อนุพันธ์ (Derivatives) - AS Nida

บทที่
3
อนุพันธ์ และการประยุกต์ (Derivatives and Applications)
ในบทนี้จะกล่าวถึงนิยามหรือความหมายของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ต่างๆ ทฤษฎีของอนุพันธ์ ตลอดจนการน าเอาอนุพันธ์ไปประยุกต์ใช้ ซึ่งรวมถึงอัตราการเปลี่ยนแปลง
การหาค่าสูงสุดและต่าสุด
เป็นต้น
3.1 อนุพันธ์
นิยาม 3.1 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f เทียบกับตัวแปร x คือฟังก์ชัน f โดยที่
f (x) นิยามดังนี้
f (x) =
lim
h0
f(
x h)
f
( x)
h
โดเมนของ f คือจุดทุกจุดในโดเมน f ที่ท
าให้ลิมิตดังกล่าวหาค่าได้
นิยาม 3.2 f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้
(Differentiable) ที่จุด
x ถ้า f (x) หาค่าได้
นิยาม 3.3 f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้
ถ้า f (x) หาค่าได้ที่ทุกๆ
จุดบนโดเมน f
ตัวอย่าง 3.1 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
1. f (x) = x 2
2. f (x) = x
วิธีท า 1. f (x) = x 2
จาก f (x) =
=
=
f ( x h)
f
( x)
lim
h0
h
2 2
( x h)
x
lim
h0
h
2 2 2
x 2xh
h x
lim
h0
h
= 2x
h
lim
h0
= 2x

2. f (x) = x
จาก f (x) =
=
=
=
=
lim
h0
lim
h0
lim
h0
f ( x h)
f
( x)
h
x h
h
x h
h
x
x
x h x
lim
h0 h(
x h
2
1
x
.
x )
x h
x h
หมายเหตุ ส าหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f (x) นอกจากจะใช้สัญลักษณ์ f (x) แล้วยังมีสัญลักษณ์
อื่นที่นิยมใช้อีกเช่น
y ,
dy
dx , df
dx หรือ
df
( x)
dx
ตัวอย่าง 3.2 ก าหนด f (x) = | x | จงหาว่า f มีอนุพันธ์ที่จุด
x = 0 หรือไม่
วิธีท า จาก f (x) =
=
ที่จุด
x = 0
f (0) =
=
พิจารณา
ดังนั้น
lim
h0
lim
h0
f ( x h)
f
( x)
h
| x h | | x |
h
| 0
h | | 0 |
lim
h0
h
| h |
lim
h0
h
| h |
lim =
h0
h h
| h | =
h
lim
h0
| h |
lim
h0
h
h
lim
0
h
h
lim
h0
h
= หาค่าไม่ได้
นั่นคือ
f (0) = หาค่าไม่ได้
ดังนั้น
f ไม่มีอนุพันธ์ที่จุด
x = 0
= 1
lim
h0
= 1
lim
h0
x
x
= -1
= 1
3.1.1 อนุพันธ์ของฟังก์ชันต่างๆ
อนุพันธ์ของฟังก์ชันค่าคงตัว และฟังก์ชันพหุนาม
1. ถ้า f (x) = c, c เป็นจ านวนจริง แล้ว f (x) = 0
2. ถ้า f (x) = x n , n เป็นจ านวนเต็ม แล้ว f (x)
n - 1
= n x
21

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล
1. ถ้า f (x) = a x , a เป็นจ านวนเต็มบวก แล้ว f (x) = a x ln a
2. ถ้า f (x) = e x , แล้ว f (x) = e x
อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1. ถ้า f (x) = sin x, แล้ว f (x) = cos x
2. ถ้า f (x) = cos x, แล้ว f (x) = –sin x
3. ถ้า f (x) = tan x, แล้ว f (x) = sec 2 x
4. ถ้า f (x) = cot x, แล้ว f (x) = –cosec 2 x
5. ถ้า f (x) = sec x, แล้ว f (x) = sec x tan x
6. ถ้า f (x) = cosec x, แล้ว f (x) = –cosec 2 x
3.1.2 กฎต่างๆ ส าหรับการหาอนุพันธ์
ทฤษฎีบท 3.1 ถ้า u และ v เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้
จะได้
1.
2.
3.
4. dx
d( u v)
du = +
dx dx dx
d( u v)
du = –
dx dx dx
d( u v)
dv du
= u +
dx dx dx
u du dv
d v u
v = dx dx
2
v
d ( cu)
=
dx
5. dx
dy ตัวอย่าง 3.3 จงหา จาก y = f (x) ต่อไปนี้
dx
dv กฎการบวก
dv กฎการลบ
v กฎการคูณ
กฎการหาร
cdu , c เป็นจ านวนจริง กฎการคูณด้วยค่าคงที่
1. y = 3x 4 + 2x 3 – 6x +5 2. y = x 2 e x
sin
3. y = x
วิธีท า 1. y = 3x 4 + 2x 3 – 6x + 5
3
dy 3 2
= 12x + 6x – 6
dx
x
22

2. y = x 2 e x
dy 2 x x
= x e + e (2x)
dx
sin
3 y = x
dx
x
3
x
x
3 cos x sin x3
ln3
x
( 3 )
dy = 2
cos x = x
sin x ln3
3
นิยาม 3.4 ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้
ส าหรับช่วงเปิดใดๆ ถ้า f มีอนุพันธ์ที่ทุกๆ
จุดบน
ช่วงเปิดนั้นๆ
นิยาม 3.5 ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้
ส าหรับช่วงปิด [a, b] ถ้า f มีอนุพันธ์ที่ทุกๆ
จุดบน
ช่วงเปิด (a, b) และ
lim
h0
ด้านซ้ายที่จุด
b) หาค่าได้
f ( a h)
f ( a)
h
(อนุพันธ์ด้านขวาที่จุด
a) และ
lim
h0
f ( b h)
f ( b)
h
(อนุพันธ์
ตัวอย่าง 3.4 ก าหนด f (x) = x , x [0, ) f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง
[0, ) หรือไม่
เพราะเหตุใด
วิธีท า ส าหรับ x (0, )
f (x) =
=
=
=
lim
h0
x h
h
x
lim
h0 h(
x h x
x h
1
lim
h0 x h
2
1
x
x
x )
ดังนั้น
f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ในช่วง
(0, )
ส าหรับที่
x = 0 (ต้องหาอนุพันธ์ด้านขวาที่จุด
x = 0)
f (x) =
=
lim
h0
lim
h0
0 h
h
1
h
0
= หาค่าไม่ได้
=
lim
h0
ดังนั้น
f ไม่สามารถหาอนุพันธ์ที่จุด
x = 0 ได้
ดังนั้น
f ไม่เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง
[0, ) เพราะ f ไม่สามารถหาอนุพันธ์ที่จุด
x = 0 ได้
h
h
23

3.1.3 กฎลูกโซ่ (Chain Rule)
ทฤษฎีบท 3.2 ถ้า f (u) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่
u = g(x) และ g(x) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ที่
x
ได้ ดังนั้นฟังก์ชันประกอบ
(Composite Function) (fog)(x) = f(g(x)) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่
x
โดยที่
(fog)(x) = f (g(x)).g (x)
dy dy du
ดังนั้น
ถ้า y = f (u) และ u = g(x) จะได้ว่า = .
dx du dx
ตัวอย่าง 3.5 ให้ y = (x 2 + 3x + 5) 4 dy จงหา
dx
วิธีท า ให้ u = x 2 + 3x + 5
จะได้ y = u 4
dy dy du
จากกฎลูกโซ่ = .
dx du dx
= 4u 3 (2x + 3)
= 4(x 2 + 3x + 3) 3 (2x + 3)
ตัวอย่าง 3.6 ให้ y = sin (3t 2 dy
+ 4) จงหา
dt
วิธีท า ให้ u = 3t 2 + 4
จะได้ y = sin (u)
dy dy du
จากฎลูกโซ่ = .
dt du dt
= cos (u) (6t)
= 6t cos (3t 2 + 4)
dy ตัวอย่าง 3.7 จงหา จาก y = f(x) ต่อไปนี้
dx
1. y =
วิธีท า 1. จาก y =
2 7
( x 3)
e
2. y = ln (sin (3x))
2 7
( x 3)
e
ให้ u = (x 2 + 3) 7
จะได้ y = e u
dy dy du = .
dx du dx
= e u du . =
dx
2 7
( x 3)
e
du
. dx
24

ให้ v = x 2 + 3
ดังนั้น
u = v 7
du du dv = .
dx dv dx
= 7v 6 (2x)
= 7(x 2 + 3) 6 (2x)
dy ดังนั้น
=
dx
2 7
( x 3)
e (14 x) (x 2 + 3) 6
= 14 x (x 2 + 3) 6
2 7
( x 3)
e
dy เพื่อความง่ายอาจหา
ในรูปแบบดังนี้
dx
y =
dy =
dx
=
=
2 7
( x 3)
e
2 7 2 7
( x 3)
d(
x 3)
e
dx
2 7
( x 3) e 7(x 2 + 3) 6 2
d(
x 3)
dx
2 7
( x 3) e 7(x 2 + 3) 6 (2x)
= 14 x (x 2 + 3)
2. y = ln (sin (3x))
dy =
dx
=
=
6 7 2
( x 3)
e
1 d (sin 3x)
sin3x
dx
1 d ( 3x)
cos (3x)
sin3x
dx
cos3x 3
sin3x
= 3 cot (3x)
3.1.4 ฟังก์ชันโดยนัย (Implicit Functions)
dy จากที่กล่าวมาข้างต้น
ส าหรับ y = f (x) การหา นั้นสามารถท
าได้โดยไม่ยากนัก อย่างไรก็
dx
ตาม มีความสัมพันธ์ระหว่าง y กับ x ที่ไม่สามารถเขียนในรูปดังกล่าวได้
หรือเขียนได้แต่ก็ไม่ง่ายนัก
อย่างเช่น x 2 + y 2 = sin (y) หรือ x 3 – y 3 = 2 x 2 y 2 เป็นต้น จะเรียก y ดังกล่าวว่าเป็นฟังก์ชันโดยนัย
dy การหา ของฟังก์ชันโดยนัยนั้น
สามารถท าได้โดยให้ถือว่า y เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้
dx
ของ x ดังตัวอย่างดังนี้
25

dy ตัวอย่าง 3.8 จงหา จากสมการต่อไปนี้
dx
1. x 2 + y 2 = 9 2. x 3 + y 3 = 3xy
3. x 3 + sin y = x 2 y 3
วิธีท า 1. x 2 + y 2 = 9
หาอนุพันธ์เทียบกับ x ทั้งสองข้างจะได้
dy 2x + 2y = 0
dx
dy =
dx
2x
2y
x
= –
y
2. x 3 + y 3 = 3 xy
หาอนุพันธ์เทียบกับ x ทั้งสองข้างจะได้
3x 2 + 3y 2 dy dy = 3(x + y)
dx dx
y 2 dy dy 2
– x = y – x
dx dx
dy =
dx
2
y x
2
y x
3. x 3 + sin y = x 2 y 3
หาอนุพันธ์เทียบกับ x ทั้งสองข้างจะได้
3x 2 dy 2 2 dy 3
+ cos y = x (3y ) + y (2x)
dx
dx
dy 2 2 dy 3 2
cos y – 3x y = 2 xy – 3 x
dx dx
dy 2xy
3x
= 2 2
dx
3
cosy
3x
2
y
26

3.1.5 ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง
เมื่อพิจารณานิยามของการหาอนุพันธ์ที่จุดที่
x = x0 และจากรูปที่
3.1 จะเห็นได้ว่า ความชัน
ของเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้ง
y = f (x) ที่จุด
x0 จะเท่ากับ
Y
lim
h0
f(
x
0
h)
f
( x )
รูปที่
3.1 แสดงเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้ง
ณ จุด x0 ตัวอย่าง 3.9 จงหาความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = x 2 – 2x ที่จุด
x = 3
วิธีท า จาก y = x 2 – 2x
dy = 2x – 2
dx
dy ที่จุด
x = 3, = 2 (3) – 2 = 4
dx
ดังนั้น
ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ที่จุด
x = 3 มีค่าเท่ากับ 4
ตัวอย่าง 3.10 จงหาสมการของเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้ง
xy = 4 ที่จุด
(1, 4)
วิธีท า จาก xy = 4
4 y =
x
dy 4 =
dx 2
x
f(x)
O x 0 x 0 + h
4
ความชันของเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งที่จุด
(1, 4) = = – 4 2
จากสมการเส้นตรง y = ax + b, a = ความชัน
1
h
0
= f (x 0)
X
27

ดังนั้น
y = – 4x + b
เนื่องจากเส้นตรงผ่านจุด
(1, 4) จะได้ 4 = –4 (1) + b ดังนั้น
b = 8
ดังนั้น
สมการของเส้นตรงดังกล่าวคือ y = – 4x + 8
ตัวอย่าง 3.11 จงหาความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y 2 + x 2 = y 4 – 2x ที่จุด
(–2, 1)
วิธีท า จาก y 2 + x 2 = y 4 – 2x
dy 3
จะได้ 2y + 2x = 4y
dx
dy 3
2y – 4y
dx
dx
dy – 2
dx
dy = – 2 – 2x
dy =
dx
(
1
x)
2
y(
1
2y
)
dy 1
ที่จุด
(– 2, 1) จะได้ =
dx 1
= – 1
ดังนั้น
ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y 2 + x 2 = y 4 – 2x ที่จุด
(–2, 1) เท่ากับ – 1
3.1.6 อนุพันธ์อันดับสองและมากกว่าอันดับสอง
dy อนุพันธ์ y = เรียกว่าเป็นอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
(first-order derivative) ของ y เทียบกับ x ถ้า
dx
อนุพันธ์อันดับหนึ่งนี้เป็นฟังก์ชันที
y เป็นฟังก์ชันที
d dy
่หาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า y =
dx dx
2
d y
= 2
จะเรียก y เรียกว่าเป็นอนุพันธ์อันดับสอง (second-order derivative) ของ y เทียบกับ x และถ้า
่หาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า y =
2
d y
dx
2
dx
dx
28
d 3
d y = เรียกว่าเป็นอนุพันธ์อันดับสาม (third-
3
order derivative)
ดังนั้นอนุพันธ์อันดับ
n (nth-order derivative) ของ y เทียบกับ x ส าหรับจ านวนเต็มบวก n
ใดๆ นั้นสามารถเขียนแทนได้
y (n) ทั้งนี
ตัวอย่าง 3.12 ก าหนด y = 2x 3 + 3x 2 + 4x – 5
y = 6x 2 + 6x + 4
y = 12x + 6
y = 12
้ y (n)
=
n1
d y
dx
n1
dx
y (4) = 0 และ y (n) = 0 ทุกค่า n 5
dx
n
d y
d = n
dx

3.2 การประยุกต์ใช้อนุพันธ์
3.2.1 อัตราการเปลี่ยนแปลง
(Rate of Changes)
ในการศึกษาอัตราการเปลี่ยนแปลงของสิ่งต่างๆ
อย่างเช่นการเปลี่ยนแปลงของระยะทางที่วัตถุ
เคลื่อนที่เมื่อเทียบกับเวลา
อัตราการเปลี่ยนแปลงของต้นทุนของสินค้าเมื่อเทียบกับจ
านวนที่ผลิต
อัตรา
การเปลี่ยนแปลงของราคาสินค้าเมื่อเทียบกับราคาน้ามัน
สิ่งเหล่านี้ได้มีการน
าเอาอนุพันธ์เข้าไป
ประยุกต์ใช้กันอย่างมาก
นิยาม 3.6 อัตราการเปลี่ยนแปลงของ
f เทียบกับ x ที่
a เขียนแทนด้วย f (a) =
lim
h0
f ( a h)
f
( a)
h
ตัวอย่าง 3.13 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเทียบกับรัศมี
เมื่อรัศมีของวงกลมเท่ากับ
5
ซม.
วิธีท า ถ้า A = พื้นที่วงกลม
และ r = รัศมีของวงกลม
ดังนั้น
A = r 2
dA = 2r
dr
dA เมื่อ
r = 5 ซม. ดังนั้น
= 2 (5) = 10 ตารางซม./ ซม.
dr
นั่นคือ
อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเมื่อรัศมีเท่ากับ
5 ซม. เท่ากับ 10 ตารางซม./ ซม.
ตัวอย่าง 3.14 อนุภาคหนึ่งเคลื่อนที่ตามแกน
s (หน่วยเป็นเมตร) โดยมีสมการระยะทางตามเวลา t ใดๆ
(หน่วยเป็นวินาที) คือ s = t 2 + 2t + 3 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางในแกน
s ดังกล่าวที่เวลา
t = 3
วิธีท า จาก s = t 2 + 2t + 3
ds = 2t + 2
dt
ds เมื่อ
t = 3 ดังนั้น
= 8
dt
นั่นคือ
อัตราการเปลี่ยนแปลงระยะทางในแกน
s ที่วินาทีที่
3 เท่ากับ 8 เมตรต่อวินาที
หมายเหตุ อัตราการเปลี่ยนแปลงระยะทางเทียบกับเวลา
ก็คือความเร็ว
29

3.2.2 ค่าสุงสุด และค่าต่าสุด
ในการน าเอาอนุพันธ์ไปประยุกต์ใช้ในเรื่องต่างๆ
นั้น
ส่วนหนึ่งที่มีความส
าคัญอย่างมากก็คือ
เรื่องของการหาค่าสูงสุดหรือค่าต่าสุดของฟังก์ชันซึ่งพิจารณา
รูปที่
3.2 ดังนี้
a b c d e f
รูปที่
3.2 จุดสูงสุด และจุดต่าสุด
จากรูป เมื่อพิจารณา
f (x) ในช่วง [a, b] จะเห็นได้ว่า
ที่จุด
x = e มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ (Absolute maximum value)
ที่จุด
x = b มีค่าต่าสุดสัมบูรณ์
(Absolute minimum value)
ที่จุด
x = a และ c, e มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ (Relative maximum value)
ที่จุด
x = b, d มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์
(Relative minimum value)
นิยาม 3.7 ก าหนด f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนคือเซต
D ส าหรับค่า c ที่อยู่ใน
D จะเรียก f (c) ว่าเป็น
1. ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ f บน D ก็ต่อเมื่อ
f (x) f (c) ทุกค่า x ที่อยู่ในโดเมนของ
f
2. ค่าต่าสุดสัมบูรณ์ของ
f บน D ก็ต่อเมื่อ
f (x) f (c) ทุกค่า x ที่อยู่ในโดเมนของ
f
นิยาม 3.8 ก าหนด f เป็นฟังก์ชัน และ c เป็นจุดที่อยู่ภายในโดเมนของ
f จะเรียก f (c) ว่าเป็น
1. ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด
c ก็ต่อเมื่อ
f (x) f (c) ส าหรับทุกค่า x ที่อยู่ในช่วงเปิดที่รวมจุด
c
2. ค่าต่าสุดสัมพัทธ์ที่จุด
c ก็ต่อเมื่อ
f (x) f (c) ส าหรับทุกค่า x ที่อยู่ในช่วงเปิดที่รวมจุด
c
้
้
จากนิยามดังกล่าวนี สามารถที่จะขยายในการนิยามค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือต่าสุดสัมพัทธ์
ที่จุด
ปลายของช่วงโดเมน f ที่ก
าหนด ดังนี
30

จะกล่าวว่า f (c) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด
c ก็ต่อเมื่อ
f (x) f (c) ส าหรับทุกค่า x ที่อยู่ในช่วง
ครึ่งเปิดที่รวมจุด
c
และ f (c) จะเป็นค่าต่าสุดสัมพัทธ์ที่จุด
c ก็ต่อเมื่อ
f (x) f (c) ส าหรับทุกค่า x ที่อยู่ในช่วงครึ่งเปิด
ที่รวมจุด
c
ทฤษฎีบท 3.3 ถ้าฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ที่จุด
c ซึ่งอยู่ภายในโดเมนของ
f
และถ้าอนุพันธ์ของ f ที่จุด
c หาค่าได้แล้ว f (x) = 0
จากทฤษฎีนี้แสดงให้เห็นถึงค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ที่จุด
c ซึ่งอยู่ในโดเมนของ
f ในกรณีที่สามารถหาอนุพันธ์ของ
f ที่จุด
c ได้ อย่างไรก็ตามพิจารณาฟังก์ชัน f ต่อไปนี้
f (x) = | x – 3 | , 2 x 6
4
1
่ ่
2 3 6
รูปที 3.3 f(x) = |x| - 3 โดยที 2 ≤ x ≤ 6
จะเห็นได้ว่า f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด
x = 2 และ f มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ที่จุด
x = 6
f มีค่าต่าสุดสัมบูรณ์ที่จุด
x = 3 แต่ที่จุดนี้
f ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้
นิยาม 3.9 จุด c ในโดเมน f เรียกว่าเป็นจุดวิกฤต (Critical point) ถ้า f (x) = 0 หรือ f (x) หาค่าไม่ได้
ข้อสังเกต f จะมีค่าสูงสุด หรือต่าสุดที่จุด
c ถ้า c เป็นจุดวิกฤตหรือจุดปลายของโดเมนของ f
ตัวอย่าง 3.15 จงหาจุดวิกฤตของ f (x) = x 3 – 3x 2 – 24x + 2
วิธีท า จาก f (x) = x 3 – 3x 2 – 24x + 2 จะได้ f (x) = 3x 2 – 6x – 24
จะเห็นได้ว่า f สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกจุดบนโดเมนของ f
ให้ f (x) = 0 ดังนั้น
3x 2 – 6x – 24 = 0
นั่นคือ
x 2 – 2x – 8 = 0 หรือ (x – 4)(x + 2) = 0 และจะได้ว่า x = 4, – 2
ดังนั้นจุดที่
x = 4 กับจุดที่
x = –2 เป็นจุดวิกฤตของ f (x) ดังกล่าว
31

2
ตัวอย่าง 3.16 จงหาจุดวิกฤตของ f (x) = x 3
2
วิธีท า จาก f (x) = x 3 จะได้ว่า f (x) =
3
1
2
x 3
2 1
= .
3 3
x
จะเห็นได้ว่า ไม่มีค่า x ที่ท
าให้ f (x) มีค่าเป็นศูนย์ และจุด x = 0 ท าให้ f(x) หาค่าไม่ได้
ดังนั้นจุดวิกฤตของ
f(x) คือ x = 0
3.2.3 การทดสอบจุดสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต่าสุดสัมพัทธ์
จากตัวอย่างที่
3.15 และตัวอย่าง 3.16 นั้น
ถึงแม้ว่าจะหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน f(x) ได้ แต่ไม่
สามารถทราบได้ว่า จุดวิกฤตดังกล่าวเป็นจุดที่ท
าให้เกิดค่าสูงสุดหรือต่าสุด
รูปที่
3.4 แสดงจุดวิกฤตของฟังก์ชัน y = f(x) และความชันของเส้นตรงที่สัมผัสจุดที่อยู่
ด้านซ้ายและด้านขวาของจุดวิกฤต
่ ่
c c
รูปที 3.4 ก
y = f(x)
รูปที 3.4 ข
c
รูปที่
3.4 ค
y = f(x)
รูปที่
3.4 แสดงจุดวิกฤตของฟังก์ชัน y = f(x) และความชันของเส้นสัมผัส
32
y = f(x)

จากรูปที่
3.4 ก 3.4 ข และ 3.4 ค สามารถสรุปได้ว่า ส าหรับจุดวิกฤตที่
x = c ของฟังก์ชัน f
1. ถ้า f (x) เปลี่ยนเครื่องหมายจาก
– เป็น + ที่จุด
c จะได้ว่า f มีจุดสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด
c
2. ถ้า f (x) เปลี่ยนเครื่องหมายจาก
+ เป็น – ที่จุด
c จะได้ว่า f มีจุดต่าสุดสัมพัทธ์ที่จุด
c
3. ถ้า f (x) ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายที่ทั้งสองด้านของจุด
c จะได้ว่า f ไม่มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์
พิจารณาตัวอย่าง 3.15 ซึ่ง
f (x) = x 3 – 3x 2 – 24x + 2
จะได้ f (x) = 3x 2 – 6x – 24 = 3(x 2 – 2x – 8)
= 3(x – 4) (x + 2)
พิจารณาช่วงต่างๆ ของ f (x) ดังนี้
ช่วง x < –2 –2 < x < 4 x > 4
เครื่องหมายของ
f (x) + – +
จะเห็นได้ว่า ที่จุด
x = – 2 ค่าของ f (x) เปลี่ยนจาก
+ เป็น –
ดังนั้น
f มีจุดสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด
x = – 2
และที่จุด
x = 4 ค่าของ f (x) เปลี่ยนจาก
– เป็น +
ดังนั้น
f มีจุดต่าสุดสัมพัทธ์ที่จุด
x = 4
2
และจากตัวอย่าง 3.16 f (x) = x 3
ซึ่งได้
f 2 1
(x) =
3 3
x
โดยมี x = 0 เป็นจุดวิกฤต
พิจารณาช่วงต่างๆ ของ f (x) ดังนี้
ช่วง x < 0 x > 0
เครื่องหมายของ
f (x) - +
จะเห็นได้ว่า ที่จุด
x = 0 ค่าของ f (x) เปลี่ยนจากเครื่องหมาย
– เป็น +
ดังนั้น
f มีจุดต่าสุดสัมพัทธ์
ที่จุด
x = 0
33

ตัวอย่าง 3.17 ก าหนด f (x) = x 3 จงหาจุดวิกฤต และตรวจสอบว่าจุดวิกฤตนั้น
ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์
หรือต่าสุดสัมพัทธ์หรือไม่
วิธีท า จาก f (x) = x 3
f (x) = 3x 2
จะเห็นได้ว่า f (x) หาค่าได้เสมอทุกค่า x ที่เป็นจ
านวนจริง
ให้ f (x) = 0 ดังนั้น
3x 2 = 0
และจะได้ x = 0
ดังนั้น
x = 0 เป็นจุดวิกฤตของ f (x)
พิจารณาช่วงต่างๆ ของ f (x) ดังนี้
ช่วง x < 0 x > 0
เครื่องหมายของ
f (x) + +
เนื่องจาก
f (x) ไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย
แสดงว่าที่จุด
x = 0 ไม่ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต่าสุด
สัมพัทธ์
3.2.4 การใช้อนุพันธ์อันดับสองในการทดสอบจุดสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต่าสุดสัมพัทธ์
้
ในการทดสอบจุดวิกฤตว่าเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่าสุดสัมพัทธ์นั้น
นอกจากการ
พิจารณาการเปรียบเทียบของอนุพันธ์ที่จุดวิกฤตนั้น
ทดสอบดังกล่าวได้ดังนี
สามารถใช้อนุพันธ์อันดับสองมาช่วยในการ
ทฤษฎีบท 3.4 ก าหนด f (x) และจุดที่อยู่ในโดเมน
f ที่ท
าให้ f (c) = 0 ถ้า
1. f (x) < 0 แล้ว f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด
c
2. f (x) > 0 แล้ว f มีค่าสุดสัมพัทธ์ที่จุด
c
จากทฤษฏีดังกล่าว จะเห็นได้ว่าการพิจารณาจุดวิกฤตว่าเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต่าสุด
สัมพัทธ์นั้น
พิจารณาจากอนุพันธ์อันดับสองที่จุด
c โดยตรง ท าให้การทดสอบไม่ยุ่งยากเหมือนการ
พิจารณาช่วงการเปรียบเครื่องหมายส
าหรับอนุพันธ์อนุพันธ์อันดับหนึ่ง
อย่างไรก็ตามวิธีการนี้ไม่
สามารถทดสอบได้ว่าจุดวิกฤตนั้นเป็นจุดที่ได้มาจากอนุพันธ์อันดับหนึ่งหาค่าไม่ได้
และไม่สามารถ
ทดสอบได้ในกรณีที่อนุพันธ์อันดับสองเป็นศูนย์หรือหาค่าไม่ได้
34

ตัวอย่าง 3.18 จงหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต่าสุดสัมพัทธ์ของ
f (x) = x 3 – 3x + 7
วิธีท า จาก f (x) = x 3 – 3x + 7
จะได้ f (x) = 3x 2 – 3
จะเห็นได้ว่า f (x) หาอนุพันธ์ได้ทุกๆ ค่า x ที่เป็นจ
านวนจริง
ให้ f (x) = 0 จะได้ 3x 2 – 3 = 0
นั่นคือ
x 2 = 1 หรือ x = 1
ดังนั้น
ที่จุด
x = 1 เป็นจุดวิกฤตของ f (x)
พิจารณา f (x) = 6x
ที่จุด
x = 1, f (1) = 6 > 0
ดังนั้น
f มีจุดต่าสุดสัมพัทธ์ที่จุด
x = 1
ที่จุด
x = –1, f (–1) = –6 < 0
ดังนั้น
f มีจุดสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด
x = –1
ตัวอย่าง 3.19 จงหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่าสุดสัมพัทธ์ของ
f (x) = x 4
วิธีท า จาก f (x) = x 4
f (x) = 4x 3
f (x) สามารถหาค่าได้ทุกค่า x ที่เป็นจ
านวนจริง
ให้ f (x) = 0 ดังนั้น
4 x 3 = 0 และจะได้ x = 0
ดังนั้น
ที่จุด
x = 0 เป็นจุดวิกฤตของ f (x)
พิจารณา f x) = 12 x 2
ที่จุด
x = 0, จะได้ว่า f 0) = 0
ดังนั้น
ยังสรุปไม่ได้ว่าที่จุด
x = 0 เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่าสุดสัมพัทธ์หรือไม่
พิจารณาช่วงต่างๆ ของ f (x) ดังนี้
ช่วง x < 0 x > 0
เครื่องหมายของ
f (x) - +
เครื่องหมายของ
f (x) เปลี่ยนจาก
– เป็น + ที่จุด
x = 0 ดังนั้น
f มีจุดต่าสุดสัมพัทธ์ที่
x = 0
35

ตัวอย่าง 3.20 จงหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน f (x) = 3x 4 – 8x 3 + 2 และทดสอบว่าจุดวิกฤตดังกล่าวเป็น
จุดสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต่าสุดสัมพัทธ์
วิธีท า จาก f (x) = 3x 4 – 8x 3 + 2
f (x) = 12x 3 – 24x 2
f (x) สามารถหาค่าได้ทุกค่า x ที่เป็นจ
านวนจริง
ให้ f (x) = 0
12x 3 – 24x 2 = 0
12x 2 (x – 2) = 0
x = 0, 2
พิจารณา f (x) = 36x 2 – 48x
ที่จุด
x = 0, f (0) = 0
x = 2, f (2) = 144 – 96 > 0
ดังนั้น
f มีจุดต่าสุดสัมพัทธ์ที่จุด
x = 2 แต่ที่จุด
x = 0 ยังสรุปไม่ได้
พิจารณาช่วงต่างๆ ของ f (x) ดังนี้
ช่วง x < 0 0 < x < 2 x > 2
เครื่องหมายของ
f (x) - - +
ซึ่งเห็นได้ว่าที่จุด
x = 0 เครื่องหมายของ
f (x) ไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย
แต่ที่จุด
x = 2 f (x)
เปลี่ยนเครื่องหมายจาก
– เป็น +
ดังนั้นสรุปได้ว่า
f มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์ที่จุด
x = 2 แต่ที่
x = 0 ไม่ใช่จุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุด
ต่าสุดสัมพัทธ์
3.2.5 การประยุกต์ใช้ค่าสูงสุดหรือค่าต่าสุด
้
ในการน าเอาเรื่องของอนุพันธ์ไปประยุกต์ใช้กับงานจริงนั้น
เรื่องของการหาค่าสูงสุดหรือ
ต่าสุด
เป็นเรื่องหนึ่งที่มีความส
าคัญมาก และถูกน าไปประยุกต์ใช้อย่างแพร่หลาย
เข้าใจ พิจารณาดังตัวอย่างต่อไปนี
เพื่อให้เกิดความ
36

ตัวอย่าง 3.21 ถ้านายสรยุทธ์ต้องการน าเชือกที่มีความยาว
100 เมตร มากั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากให้
มีพื้นที่มากที่สุดแล้ว
นายสรยุทธ์ควรจะต้องน าเชือกดังกล่าวมากั้นให้มีความกว้าง
และความยาวเท่าใด
จากรูป ถ้าให้ความกว้างของสี่เหลี่ยมมุมฉาก
= x
จะได้ความยาวของสี่เหลี่ยมดังกล่าว
= 50 – x ดังในรูป
ให้ A = พื้นที่ของสี่เหลี่ยมมุมฉาก
จะได้ A = x (50 – x)
A = 50 x – x 2
50 – x
x
x
50 – x
dA ให้ = 0
dx
ดังนั้น
50 – 2x = 0, x = 25
2
d A
พิจารณา = –2 < 0
2
dx
ดังนั้น
x = 25 ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์
dA จะได้ว่า หาค่าได้ทุกค่า x ที่เป็นจ
านวนจริงใดๆ
dx
นั่นคือ
นายสรยุทธ์ต้องน าเชือกดังกล่าวมากั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
ที่มีแต่ละด้านยาวเท่ากับ
25 เมตร จึงจะท าให้ได้พื้นที่มากที่สุด
ตัวอย่าง 3.22 ชายคนหนึ่งพายเรืออยู่ในทะเล
ณ จุดห่างจากชายฝั่ง
OB 100 กม.ความยาวชายฝั่งจาก
O ถึง B เท่ากับ 200 กม. ชายคนนี้จะต้องพายเรือเข้าชายฝั่ง
หลังจากนั้นเขาจะขี่จักรยานเพื่อไปถึงจุด
B
ให้เร็วที่สุด
ถ้าชายดังกล่าวพายเรือด้วยความเร็ว 10 กม.ต่อ ชม. และขี่จักรยานด้วยความเร็ว
20 กม.ต่อ
ชม.จงหาว่าชายดังกล่าวควรพายเรือขึ้นฝั่ง
ณ จุดใด
วิธีท า ให้ชายคนนั้นพายเรือเข้าฝั่ง
ณ จุดที่ห่างจากจุด
O เป็นระยะทาง x กม.
A
ดังนั้นระยะทางที่เขาพายเรือ
= 2 2
x
100
และระยะทางที่เขาขี่จักรยาน
= 200 – x กม.
ถ้าให้ T เป็นเวลาที่เขาใช้ทั้งหมด
0
x
C
B
T =
2 2
100 x
10
200 x +
20
dT 1 =
dx 20
2x
2 2
100 x
1 –
20
100 กม.
37

dT ให้ = 0 จะได้ว่า
dx
1
20
2x
2 2
100 x
1 – = 0
20
2 x =
2
100 x
4 x 2 = 100 2 + x 2
3 x 2 = 100 2
x =
พิจารณาช่วงต่างๆ ของ T (x) ดังนี้
3
2
100 = 57.735 กม.
ช่วง x <
100
x >
3
เครื่องหมายของ
T (x) – +
ดังนั้นที่
x = 57.735 ท าให้ T มีค่าน้อยที่สุด
เพราะฉะนั้นชายคนนั้นควรพายเรือเข้าฝั่งที่ห่างจากจุด
O เป็นระยะทางเท่ากับ 57.735 กม.
100
3
38

แบบฝึกหัด
1. จงหา
1.1 f(x) = 4
1.2 f(x) = x 3
1.3 f(x) = |x|
f ( x h)
f ( x)
h 0 h
lim
2. ก าหนด f(x) ต่อไปนี้
จงหา f(x)
2.1 f(x) = x 3 + 2x 2 + 5x +4
2.2 f(x) = 3 x + lnx
2.3 f(x) = sinx + cosx
dy
3. ก าหนด y = f(x) ต่อไปนี้
จงหา
dx
3.1 y = x 2 + 2x + 5
3.2 y = (x 2 + 2x + 5) 7
3.3 y = (lnx) 4
3.4 y = sin(x 2 + 3)
3.5 y = 3
x
2
4x
3.6 y = ln(x 2 + 3)
3.7 y = e x sinx
2
x 3.8 y = x
3.9 y =
3
( x
2
5)
4
e
dy 4. จงหา ต่อไปนี้
dx
4.1 x 2 + y 2 = 9
4.2 x 2 + y 2 = 3x 2 y + 4x + 3y + 7
4.3 x 2 y + 4x = 3y 2 + 3y + 3
4.4 y 2 = 3x 2 + (lnxy) 4
ของ f(x) ต่อไปนี้
39

5. จงหาความชันของเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งที่จุด
x = c ต่อไปนี้
5.1 เส้นโค้ง y = x 3 + 2x + 1 ที่จุด
x = 2
5.2 เส้นโค้ง y = (x 2 + 2) 3 ที่จุด
x = 1
5.3 เส้นโค้ง x 2 + y 2 = 4 ที่จุด
x = 3
5.4 เส้นโค้ง xy + 4x +3y + 3 = 1 ที่จุด
x = 1
6. จงหาเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งที่จุด
x = c ต่อไปนี้
6.1 เส้นโค้ง y = 4 - x 2 ที่จุด
(1, 3)
6.2 เส้นโค้ง xy = 1 ที่จุด
(1, 1)
7. จงหาจุดสูงสุด หรือจุดต่าสุดของฟังก์ชัน
f(x) ต่อไปนี้
7.1 f(x) = x 2 – 2x + 5
7.2 f(x) = x 4 – 2x + 4
7.3 f(x) = x 3 +x 2 – 8x + 3
2
7.4 f(x) = x 3 + 3
7.5 f(x) = |x – 4|
7.6 f(x) = |x – 2|, 0 ≤ x ≤ 9
7.7 f(x) = x 2 – 2x + 5, -3 ≤ x ≤ 2
40