อนุพันธ์ (Derivatives) - AS Nida
อนุพันธ์ (Derivatives) - AS Nida อนุพันธ์ (Derivatives) - AS Nida
จะกล่าวว่า f (c) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด c ก็ต่อเมื่อ f (x) f (c) ส าหรับทุกค่า x ที่อยู่ในช่วง ครึ่งเปิดที่รวมจุด c และ f (c) จะเป็นค่าต่าสุดสัมพัทธ์ที่จุด c ก็ต่อเมื่อ f (x) f (c) ส าหรับทุกค่า x ที่อยู่ในช่วงครึ่งเปิด ที่รวมจุด c ทฤษฎีบท 3.3 ถ้าฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ที่จุด c ซึ่งอยู่ภายในโดเมนของ f และถ้าอนุพันธ์ของ f ที่จุด c หาค่าได้แล้ว f (x) = 0 จากทฤษฎีนี้แสดงให้เห็นถึงค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ที่จุด c ซึ่งอยู่ในโดเมนของ f ในกรณีที่สามารถหาอนุพันธ์ของ f ที่จุด c ได้ อย่างไรก็ตามพิจารณาฟังก์ชัน f ต่อไปนี้ f (x) = | x – 3 | , 2 x 6 4 1 ่ ่ 2 3 6 รูปที 3.3 f(x) = |x| - 3 โดยที 2 ≤ x ≤ 6 จะเห็นได้ว่า f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด x = 2 และ f มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ที่จุด x = 6 f มีค่าต่าสุดสัมบูรณ์ที่จุด x = 3 แต่ที่จุดนี้ f ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ นิยาม 3.9 จุด c ในโดเมน f เรียกว่าเป็นจุดวิกฤต (Critical point) ถ้า f (x) = 0 หรือ f (x) หาค่าไม่ได้ ข้อสังเกต f จะมีค่าสูงสุด หรือต่าสุดที่จุด c ถ้า c เป็นจุดวิกฤตหรือจุดปลายของโดเมนของ f ตัวอย่าง 3.15 จงหาจุดวิกฤตของ f (x) = x 3 – 3x 2 – 24x + 2 วิธีท า จาก f (x) = x 3 – 3x 2 – 24x + 2 จะได้ f (x) = 3x 2 – 6x – 24 จะเห็นได้ว่า f สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกจุดบนโดเมนของ f ให้ f (x) = 0 ดังนั้น 3x 2 – 6x – 24 = 0 นั่นคือ x 2 – 2x – 8 = 0 หรือ (x – 4)(x + 2) = 0 และจะได้ว่า x = 4, – 2 ดังนั้นจุดที่ x = 4 กับจุดที่ x = –2 เป็นจุดวิกฤตของ f (x) ดังกล่าว 31
2 ตัวอย่าง 3.16 จงหาจุดวิกฤตของ f (x) = x 3 2 วิธีท า จาก f (x) = x 3 จะได้ว่า f (x) = 3 1 2 x 3 2 1 = . 3 3 x จะเห็นได้ว่า ไม่มีค่า x ที่ท าให้ f (x) มีค่าเป็นศูนย์ และจุด x = 0 ท าให้ f(x) หาค่าไม่ได้ ดังนั้นจุดวิกฤตของ f(x) คือ x = 0 3.2.3 การทดสอบจุดสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต่าสุดสัมพัทธ์ จากตัวอย่างที่ 3.15 และตัวอย่าง 3.16 นั้น ถึงแม้ว่าจะหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน f(x) ได้ แต่ไม่ สามารถทราบได้ว่า จุดวิกฤตดังกล่าวเป็นจุดที่ท าให้เกิดค่าสูงสุดหรือต่าสุด รูปที่ 3.4 แสดงจุดวิกฤตของฟังก์ชัน y = f(x) และความชันของเส้นตรงที่สัมผัสจุดที่อยู่ ด้านซ้ายและด้านขวาของจุดวิกฤต ่ ่ c c รูปที 3.4 ก y = f(x) รูปที 3.4 ข c รูปที่ 3.4 ค y = f(x) รูปที่ 3.4 แสดงจุดวิกฤตของฟังก์ชัน y = f(x) และความชันของเส้นสัมผัส 32 y = f(x)
- Page 1 and 2: บทที่ 3 อนุพั
- Page 3 and 4: อนุพันธ์ของ
- Page 5 and 6: 3.1.3 กฎลูกโซ่ (Cha
- Page 7 and 8: dy ตัวอย่าง 3.8 จ
- Page 9 and 10: ดังนั้น y = - 4x + b
- Page 11: 3.2.2 ค่าสุงสุด
- Page 15 and 16: ตัวอย่าง 3.17 ก
- Page 17 and 18: ตัวอย่าง 3.20 จ
- Page 19 and 20: dT ให้ = 0 จะได้ว
- Page 21: 5. จงหาความชั
จะกล่าวว่า f (c) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด<br />
c ก็ต่อเมื่อ<br />
f (x) f (c) ส าหรับทุกค่า x ที่อยู่ในช่วง<br />
ครึ่งเปิดที่รวมจุด<br />
c<br />
และ f (c) จะเป็นค่าต่าสุดสัมพัทธ์ที่จุด<br />
c ก็ต่อเมื่อ<br />
f (x) f (c) ส าหรับทุกค่า x ที่อยู่ในช่วงครึ่งเปิด<br />
ที่รวมจุด<br />
c<br />
ทฤษฎีบท 3.3 ถ้าฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ที่จุด<br />
c ซึ่งอยู่ภายในโดเมนของ<br />
f<br />
และถ้า<strong>อนุพันธ์</strong>ของ f ที่จุด<br />
c หาค่าได้แล้ว f (x) = 0<br />
จากทฤษฎีนี้แสดงให้เห็นถึงค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ที่จุด<br />
c ซึ่งอยู่ในโดเมนของ<br />
f ในกรณีที่สามารถหา<strong>อนุพันธ์</strong>ของ<br />
f ที่จุด<br />
c ได้ อย่างไรก็ตามพิจารณาฟังก์ชัน f ต่อไปนี้<br />
f (x) = | x – 3 | , 2 x 6<br />
4<br />
1<br />
่ ่<br />
2 3 6<br />
รูปที 3.3 f(x) = |x| - 3 โดยที 2 ≤ x ≤ 6<br />
จะเห็นได้ว่า f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด<br />
x = 2 และ f มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ที่จุด<br />
x = 6<br />
f มีค่าต่าสุดสัมบูรณ์ที่จุด<br />
x = 3 แต่ที่จุดนี้<br />
f ไม่สามารถหา<strong>อนุพันธ์</strong>ได้<br />
นิยาม 3.9 จุด c ในโดเมน f เรียกว่าเป็นจุดวิกฤต (Critical point) ถ้า f (x) = 0 หรือ f (x) หาค่าไม่ได้<br />
ข้อสังเกต f จะมีค่าสูงสุด หรือต่าสุดที่จุด<br />
c ถ้า c เป็นจุดวิกฤตหรือจุดปลายของโดเมนของ f<br />
ตัวอย่าง 3.15 จงหาจุดวิกฤตของ f (x) = x 3 – 3x 2 – 24x + 2<br />
วิธีท า จาก f (x) = x 3 – 3x 2 – 24x + 2 จะได้ f (x) = 3x 2 – 6x – 24<br />
จะเห็นได้ว่า f สามารถหา<strong>อนุพันธ์</strong>ได้ทุกจุดบนโดเมนของ f<br />
ให้ f (x) = 0 ดังนั้น<br />
3x 2 – 6x – 24 = 0<br />
นั่นคือ<br />
x 2 – 2x – 8 = 0 หรือ (x – 4)(x + 2) = 0 และจะได้ว่า x = 4, – 2<br />
ดังนั้นจุดที่<br />
x = 4 กับจุดที่<br />
x = –2 เป็นจุดวิกฤตของ f (x) ดังกล่าว<br />
31
Change language