br />
Regole per il tracciamento dei diagrammi<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
0<br />
-20<br />
-40<br />
-60<br />
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2<br />
-80<br />
Frequency (rad/sec)<br />
K v =40db=100<br />
66
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Specifiche nel dominio della frequenza<br />
• Caratterizzazione della risposta al gradino nel dominio del<br />
tempo<br />
• Permette di formulare delle specifiche di controllo in<br />
termini di M p , t r ,t s<br />
• Caratterizzazione della risposta armonica: si suppone che<br />
il sistema abbia comportamento simile a quello di un<br />
sistema del secondo ordine<br />
• Pulsazione di risonanza ω r : pulsazione in cui si ha max<br />
|G(<strong>jω</strong>)|<br />
• Picco di risonanza M r :|G(<strong>jω</strong> r )|-|G(j0)|<br />
• Banda passante ω BW =2πB: pulsazione in cui |G(<strong>jω</strong>)| e`<br />
diminuito di 3 dB rispetto a |G(j0)|<br />
67
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
|G(j0)| dB<br />
|G(j0)| dB -3 dB<br />
Specifiche nel dominio della frequenza<br />
40<br />
35<br />
30<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
10 -1 10 0 10 1<br />
0<br />
ω r<br />
M r<br />
2πB= ω f<br />
68
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Specifiche nel dominio della frequenza<br />
• Correlazione tra specifiche nel dominio del tempo e<br />
specifiche nel dominio della frequenza<br />
• Relazioni approssimate<br />
• t r piccolo ⇒ sistema “pronto” ⇒ “passano” frequenze<br />
elevate ⇒ B elevata<br />
t r B ≈ 0.4<br />
• Sistema poco smorzato (ζ piccolo) ⇒ M p grande ⇒ M r<br />
grande<br />
M p ≈ (M r /|G(0)|)-1<br />
69
A. Beghi “Fondamenti di Controlli Automatici” Universita` di Padova<br />
Specifiche nel dominio della frequenza<br />
40<br />
35<br />
30<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
10 -1<br />
30<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
10 -1<br />
10 0<br />
10 0<br />
10 1<br />
10 1<br />
Amplitude<br />
Amplitude<br />
30<br />
20<br />
TextEnd<br />
10<br />
Step Response<br />
0<br />
0 5 10 15<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10TextEnd<br />
5<br />
Time (sec.)<br />
Step Response<br />
0<br />
0 1.4 2.8 4.2 5.6 7<br />
Time (sec.)<br />
70