第八章无穷级数
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第八章 无穷级数<br />
范例解析<br />
例1 证明下列级数收敛,并求其和.<br />
∞ ∞<br />
n<br />
1<br />
(1) ∑ ; (2) .<br />
n<br />
∑<br />
n= 2 n=<br />
(3n− 2)(3n+ 1)<br />
1 1<br />
n k 1 2 3 n−1 n<br />
解 (1)设 Sn = ∑ = + + + L + + , 则<br />
k 2 3 n−1 n<br />
2 2 2 2 2 2<br />
k = 1<br />
1<br />
S n<br />
2<br />
1 2 3 n−1 n<br />
= + + + L + + .<br />
2 3 4 n n+<br />
1<br />
2 2 2 2 2<br />
1<br />
上两式相减,得 S n<br />
2<br />
1 1 2 1 n<br />
= + + + L + − ,<br />
2 3 n n+<br />
1<br />
2 2 2 2 2<br />
1 1 1 n 1 1 n<br />
即 Sn = 1 + + + L + − = (1 − )/(1 − ) − .<br />
2 n−1 n n n<br />
2 2 2 2 2 2 2<br />
由 lim<br />
2<br />
0, n<br />
n<br />
n→∞<br />
= 故 lim Sn<br />
n→∞<br />
= 2, 所以所给级数收敛.且其和为 2.<br />
(2)所给级数的前 n 项部分和为<br />
1 1 1<br />
Sn<br />
= + + L +<br />
1⋅ 4 4⋅7 (3n− 2)(3n+ 1)<br />
1 1 1 1 1 1<br />
= [(1 − ) + ( − ) + L + ( − )]<br />
3 4 4 7 3n− 2 3n+ 1<br />
1 1<br />
= (1 − ).<br />
3 3n+ 1<br />
1 1 1<br />
则 lim Sn<br />
= lim (1 − ) = .<br />
n→∞ n→∞<br />
3 3n+ 1 3<br />
由级数收敛的定义知,所给级数收敛,其和为 1<br />
3 .<br />
∞ ∞<br />
∞<br />
n−1<br />
例2 已知级数 ( − 1) a = 2, a = 5, a .<br />
∑ ∑ 试求 ∑<br />
n 2n−1 n= 1 n=<br />
1<br />
n=<br />
1<br />
∞<br />
解 an= a1+ a3+ a5 + − a1− a2 + a3− a5<br />
+<br />
n=<br />
1<br />
∞ ∞<br />
n−1<br />
= 2 ∑a2n−1−∑ ( − 1) an<br />
= 2× 5− 2= 8.<br />
n= 1 n=<br />
1<br />
∑ 2( L) ( L )<br />
- 355 -<br />
n
例3 用比较法判别下列级数的敛散性<br />
(1)<br />
π<br />
2 sin ; (2)<br />
1<br />
( a > 0);<br />
∞<br />
n<br />
∑<br />
n= 1<br />
n<br />
3<br />
∞<br />
∑ n<br />
n=<br />
11+<br />
a<br />
∞ ∞<br />
1 1+<br />
n<br />
(3) ∑ ; (4) .<br />
2 ∑ 2<br />
n= 1 n + n n=<br />
11+<br />
n<br />
解 (1) 0 x<br />
2<br />
π<br />
π π<br />
< < 时有sin x < x,<br />
故sin < , 所以<br />
n n<br />
3 3<br />
∞<br />
n π n π 2 n 2 n<br />
un<br />
= 2 sin < 2 ⋅ = π ( ) , 而<br />
n n ∑ π ( ) 收敛,故所给级数收敛.<br />
3 3 3 n=<br />
1 3<br />
∞<br />
1 1 1 1<br />
(2)分两种情况讨论.当 0< a ≤ 1时,<br />
≥ = , 而<br />
n n ∑ =<br />
1+ a 1+ 1 2 n=<br />
1 2<br />
发散(因一般项<br />
为 1<br />
不趋近于零),故当 0 1<br />
2 a<br />
∞ 1<br />
1 1 1 n<br />
< ≤ 时, ∑ 发散;当 a > 1时,<br />
u<br />
n<br />
n = ≤ = ( ) n n<br />
n=<br />
1 1+<br />
a<br />
1+<br />
a a a<br />
1<br />
而 ( )<br />
1<br />
n<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
a<br />
为公比<br />
∞<br />
1<br />
1<br />
q = 小于 1 的等比级数,收敛,故当 a > 1时,所给级数<br />
∑ 收敛. n<br />
a<br />
n=<br />
1 1+<br />
a<br />
∞<br />
∞<br />
1 1 1 1<br />
(3)因为 < , 由于 p − 级数 2 2 ∑ ( p=<br />
2> 1) 是收敛的,所以级数 2<br />
∑ 收敛.<br />
2<br />
n + n n<br />
n=<br />
1 n<br />
n= 1 n + n<br />
(4)因为 2 2 ∞<br />
1+ n 1+ n 1 1<br />
n + n≥ n + 1, ≥ = , 由于调和级数<br />
2 2<br />
∑ n + 1 n + n n<br />
n=<br />
1 n<br />
是发散的,所以级数<br />
∞ 1+<br />
n<br />
∑ 发散.<br />
2<br />
n=<br />
1 n + 1<br />
注意 使用比较判别法时,常根据级数一般项的形式,将其放大或缩小,使放大后的<br />
级数收敛,缩小后的级数发散,为此有时需用到有关的不等式,例如 x> ln(1 + x)( x><br />
0),<br />
0 sin x x(0 x )<br />
2<br />
π<br />
< < < < 等.<br />
∞ 1<br />
x n<br />
例4 判别级数 ∑∫ dx 的敛散性.<br />
0 2<br />
n=<br />
1 1+<br />
x<br />
解法一 先求定积分<br />
1 1 2<br />
1<br />
xdx 1 d(1 + x ) 1 2 1 1<br />
n n<br />
n<br />
∫ = = [ln(1 + x )]<br />
0 2 0 2<br />
1+ x 2∫ = ln(1 + ) > 0 ( n = 1, 2 L ),<br />
2<br />
1+ x 2<br />
0 2 n<br />
∞<br />
∞<br />
1 1 1 1 1<br />
因而所给级数为正项级数 ∑ ln(1 + ) 因 ln(1 + ) < , 而 2<br />
2 2 ∑ 2<br />
2 n=<br />
1 n n n n=<br />
1 n<br />
收敛,由比较判别<br />
∞ 1 1<br />
法知, ∑ ln(1 + ) 收敛.于是所给级数收敛.<br />
2<br />
2 n n<br />
= 1<br />
356
1 1<br />
x<br />
x n n<br />
解法二 先将被积函数放大与缩小,得到 0 ≤ ≤ x 从而 0<<br />
2<br />
2<br />
1+<br />
x ∫ dx< xdx<br />
0 1+<br />
x ∫ 0<br />
1<br />
, 2<br />
2n<br />
∞ 1<br />
∑<br />
n=<br />
1 2n<br />
收敛,由比较判别法知所给级数收敛.<br />
例5 用比值判别法判别下列级数的敛散性,<br />
2 1<br />
(1) ;<br />
2 n<br />
∞ n −<br />
∑<br />
∞ 2 ⋅n!<br />
(2) ∑ ; n<br />
n<br />
= 而 2<br />
n=<br />
1<br />
∞ n<br />
e<br />
(3) ∑ ; n<br />
n ⋅3<br />
n=<br />
1<br />
357<br />
n=<br />
1<br />
∞ n<br />
a<br />
(4) ∑ ( a > 0, s > 0).<br />
s<br />
n<br />
n=<br />
1<br />
un+ 1 2n+ 1 1<br />
解 (1)因 lim = lim = < 1, 故原级数收敛.<br />
n→∞ u n→∞<br />
2(2n−1) 2<br />
n<br />
n+ 1<br />
n<br />
un+ 1 2 ⋅ ( n+ 1)!2 ⋅n!<br />
n n 1<br />
(2)因 lim = lim = lim 2( n + 1)( ) ⋅<br />
n→∞ n<br />
n 1 n<br />
u →∞<br />
+<br />
( n+ 1) n n→∞n+<br />
1 n+<br />
1<br />
n<br />
2 2<br />
= lim = < 1, 故级数<br />
n→∞ 1 n<br />
(1 + )<br />
e<br />
n<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
n<br />
2 ⋅ n!<br />
收敛<br />
n<br />
n<br />
n+ 1<br />
n<br />
un+ 1 e e e⋅n e<br />
(3)因 lim = lim = lim = < 1. 故级数<br />
n→∞ n<br />
n 1 n<br />
u →∞<br />
+<br />
( n+ 1) ⋅3 n⋅ 3 n→∞3(<br />
n+<br />
1) 3<br />
n<br />
n+ 1 n<br />
un + 1 a a n s<br />
(4)因 lim = lim / = lim( ) a= a,<br />
故当 a < 1 时,<br />
n→∞ n<br />
s s<br />
u →∞ ( n+ 1) n n→∞<br />
n+<br />
1<br />
当 a > 1时,<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
a<br />
n<br />
n<br />
s<br />
n<br />
发散;.当 a = 1时,为<br />
p − 级数<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
n<br />
e<br />
n ⋅3<br />
n<br />
收敛.<br />
a<br />
∞ n<br />
∑ s<br />
m=<br />
1 n<br />
收敛;<br />
1<br />
; s > 1时收敛,<br />
s ≤ 1 时发散.<br />
s<br />
n<br />
n n n<br />
注意 正项级数的一般项 u n 中含有 n!, n ,sin x (或 c ( c为常数)等因子时,用比值判<br />
n u + n<br />
n n<br />
中能使阶乘符号消失;对于 c 能使n 次幂消失;对于 n ,sinx<br />
往往<br />
u<br />
别法比较简便,这是因为 1<br />
能利用两个重要极限求其极限.<br />
∞ n 2 nπ<br />
例6 判断级数 ∑ sin 的敛散性.<br />
n<br />
3 6<br />
解<br />
u<br />
n=<br />
1<br />
n<br />
n nπ u n+ 1 ( n+ 1) π n nπ<br />
= sin lim = lim[ sin sin ]<br />
6 3 6<br />
2 n+<br />
1<br />
2 2<br />
n n<br />
3 6 n→∞ un<br />
n→∞<br />
n+<br />
1<br />
3<br />
n<br />
n 2 n n<br />
不存在,不能使用比值判别法判别之.因 0< un<br />
= sin ≤<br />
,<br />
n n<br />
3 6 3<br />
π
∞ n<br />
如能证正项级数 ∑ 收敛,则由比较判别法可知正项级数<br />
1 3 n<br />
n=<br />
∞ n<br />
故级数 ∑ 收敛.因而<br />
1 3 n<br />
n=<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
注意 比值判别法首先要求极限 lim n u<br />
n→<br />
u<br />
358<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
n+ 1 n n + 1 1<br />
lim( ) = lim = < 1,<br />
n→∞ n+ 1 n<br />
3 3 n→∞<br />
3n3 n 2 nπ<br />
sin 收敛.<br />
n<br />
3 6<br />
+ 1<br />
n<br />
存在但并未告诉我们 lim n u<br />
n→<br />
u<br />
n 2 nπ<br />
sin 收敛.事实上,因<br />
n<br />
3 6<br />
+ 1<br />
n<br />
不存在(不含<br />
+∞ 情况)时,级数的敛散性;当极限不存在时,只能说明比值判别法对此级数失效,必须另寻<br />
他法.<br />
n!<br />
例7 证明 lim = 0.<br />
n→∞<br />
n<br />
n<br />
证 视 ! n<br />
n<br />
n 为正项级数<br />
∞ n!<br />
∑ n<br />
n<br />
的一般项,由<br />
n=<br />
1<br />
u ( n+ 1)! n n 1<br />
n ∞<br />
n+<br />
1<br />
n<br />
lim = lim ⋅ = ( ) 1,<br />
n n<br />
n+<br />
1 ∑ = <<br />
→∞ u →∞<br />
n ( n+ 1) n! n=<br />
1 n+ 1 e<br />
n!<br />
n!<br />
知 lim 收敛,由收敛级数的必要条件 lim = 0.<br />
n→∞<br />
n<br />
n<br />
n<br />
n→∞<br />
n<br />
n!<br />
例8 判别 lim 的敛散性.<br />
n<br />
10<br />
n→∞<br />
n! ( n+ 1)! un+<br />
1 n+<br />
1<br />
!<br />
解 因 un = , un+<br />
1 = ,lim = lim =∞,级数<br />
n+<br />
1<br />
10 10 n→∞ u n→∞10<br />
10 n<br />
∞ n<br />
∑ 发散,所以<br />
n!<br />
lim 发散. n<br />
10<br />
n→∞<br />
例9 讨论下列级数的敛散性<br />
∞ ∞<br />
n n<br />
n−1<br />
(1) ∑( −1) ( n −1); (2) ∑ ( −1)<br />
;<br />
n= 1 n=<br />
2 ln n+ a<br />
∞ ∞<br />
n+ 1 n+<br />
1<br />
(3) ∑( −1) ; (4) ∑ ( −1)<br />
.<br />
n= 1 n+ 1<br />
n=<br />
1 n<br />
n<br />
n=<br />
1<br />
n ln n<br />
1 1 1<br />
ln x ln x 1−ln 解 (1)设 f ( x) = x = x = e ( x≥ 1), f′ ( x) = e ( ) < 0( x> e).<br />
2<br />
x<br />
x x x x x<br />
1
n<br />
当 x > e 时, f ( x ) 单调下降,从而 u = n − 1, 当 n ≥ 3 时单调下降.又 lim un<br />
n<br />
n n<br />
lim( n − 1) = 0 故由莱布尼兹别法可知,级数 lim( −1) ( n − 1) 收敛.<br />
n→∞<br />
n<br />
(2)由于 ln n< ln( n+ 1),ln n+ a< ln( n+ 1) + a,<br />
故<br />
1 1<br />
un+ 1<br />
un,<br />
ln( n 1) a ln n a<br />
= < = 又 lim un<br />
+ + +<br />
n→∞<br />
∞<br />
n−1<br />
1<br />
数 ∑ ( −1)<br />
收敛.<br />
n= 1 ln n+ a<br />
1<br />
= = 0, 故由莱布尼兹判别法级<br />
ln n+ a<br />
n+<br />
1 n<br />
(3)由于 lim( −1)<br />
n→∞<br />
n + 1<br />
不存在,.故级数发散.<br />
ln x 1− ln x<br />
(4)设 f ( x) = , f′ ( x) = < 0( x> e).<br />
当 n > 2 时, u<br />
2<br />
n<br />
x x<br />
∞<br />
ln n ln x<br />
n+<br />
1 1<br />
lim = lim = 0. 故级数 ∑ ( −1)<br />
收敛.<br />
n→∞ n x→∞<br />
x<br />
n= 1 ln n+ a<br />
ln n<br />
= 单调减少,又<br />
n<br />
例10 判别下列级数的敛散性,如收敛,说明是条件收敛还是绝对收敛:<br />
∞<br />
n n + 1<br />
(1) ∑ ( −1)<br />
ln ;<br />
n=<br />
1 n<br />
∞ cos nπ<br />
(2) ∑ ;<br />
3<br />
n=<br />
1 n + n<br />
∞ 1<br />
(3) ∑sin( nπ<br />
+ );<br />
n= 1 ln n<br />
2<br />
∞<br />
n<br />
n+<br />
1 2<br />
(4) ∑ ( −1)<br />
.<br />
n=<br />
1 n!<br />
解 (1)<br />
n n + 1 1<br />
( − 1) ln = ln(1 + )<br />
n n<br />
∞ 1 1<br />
, 由于 ∑ n n<br />
发散,故<br />
∞<br />
n n + 1<br />
∑ ( −1)<br />
ln 发散.又<br />
n<br />
1 1<br />
1<br />
un = ln(1 + ) > ln(1 + ) = un+<br />
1,<br />
且 lim(1 + ) = 0. 由莱布尼兹判别法可知, 级数<br />
n n+<br />
1<br />
n→∞ n<br />
∞<br />
n n + 1<br />
∑ ( −1)<br />
ln 条件收敛.<br />
n<br />
n=<br />
1<br />
cos nπ<br />
1 1<br />
=<br />
,<br />
n + n n + n n<br />
(2)<br />
3 3<br />
3/2<br />
359<br />
n→∞<br />
由 3/2<br />
n=<br />
1 n<br />
n=<br />
1<br />
∞ 1<br />
∑ 收敛知级数<br />
n=<br />
1<br />
∞<br />
∑<br />
3<br />
n=<br />
1 n + n<br />
n→∞<br />
=<br />
cos nπ<br />
绝对收敛.<br />
1 n 1<br />
1 1<br />
1<br />
(3) sin( nπ<br />
+ ) = ( − 1) sin , 由于 sin < sin , 且 lim sin = 0,<br />
ln n ln n ln( n+ 1) ln n →∞ ln<br />
故级数收敛.<br />
∞<br />
1 1 1 1 1<br />
又 sin( nπ<br />
+ ) = sin > , 而 ∑ ln n ln n ln n n n<br />
发散,所以<br />
n=<br />
1<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
n n<br />
1<br />
sin 发散,故级数<br />
ln n
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
1<br />
sin( nπ<br />
+ ) 条件收敛.<br />
ln n<br />
2 2<br />
n ( n+ 1)<br />
n+ 12 un+<br />
1 2<br />
(4)设 un=−<br />
( 1) ,lim = lim<br />
n! n→∞ u n→∞ n ( n+ 1)!<br />
2<br />
∞<br />
n<br />
n+<br />
1 2<br />
从而 lim un<br />
≠ 0 故级数 ∑ ( −1)<br />
发散.<br />
n→∞<br />
n!<br />
2<br />
n<br />
(2n+ 1)<br />
2 2<br />
= lim =+∞.<br />
知 lim un<br />
n!<br />
n→∞<br />
n+<br />
1<br />
n→∞<br />
≠ 0,<br />
∞<br />
n=<br />
1<br />
例11 设级数 ∑ ( an − an−1)<br />
收敛,又 ∑ bn<br />
是收敛的正项级数,证明 ∑ ab n n 绝对收敛.<br />
∞<br />
n=<br />
1<br />
∞<br />
n=<br />
1<br />
证 设级数 ∑ ( an − an−1)<br />
的前 n 项部分和为 S n .由于该级数收敛,故 lim Sn<br />
存在,令<br />
lim SnS n→∞<br />
n=<br />
1<br />
=<br />
∞<br />
,而 Sn= ∑ ( ak− ak−1) = an−a0, 即<br />
k = 1<br />
0 , an Sn a<br />
数列必有界,故存在 M > 0, 使对任意 n , 有<br />
an≤ M ,从而 ab n n≤ Mbn.<br />
由题设<br />
例12 设{ a n}<br />
是实数序列,如果<br />
∞<br />
2<br />
件收敛,而 ∑ an<br />
发散的例子吗?<br />
解<br />
当 n N<br />
n=<br />
1<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
a<br />
≥ 时,有 2<br />
n n<br />
n<br />
360<br />
∞<br />
n=<br />
1<br />
n→∞<br />
= + 故 liman= lim Sn+ a0= S+ a0.<br />
因收敛<br />
n→∞ n→∞<br />
∞<br />
∑ bn<br />
n=<br />
1<br />
收敛,故<br />
∞<br />
∑ ab n n<br />
n=<br />
1<br />
绝对收敛.<br />
∞<br />
∑ an<br />
n=<br />
1<br />
绝对收敛,求证<br />
∞<br />
2<br />
∑ an<br />
n=<br />
1<br />
也必收敛,你能举出<br />
∞<br />
∑ an<br />
n=<br />
1<br />
条<br />
收敛,则 lim a = 0, 于是存在自然数 N ,使得当 n≥ N 时,有 a < 1, 从而<br />
n→∞<br />
n<br />
2<br />
a ≤ a , 由比较判别法知级数 ∑ an<br />
收敛.<br />
1<br />
级数 ( 1)<br />
1 1<br />
n<br />
∞ ∞<br />
∑an= ∑ − 条件收敛,而<br />
n= n=<br />
n<br />
例13 有两个正项级数 ∑ an<br />
与<br />
∞<br />
(1) 若 ∑ an<br />
收敛,则<br />
n=<br />
1<br />
∞<br />
n=<br />
1<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
b<br />
n<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
an bn<br />
证 将所证不等式恒等变形.由<br />
a b<br />
b<br />
n<br />
∞<br />
n=<br />
1<br />
∞<br />
2<br />
an<br />
=<br />
∞<br />
n= 1 n=<br />
1<br />
1<br />
n<br />
∑ ∑ 却是发散的.<br />
,若当 n N<br />
a b<br />
> 成立,试证<br />
n+ 1 n+<br />
1<br />
≥ 时,有<br />
an bn<br />
∞<br />
也收敛; (2) 若 ∑ bn<br />
发散,则 ∑ an<br />
也发散.<br />
n=<br />
1<br />
+ 1 + 1 ≥ 得到<br />
n n<br />
1 n+ n<br />
bn+ 1 bn<br />
∞<br />
n=<br />
1<br />
a a<br />
> , 于是有<br />
n
a<br />
b<br />
令 1<br />
1<br />
a a a a<br />
≥ ≥ ≥L ≥<br />
b b b b<br />
n+ 1 n n−1<br />
1<br />
n+ 1 n n−1<br />
1<br />
= c ,则 0, c > 从而有 an ≥ cbn,由比较判别法得到(1)与(2)的证明.<br />
例14 求下列幂级数的收敛域<br />
∞ ∞ n n<br />
ln(1 + n) n−1a b n<br />
(1) ∑ x ; (2) ∑ ( + ) x ( a > 0, b><br />
0)<br />
2<br />
n n n<br />
n= 1 n=<br />
1<br />
( −1) nx ( −2)<br />
(3) [ 3 ]; (4) ;<br />
∞<br />
∑<br />
n= 1<br />
n<br />
n<br />
x + n<br />
2<br />
n n<br />
x<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
n<br />
2<br />
n<br />
∞<br />
n<br />
∑<br />
(5) (ln x)<br />
.<br />
n=<br />
1<br />
ln(2 + n)<br />
2<br />
ln n + ln(1 + )<br />
an+ 1<br />
解 (1)因 lim lim 1 n<br />
= n+ = lim ⋅ n = 1, 所以 R = 1.<br />
n→∞ a n→∞ ln(1 + n)<br />
n→∞<br />
1 1<br />
n<br />
n+<br />
ln n + ln(1 + )<br />
n n<br />
∞ ln(1 + n)<br />
考察端点 x =± 1 时的敛散性.当 x = 1 时,级数 ∑ 发散.而当 x = − 1 时,<br />
n=<br />
1 n<br />
1 ln(1 )<br />
( 1) n<br />
∞<br />
− + n<br />
ln(1 + n)<br />
ln(1 )<br />
∑ − ⋅ 是交错级数,同时 lim = 0. 为说明<br />
n<br />
n→∞<br />
n<br />
n +<br />
单调递减,令<br />
n<br />
n=<br />
1<br />
ln(1 + x)<br />
f( x)<br />
,<br />
x<br />
x /(1 + x) − ln(1 + x)<br />
x<br />
f′ ( x)<br />
= ,而且,当 x ≥ 2 时, 1,<br />
x<br />
1 x < ,<br />
+<br />
= 由于 2<br />
ln(1 + x)<br />
> 1 这就说明 f′ ( x)<br />
< 0,即<br />
f ( x ) 单调递减,所以 ln(1 ) ln(2 ) + n + n<br />
> ,( n ≥2).<br />
n n+<br />
1<br />
1 ln(1 )<br />
从而 ( 1)<br />
1<br />
n<br />
∞<br />
− + n<br />
∑ − ⋅ 满足莱布尼兹判别法的两个条件,该级数收敛,故<br />
n=<br />
n<br />
∞ ln(1 + n) n−1<br />
∑ x 的收敛域为[ − 1,1] .<br />
n<br />
n=<br />
1<br />
a b a b<br />
( ) .<br />
∞ n n ∞ n ∞ n<br />
n n n<br />
(2)由于 + x = x + x<br />
2 2<br />
n= 1 n n n= 1 n n=<br />
1 n<br />
∑ ∑ ∑ 这样,就可以将其视为两个幂级数的<br />
361<br />
.
1 1 1 1<br />
和.容易得出其收敛域分别为 ( − , ) 与 ( − , ).<br />
a a b b<br />
下面分 a< b,<br />
a = b与<br />
a > b三种情况分别求出其收敛域:<br />
1 1 1<br />
○1 当 a< b时,此时收敛区间为<br />
( − , ). 由于 x = ± 时,两个级数均绝对收敛.所以,<br />
b b b<br />
1 1<br />
原级数的收敛域为 [ − , ] .<br />
b b<br />
∞ n<br />
∞ n<br />
1 1 1 1 a 1 n b 1<br />
○2 当 a = b时,此时的收敛区间为<br />
( , ) = ( − , ). 由于 ∑ ( ) 发散而 ∑ ( ) 2<br />
a a b b n a<br />
n b<br />
收敛.所以,原级数在点 x = 1 a = 1 b 发散;而<br />
362<br />
a<br />
1<br />
n=<br />
1<br />
∞ n<br />
∞ n<br />
n<br />
∑ ( − ) 与 ∑ 2<br />
n=<br />
1 n a n=<br />
1<br />
b 1<br />
( − )<br />
n b<br />
x =− 1 a=− 1 b为原级数的收敛点.即此时的收敛域为[<br />
− 1 a,1 a) = [ − 1 b,1 b).<br />
n<br />
n=<br />
1<br />
均收敛,因此<br />
○3 当 a > b时,此时的收敛区间为<br />
( − 1/ a,1/ a)<br />
,采用与上面相同的讨论方法,可知原级<br />
数的收敛域亦为[ − 1/ a,1/ a)<br />
且<br />
(3)所给级数可化为级数<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
n n<br />
( − 1) + 6 n<br />
[ ] x , 则<br />
n<br />
2<br />
a a<br />
n+ 1 n+ 1 n+ 1<br />
n+ 1 [( 1) 6 ]/ 2 ,<br />
n n n<br />
n [( 1) 6 ]/ 2 ,<br />
= − + = − +<br />
n+ 1 n+<br />
1<br />
an+<br />
1 1 ( − 1) + 6 6<br />
ρ = lim = lim = = 3,<br />
n→∞ n n<br />
a 2 n→∞(<br />
− 1) + 6 2<br />
n<br />
故 R = 13. 又当 xR = =± 13时,所得数项级数发散,故所给级数的收敛区间为<br />
( − 1 3,1 3).<br />
∞ n<br />
n+<br />
1<br />
nt an+ 1 n+ 12 n+<br />
1 1<br />
(4)令 x − 2 = t,<br />
得 ∑ , lim = lim = lim = .<br />
n<br />
n<br />
2 n→∞ a n→∞ n 2 n→∞<br />
2n 2<br />
故幂级数<br />
∞<br />
∑<br />
nt<br />
n<br />
n<br />
n=<br />
1 2<br />
n=<br />
1<br />
的收敛半径为 2.<br />
∞ n ∞ ∞<br />
nt<br />
当 t = 2 时,级数 ∑ = ∑n,lim n=∞, ∑ n<br />
2<br />
发散.<br />
n<br />
n→∞<br />
n= 1 n= 1 n=<br />
1<br />
∞ n ∞ nt<br />
n<br />
当 t =− 2 时,级数 ∑ = ∑ ( −1)<br />
n 是一交错级数.<br />
2<br />
n<br />
n= 1 n=<br />
1<br />
n n<br />
lim ( − 1) n = lim n=∞, ( −1)<br />
n发散.幂级数<br />
n→∞ n→∞<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
n<br />
∞<br />
∑<br />
nt<br />
n<br />
n<br />
n=<br />
1 2<br />
的收敛域为 ( − 2,2) .<br />
n
又 x= t+<br />
2, 当 t = 2 时, x = 4, 当 t = − 2 时, x = 0. 因此,幂级数<br />
域为 (0,4).<br />
(5) (ln ) n<br />
∞<br />
∑ x 不是幂级数,令 ln x = t.<br />
得幂级数<br />
n=<br />
1<br />
a<br />
1<br />
lim<br />
n→∞ n+<br />
1<br />
an<br />
∞<br />
n<br />
= lim = 1, 幂级数 ∑ t<br />
n→∞1<br />
n=<br />
1<br />
∞<br />
n<br />
∞<br />
n<br />
n= 1 n=<br />
1<br />
363<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
的收敛半径为 1.<br />
t<br />
n<br />
,因为 a n = 1,<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
∞ ∞<br />
n= 1 n=<br />
1<br />
nx ( − 2)<br />
n<br />
2<br />
n n<br />
当 t = 1时,幂级数<br />
∑t= ∑ 1, 发散,当 t = − 1时,幂级数<br />
∑t= ∑ ( −1)<br />
, 发散.<br />
故幂级数<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
t<br />
n<br />
的收敛域为 ( 1,1). −<br />
n=<br />
1<br />
n<br />
的收敛<br />
又 ln x= t,<br />
当 t = 1时<br />
x = e,<br />
当 t =− 1时,<br />
x = 1 e.<br />
因此,级数 (ln ) n<br />
∑ x 的收敛域为 (1 ee , ).<br />
例15 求级数<br />
解<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
( −1)<br />
n−1<br />
2n−1 x<br />
的收敛区间.<br />
2n−1 u ( x) x (2n−1) 2n−1 lim lim lim .<br />
2n+ 1<br />
n→∞ n+<br />
1<br />
un( x) =<br />
n→∞ −<br />
(2n+ 1)<br />
2n−1 x<br />
2 2 2<br />
= x = x = x<br />
n→∞<br />
2n+ 1<br />
当 2 x < 1 即 x < 1时,幂级数收敛;<br />
1 1 1<br />
当 x =− 1 时,得级数: − 1 + − + −L , 该级数收敛;<br />
3 5 7<br />
1 1 1<br />
当 x = 1 时,得级数: 1 + − + +L , 该级数收敛.故幂级数的收敛区间为[ − 1,1].<br />
3 5 7<br />
注意 对缺项的幂级数(即 x 或 x − x0<br />
只在奇(偶)数次方的系数非零,而偶(奇)次方的<br />
系数全为零的幂级数)可利用比值判别法即利用紧邻前后项之比的极限来求出幂级<br />
数<br />
∞<br />
n<br />
∑ ax n<br />
n=<br />
1<br />
或 ∞<br />
∑ anx−x0 n=<br />
1<br />
( ) 的收敛半径.<br />
例16 求下列幂级数的收敛区间,并求其和函数.<br />
(1)<br />
3 5 7 ∞ 2n−1 x x x x<br />
(1) x − + − + L ; (2) ∑ .<br />
3 5 7 2n−1 解 (1)由例 15 所给级数的收敛区间为[ −<br />
1,1].<br />
n=<br />
1<br />
∞
3 5 7<br />
x x x<br />
设 Sx ( ) = x− + − + L , x∈[<br />
−1,1].<br />
3 5 7<br />
在收敛区间[ − 1,1]. 内逐项求导,得<br />
1 1<br />
S′ x = − x + x − x + L = = x∈<br />
−<br />
1 −( − x ) 1+<br />
x<br />
2 4 5<br />
( ) 1 , [ 1,1].<br />
2 2<br />
注意到 S (0) = 0, 在上式两端积分.得<br />
x x 1<br />
Sx ( ) = Sx ( ) − S(0) = ∫ S′ ( xdx ) = dt arctan x.<br />
0 ∫ =<br />
0 2<br />
1+<br />
t<br />
由于在区间端点 x = ± 1 处幂级数收敛,故在[ − 1,1] 上所求的和函数为 arctan x .<br />
(2)幂级数<br />
当 2<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
2n−1 x<br />
缺少偶次项,直接用比值检验法,有<br />
1 2n−1 x < 1即<br />
x < 1时,<br />
2( n+ 1) −1 2n−1 x x 2n−1 2 2<br />
lim / = lim x = x ,<br />
n→∞ 2( n+ 1) − 1 2n+ 1 n→∞<br />
2n+ 1<br />
∞ 2n−1 x<br />
设 S( x)<br />
= ∑ , 两边对 x 求导数,得<br />
2n−1 n=<br />
1<br />
∞ 2n−1 x<br />
∑ 收敛.故在 x < 1内可逐项微分.<br />
n=<br />
1 2n−1 ∞ 2n−1 ∞ ∞<br />
x<br />
2n−2 2 n−1<br />
1<br />
S′ ( x) = ( ∑ ) ′ = ∑x = ∑ ( x ) = . 2<br />
2n−1 1−x<br />
n= 1 n= 1 n=<br />
1<br />
x x 1 1 1+<br />
x<br />
两边从 0 到 x 积分,得 S x = ∫ S′ x dx = dx<br />
0 ∫ =<br />
0 2<br />
故幂级数<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
2n−1 x 1 1+<br />
x<br />
( ) ( ) ln( ).<br />
1−x2 1−x<br />
= ln( ) ( − 1 < x < 1).<br />
2n−1 2 1−x<br />
注意 一般,当幂级数的一般项的系数是 n 的有理分式,例如果幂级数的一般项形如<br />
n<br />
x<br />
n 时,常用先逐项求导数后逐项求积分的方法求其和函数.<br />
例17 求下列幂级数的收敛区间,并求其和函数.<br />
364
nn ( + 1)<br />
∞ ∞<br />
2n−1 n−1<br />
(1) ∑2 nx ; (2) ∑ x (| x | < 1).<br />
n= 1 n=<br />
1 2<br />
解 (1) 所给级数为缺项级数<br />
因<br />
u ( x) 2( n+ 1) x<br />
∞ ∞<br />
2n−1 ∑un( x) = ∑ 2 nx .<br />
n= 1 n=<br />
1<br />
2( n+<br />
1) −1<br />
lim<br />
n→∞ n+<br />
1<br />
un( x) = lim<br />
n→∞<br />
2n−1 2nx<br />
2<br />
= x ,<br />
故当 − 1< x < 1时,级数收敛,其收敛半径为<br />
R = 1, 且<br />
∞<br />
2n−1 当 x=− 1时,得级数<br />
∑ 2 n(<br />
−1)<br />
, 发散;当 x = 1时,得级数<br />
∑ 2n<br />
发散,故原级数的收<br />
n=<br />
1<br />
敛区间为 ( − 1,1).<br />
3 5 7<br />
设 S( x) = 2x+ 4x + 6x + 8 x +L .<br />
2 4 6 8 2 2 4 6<br />
在上等式两端积分,得 ∫ S() t dt = x + x + x + x + L= x (1 + x + x + x + L )<br />
0<br />
x<br />
2<br />
x<br />
= ( − 1< x < 1).<br />
2<br />
(1 − x )<br />
2<br />
x 2x<br />
在上式两端对 x 求导,得 S( x) = [ ] ′ = ( − 1< x<<br />
1).<br />
2 2 2<br />
(1 −x ) (1 −x<br />
)<br />
2x<br />
故所求的和函数 为 S( x) = ( − 1< x<<br />
1).<br />
2 2<br />
(1 − x )<br />
an+ 1 ( n+ 1)( n+ 2) n( n+ 1) ( n+ 1)( n+<br />
2)<br />
(2) 因 lim = lim = lim = 1. R = 1.<br />
n→∞ a n→∞ 2 2 n→∞nn<br />
( + 1)<br />
n<br />
∞ nn ( + 1) n−1<br />
幂级数 ∑ x 在 x < 1收敛.故在<br />
x < 1内可以逐项积分.<br />
n=<br />
1 2<br />
∞ nn ( + 1) n−1<br />
设 Sx ( ) = ∑ x .<br />
2<br />
n=<br />
1<br />
∞ nn ( + 1)<br />
x<br />
∞<br />
nn ( + 1) n−1n+ 1 n<br />
S x S x dx x dx = ∑[ ∫<br />
x dx] = ∑ x .<br />
0 2 2<br />
x x<br />
∞<br />
n−1<br />
1(<br />
) = ∫ ( ) = [ ]<br />
0 ∫ ∑ 0<br />
n=<br />
1 2<br />
365<br />
∞<br />
n=<br />
1<br />
n= 1 n=<br />
1
两边再从 0 到 x 积分,得<br />
x x<br />
∞ ∞<br />
n+ 1 x<br />
n n+<br />
1 n<br />
∫ S<br />
0<br />
1(<br />
x) dx = ∫ [ ∑ x ] dx = ∑[<br />
x dx]<br />
0 0<br />
n= 1 2 ∫ n=<br />
1 2<br />
∞ ∞<br />
2<br />
1 n+ 1 1 2 n−1<br />
1 2 1 x<br />
= ∑ x = x ∑ x = x ⋅ = .<br />
n= 1 2 2 n=<br />
1 2 1−x2(1 −x)<br />
2 2<br />
x ⎛ x ⎞<br />
′<br />
2x−x<br />
两边对 x 求导,得 S1( x) = ∫ S( x) dx=<br />
⎜ ⎟ = .<br />
0<br />
2<br />
⎝2(1 −x) ⎠ 2(1 −x)<br />
2<br />
⎛ 2x−x ⎞<br />
′<br />
1<br />
两边再对 x 求导,得 S( x) = ⎜ ( 1 x 1),<br />
2 ⎟ = − < <<br />
3<br />
⎝2(1 −x) ⎠ (1 −x)<br />
∞ nn ( + 1) n−1<br />
1<br />
故 ∑ x = ( − 1< x<<br />
1).<br />
3<br />
2 (1 − x)<br />
n=<br />
1<br />
注意 当幂级数的一般项的系数是 n 的有理整式,例如幂级数的一般项形如<br />
(2n 1) x , nx −<br />
+<br />
2n n 1<br />
时,常用先逐项求积分,后逐项求导数的方法求其和函数.<br />
∞ n<br />
例 18 求幂级数<br />
∑<br />
n=<br />
x<br />
的和函数.<br />
1 nn ( + 1)<br />
∞<br />
n<br />
解 所给幂级数中的 ∑ x 与<br />
n−1<br />
∑ x 类似,而后者的展开式为<br />
在上式两端逐项积分.得<br />
n=<br />
1<br />
∞<br />
n=<br />
1<br />
x<br />
∞<br />
x<br />
∞<br />
n−1<br />
∑ ∑<br />
0 0<br />
n= 1 1−<br />
n=<br />
1<br />
366<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
n<br />
dx x<br />
( x ) dx = , =−1 n(1 −x),<br />
x n<br />
∫ ∫<br />
x<br />
n−1<br />
1<br />
= .<br />
1−<br />
x<br />
∞ n+<br />
1<br />
x<br />
再在上式两端逐项积分,得 ∑ = (1 −x) ln(1 − x) + x.<br />
n=<br />
1 nn ( + 1)<br />
∞<br />
n<br />
n−1<br />
x 1−<br />
x<br />
两端除以 xx≠ ( 0) ,得 ∑ x = = 1+ ln(1 −x), x∈[<br />
−1,0)<br />
U (0,1).<br />
n(1 + n) x<br />
由 S( x)<br />
=<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
n=<br />
1<br />
n<br />
x<br />
的连续性,得<br />
n(1 + n)<br />
(1 − x)<br />
S(0) = lim S( x) = 1+ lim ln(1 − x)<br />
= 0 (使用洛必达法则).<br />
x→0 x→0<br />
x<br />
⎧ 1−<br />
x<br />
⎪1+<br />
ln(1 −x), x∈[<br />
−1,0)<br />
U<br />
(0,1);<br />
于是所求的和函数为 Sx ( ) = ⎨ x<br />
⎪<br />
⎩0,<br />
x = 0.
例 19 利用幂级数的和函数求下列数项级数的和<br />
∞ n<br />
∞<br />
( −1)<br />
1<br />
(1) ∑ ; (2) ∑ .<br />
n + n− 2 n(2n+ 1)<br />
2<br />
n= 1 n=<br />
1<br />
∞ n ∞ n ∞ n<br />
( −1) 1 ( −1) ( −1)<br />
解 (1)由于 ∑ = [ ],<br />
2 ∑ −∑<br />
n + n+ 2 3 n− 1 n+<br />
2<br />
n= 1 n= 2 n=<br />
2<br />
∞ n ∞ n<br />
( −1) n− 1 ( −1)<br />
n+<br />
2<br />
考察两个幂级数: S1( x) = ∑ x ; S2(2) = ∑ x .<br />
n− 1 n+<br />
2<br />
n= 0 n=<br />
2<br />
在 x = 1 处,由莱布尼兹判别法可知它们都收敛.逐项求导得<br />
1<br />
S x x x<br />
∞<br />
n n−2<br />
′ 1(<br />
) = ∑ ( − 1) = ,( < 1),<br />
n=<br />
2 1+<br />
x<br />
x 1<br />
S1( x) = S1(0) + ∫ dt = ln(1 + x),( x < 1).<br />
0 1+<br />
t<br />
∞<br />
3<br />
n n+<br />
1 x<br />
S′ 2(<br />
x) = ∑ ( − 1) x = ⋅ ( x < 1)<br />
1+<br />
x<br />
n=<br />
2<br />
3<br />
x t 1 3 1 2<br />
2( ) = 2(0)<br />
+ ∫ = − − − ln(1 + ).<br />
0<br />
S x S dt<br />
1+ t<br />
x<br />
3<br />
x<br />
2<br />
x x<br />
由幂级数和函数的连续性得<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
2<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
故 2<br />
= 2<br />
n<br />
( −1)<br />
= S1(1) = lim S1( x) = lim ln(1 + x)<br />
= ln 2<br />
n −1<br />
x→1 x→1<br />
n<br />
( −1)<br />
1 1 5<br />
= S = S x = x − x + x− + x = −<br />
n + 2 3 2 6<br />
3 2<br />
2(1) lim 2(<br />
) lim[ ln(1 )] ln 2<br />
x→1 x→1<br />
∞<br />
n<br />
( −1)<br />
1 5 2 5<br />
∑ = (ln 2 − + ln 2) = ln 2 −<br />
n n + n−2<br />
3 6 3 18<br />
(2) 考察幂级数<br />
1<br />
Sx ( ) =<br />
x<br />
∞<br />
2n+ 1<br />
∑ ,收敛半径 1<br />
n=<br />
1 n(2n+ 1)<br />
2x<br />
S′′ x = x = x = − < x<<br />
∞ ∞<br />
2n−1 2n−1 ( ) ∑2 2 ∑<br />
,( 1 1)<br />
2<br />
n= 1 n=<br />
1 1−<br />
x<br />
367<br />
R = ,在 x = 1 处收敛.
故<br />
则<br />
x 2t<br />
2<br />
( ) = (0) + ∫ =−ln(1 − )<br />
0 2<br />
S′ x S′ dt x<br />
1−<br />
t<br />
x<br />
2<br />
( ) = (0) + ∫ [ −ln(1 − )]<br />
0<br />
S x S t dt<br />
= 2 x− (1 + x) ln(1 + x) + (1 −x)ln(1 −x)( − 1< x<<br />
1).<br />
lim(1 −x)ln(1 − x) = lim yln y = 0,<br />
由洛必达法则可知<br />
− +<br />
x→1 x→1<br />
∞<br />
∑<br />
1<br />
= S(1) = lim S( x)<br />
= 2 −2ln2.<br />
−<br />
1<br />
1 (2 1) x<br />
n n n →<br />
= +<br />
例 20 将下列函数展成幂级数<br />
x 1+<br />
x<br />
(1) f( x) = ; (2) f( x)<br />
= arctan .<br />
2<br />
x − 2x+ 3 1−x<br />
3 1<br />
解 (1)解法一 将 f ( x ) 分解为部分分式,得 f( x)<br />
= + ,<br />
4( x− 3) 4( x+<br />
1)<br />
1 1 1 1<br />
f( x)<br />
= + ,<br />
41 −( x /3) 41 −( −x)<br />
∞ ∞ ∞<br />
1 x n 1 n n 1 n 1 n<br />
f ( x) =− ∑( ) + ∑( − 1) x = ∑ [( −1) − ] x . n<br />
4 3 4 4 3<br />
n= 0 n= 0 n=<br />
0<br />
上两级数的收敛区间易求出分别为 ( −3,3),( − 1,1) ,取其交,得到 f ( x ) 展开幂级数的<br />
收敛区间为 ( − 1,1).<br />
解法二<br />
x x 1 1 x 1 1<br />
f( x)<br />
= = [ − ] = [ − ]<br />
( x − 3)( x+ 1) 4 x− 3 x+ 1 4 −3(1 − x/ 3) 1+<br />
x<br />
x 1 x<br />
1 1<br />
= [ − ∑( ) −∑( − x) ] = [ ∑− ( ) + ∑ ( −1)<br />
] x<br />
4 3 3 4 3<br />
∞ ∞ ∞ ∞<br />
n n n+ 1 n+ 1 n+<br />
1<br />
n= 0 n= 0 n= 0 n=<br />
0<br />
1 1<br />
= − −<br />
4 3<br />
∞<br />
n+ 1 n+ 1 n+<br />
1<br />
∑ [( 1) ( ) ] x ,<br />
n=<br />
0<br />
由 ( − 3,3) 与 ( − 1,1) 之交易求得收敛区间为 ( − 1,1) .<br />
1+<br />
x<br />
(2)将函数 f( x)<br />
= arctan 展为 x 的幂级数.<br />
1−<br />
x<br />
368
解<br />
1 1<br />
f′ x = = = − x = − x − < x<<br />
( )<br />
1<br />
2<br />
x 1 (<br />
2<br />
x )<br />
∞<br />
(<br />
n= 0<br />
2 n<br />
)<br />
∞<br />
n<br />
( 1)<br />
n=<br />
0<br />
2n<br />
( 1 1),<br />
x<br />
∫0 ′<br />
x<br />
∞<br />
∫ ∑ 0<br />
n= 0<br />
n 2n ∞<br />
∑<br />
n=<br />
0<br />
x<br />
n<br />
∫0<br />
2n<br />
∞ n<br />
( −1)<br />
= ∑<br />
n=<br />
0 n +<br />
+ − − ∑ ∑ 逐项积分得<br />
f ( x) − f (0) = f ( t) dt = ( − 1) x dx = ( −1)<br />
x dx<br />
π<br />
π x<br />
因 f (0) = arctan1 = , 故 f ( x) − f(0) = f( x) − =∫ f′ ( t) dt,<br />
4<br />
4 0<br />
∞ n<br />
1 + x π ( −1)<br />
2n+ 1<br />
所以 arctan = + ∑ x .<br />
1− x 4 2n+ 1<br />
n=<br />
0<br />
369<br />
x<br />
2 1<br />
右端级数在 x =± 1 处均收敛,但因函数 x = 1 处无定义,故其收敛区间为[ − 1,1] .<br />
π<br />
注意 积分时,不要漏掉 f (0) = 这一项.<br />
4<br />
.<br />
2n+ 1
自 测 题<br />
1.检验下列级数是否收敛?如果收敛,求出其和.<br />
5 25 125<br />
(1)100 + 60 + 36 L ;<br />
(2)1 − + − +L .<br />
3 9 27<br />
2.用比较法判别下列级数的敛散性.<br />
∞<br />
∞<br />
1<br />
π<br />
(1) ∑ ;<br />
(2) ∑ (1− cos ).<br />
n=<br />
1 ln(1 + n)<br />
n=<br />
1 n<br />
∞ 2<br />
( n!)<br />
3.判别级数 ∑ 的敛散性.<br />
n=<br />
1 (2 n)!<br />
∞ 1<br />
4.判别级数 ∑ 的敛散性.<br />
n<br />
n=<br />
1 3 + 1<br />
5.检验下列级数的敛散性.若收敛,请指出是绝对收敛还是条件收敛.<br />
∞ n ∞ n<br />
( −1) ( −1)<br />
lnn<br />
(1) ∑ ; (2) .<br />
2 ∑<br />
1+<br />
n n<br />
n= 0 n=<br />
1<br />
6.证明如果级数 ∑ an<br />
和<br />
∞<br />
∞<br />
7.若级数 ∑ an<br />
及<br />
n=<br />
1<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
∞<br />
n=<br />
1<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
b<br />
n<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
( A) ( a + b ) 必发散;<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
n n<br />
b<br />
( C) ( a + b ) 必发散;<br />
n n<br />
n<br />
收敛,且 an ≤ cn ≤ bn( n=<br />
1,2, L ) ,则级数 ∑ cn<br />
也收敛.<br />
都发散,则 .<br />
370<br />
∞<br />
B ∑ ab 必发散;<br />
( ) n n<br />
n=<br />
1<br />
∞<br />
2 2<br />
D ∑ an + bn<br />
n=<br />
1<br />
( ) ( ) 必发散.<br />
8.求下列幂级数的收敛域<br />
∞ n<br />
∞ n n<br />
( −1)<br />
n−1<br />
ax<br />
(1) ∑ ( x + 1) ;<br />
(2) n<br />
∑ ( a > 0).<br />
2<br />
n=<br />
1 n ⋅ 2<br />
n=<br />
1 n + 1<br />
∞ 4n+ 1<br />
x<br />
9.求级数 ∑ ( x < 1) 的和.<br />
n=<br />
1 4n+ 1<br />
∞ 2n−1 2n−2 2 1<br />
10.求级数 ∑ x ( x < 2) 的和,并计算 .<br />
n<br />
n=<br />
1 2<br />
1 2 n<br />
∞ n −<br />
∑<br />
n=<br />
11.利用幂级数的和函数求下列数项级数的和<br />
∞ 2<br />
n<br />
(1) ∑ ;<br />
n!<br />
n=<br />
1<br />
1<br />
(2) .<br />
2 n<br />
∞<br />
∑<br />
n<br />
n=<br />
1<br />
∞<br />
n=<br />
1
解1<br />
自测题参考答案<br />
60 36 6 6<br />
L L L 括<br />
100 100 10 10<br />
2<br />
(1)100 + 60 + 36 + = 100(1 + + + ) = 100[1 + + ( ) + ].<br />
号内是公比为 6 ( < 1) 的几何级数,收敛,故<br />
10<br />
1<br />
100 + 60 + 36 + L = 100× = 250.<br />
1−6/10 (2)这是一个公比为 −5/3( − 5/3 > 1) 的几何级数.发散.<br />
解2 (1)因 n ≥ 1时,<br />
ln( n+ 1) < n,故<br />
u<br />
(2)<br />
un<br />
π π<br />
n 2n<br />
∞<br />
= 1− cos<br />
2<br />
= 2sin , 则<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
n<br />
371<br />
∞<br />
1 1 1<br />
= > ,而 ∑ ln(1 + n) n n<br />
发散.故原级数发散.<br />
n=<br />
1<br />
∞ π<br />
2 π π π<br />
(1− cos ) 变为 ∑ 2sin , 因sin < ,<br />
n<br />
2n<br />
2n 2n<br />
2 ∞<br />
∞ 2<br />
2 π π 2 π 1<br />
π<br />
故 2sin < 2( ) = ,而 2 ∑ 为收敛的 p 级数 ( p = 2> 1) ,故级数<br />
2<br />
∑ 2<br />
2n 2n 2n<br />
n=<br />
1 n<br />
n=<br />
1 2n<br />
收敛.<br />
由比较判别法知,所给级数收敛.<br />
解3<br />
u<br />
n<br />
2<br />
( n!) n! n!<br />
( n+ 1)!( n+ 1)! ( n+ 1)!( n+<br />
1)!<br />
= = , un+<br />
1 = =<br />
,<br />
(2 n)! (2 n)!<br />
(2n+ 2)! (2n+ 2)(2n+ 1)(2 n)!<br />
un+ 1 ( n+ 1)( n+<br />
1) 1<br />
故 lim = lim = < 1, 所以所给级数收敛.<br />
n→∞ u n→∞<br />
(2n+ 2)(2n+ 1) 4<br />
n<br />
n+ 1<br />
n n<br />
un+<br />
1 1/(3 + 1) 3 + 1 1+ 1/3 1<br />
解4 因 lim = lim = lim = lim = < 1,<br />
n→∞ n<br />
n n 1<br />
n<br />
u →∞ 1/(3 1) n→∞ +<br />
+ 3 + 1 n→∞<br />
3+ 1/3 3<br />
由比值检验法知,级数<br />
n<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
1<br />
收敛.<br />
n<br />
3 + 1<br />
∞ n ∞ n<br />
( −1) ( −1)<br />
1 1<br />
解 5 (1)因 =+ 1 , a<br />
,<br />
2 2 n = < 2 2<br />
1+ n 1+ n 1+<br />
n n<br />
n= 0 n=<br />
1<br />
是收敛的,所以级数 2<br />
n=−01+<br />
n<br />
(2)因 a<br />
n<br />
n=<br />
1<br />
∑ ∑ 由于 p − 级数 ∑ 2<br />
∞<br />
∑<br />
( −1)<br />
ln n<br />
= , 当 n > 2 时,<br />
n<br />
n<br />
收敛且为绝对收敛.<br />
ln 1 n<br />
∞ 1<br />
> ,调和级数 ∑ n n<br />
n<br />
发散,故<br />
n=<br />
3<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
∞<br />
n=<br />
1<br />
1<br />
( p = 2> 1)<br />
n<br />
n<br />
( −1)<br />
lnn<br />
发散.<br />
n
∞ n<br />
( −1)<br />
lnn<br />
又 ∑ 是一交错级数, lim an<br />
n=<br />
1 n<br />
n→∞ ln n<br />
= lim = 0, 且 n > 2 时,<br />
n→∞<br />
n<br />
an<br />
ln n<br />
= ><br />
n<br />
n<br />
ln( n + 1)<br />
( −1)<br />
lnn<br />
= an+<br />
1 , 由莱布尼茨检验法知,级数 lim 收敛,故此级数条件收敛.<br />
n + 1<br />
n→∞<br />
n<br />
∞<br />
证6 因 an ≤cn ≤ bn( n=<br />
1,2, L ), 故 0 ≤ cn −an ≤bn − an,又因<br />
∑ an<br />
n=<br />
1<br />
与<br />
∞<br />
∑ bn<br />
n=<br />
1<br />
收敛,<br />
∞<br />
∞<br />
故 ( b − a ) 也收敛, 由比较判别法, 正项级数 ( c − a ) 也收敛. 又由<br />
∑<br />
n n<br />
n=<br />
1<br />
cn = an + ( cn − an)<br />
可知,级数 ∑ cn<br />
也收敛.<br />
解 7 ( A ) 不正确. 例如,<br />
为收敛级数.<br />
∞<br />
( B ) 不正确.例如,<br />
∞<br />
n=<br />
1<br />
∞ ∞ ∞ ∞<br />
n n<br />
n= 1 n= 1 n= 1 n=<br />
1<br />
372<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
1 1<br />
a = , b =− ,<br />
n n<br />
n n<br />
∑ ∑ ∑ ∑ 都发散,但 ∑<br />
1 1<br />
a = , b = ,<br />
n n<br />
∞ ∞ ∞ ∞<br />
n n<br />
n= 1 n= 1 n= 1 n=<br />
1<br />
∞<br />
n=<br />
1<br />
∞ ∞<br />
( a + b ) = 0<br />
n n<br />
∑ ∑ ∑ ∑ 都发散,但 ∑ ab n n=<br />
∑ 2 收敛.<br />
( C ) 不正确,例如, a ≤ ( a + b ) ,如果级数<br />
n n n<br />
而 ∑ an<br />
也收敛,这与题设矛盾,故<br />
n=<br />
1<br />
( D ) 不正确,例如,<br />
∞ 1<br />
= 2∑ 2<br />
n=<br />
1 n<br />
却收敛.<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
∞ ∞<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
( a + b ) 发散.<br />
n n<br />
∞ ∞ 1 1<br />
∑an= ∑ , bn<br />
= ,<br />
n= 1 n=<br />
1 n n= 1 n=<br />
1 n<br />
n= 1 n=<br />
1<br />
1<br />
n<br />
( an + bn<br />
) 收敛,则 ∑ an<br />
收敛,从<br />
∞<br />
n=<br />
1<br />
1 1<br />
( + ) = ( + ) 2 2<br />
n n<br />
∞ ∞<br />
∑ ∑ 发散,而<br />
2 2<br />
∑ an bn<br />
∑<br />
n= 1 n=<br />
1<br />
n<br />
an+ 1 n⋅2 n 1<br />
解 8 (1)由于 lim = lim = lim = , 所以其收敛半径为 2.<br />
n→∞ n<br />
n 1<br />
a →∞<br />
+<br />
( n+ 1) ⋅ 2 n→∞<br />
2( n+<br />
1) 2<br />
又由于本题是在 0<br />
x =− 3 时原级数为<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
n<br />
( −1)<br />
2 n<br />
n ⋅ 2<br />
n−1<br />
n=<br />
1<br />
条件,所以是收敛的,故级数<br />
n<br />
x =− 1处的幂级数,所以收敛区间的两个端点为<br />
x =− 3 与 x = 1. 当<br />
( −1)<br />
1 1<br />
n n<br />
∞ n<br />
∞<br />
n−1<br />
∑ ( − 2) =−<br />
n ∑<br />
n= 1 ⋅ 2 2 n=<br />
1<br />
是发散的; 而当 x = 1 时 , 原级数<br />
∞ n<br />
1 ( −1)<br />
= ∑ 是一个交错级数,而且容易看出它满足莱布尼兹判别法的两个<br />
2 n<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
n<br />
( −1)<br />
( x + 1)<br />
n<br />
n ⋅ 2<br />
n<br />
的收敛域为 ( −<br />
3,1].
n+ 1 n<br />
2<br />
an+ 1 a a a( n + 1)<br />
1<br />
(2)因 lim = lim = lim = a,<br />
故 R =<br />
n→∞ n<br />
2 2 2<br />
a →∞ ( n+ 1) + 1 n + 1 n→∞<br />
( n+<br />
1) + 1 a<br />
当 x<br />
1<br />
a<br />
n<br />
1 .<br />
1 1 ,<br />
∞<br />
= 时,原级数为 ∑ 由于 <<br />
2<br />
2 2<br />
n=<br />
1 n + 1 n + 1 n<br />
收敛,由比较检验法知,级数 2<br />
n=<br />
1 n<br />
当 4<br />
设<br />
当 x<br />
1<br />
a<br />
∞<br />
∑<br />
=− 时,原级数为 2<br />
n=<br />
1 n<br />
∞<br />
∑<br />
因此,幂级数 2<br />
n=<br />
1 n<br />
解9 幂级数<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
x < 1, 即 x < 1时,<br />
∞<br />
∑<br />
1<br />
收敛.<br />
+ 1<br />
373<br />
∞<br />
∑<br />
1<br />
而 2<br />
n=<br />
1 n<br />
n<br />
( −1)<br />
是一交错级数,绝对收敛.<br />
+ 1<br />
n n<br />
ax<br />
( a > 0) 的收敛半径为<br />
+ 1<br />
1<br />
1 1<br />
,收敛区间为 [ − , ].<br />
a a a<br />
4n+ 1<br />
x<br />
缺少偶次项,直接用比值检验法,有<br />
1 4n+ 1<br />
4( n+ 1) + 1 4n+ 1<br />
x x 4n+ 1 4<br />
lim = lim ⋅ x .<br />
n→∞ 4( n+ 1) + 1 4n+ 1 n→∞4n+<br />
5<br />
∞ 4n+ 1<br />
x<br />
∑ 收敛.故在 x < 1内可逐项微分.<br />
n 1 4n+ 1<br />
=<br />
∞ 4n+ 1<br />
x<br />
S( x)<br />
= ∑ .<br />
4n+ 1<br />
∞ 4n+ 1 ∞ ∞<br />
4<br />
⎛ x ⎞<br />
′<br />
4n 4 n x<br />
两边对 x 求导,得 S′ ( x) = ⎜∑ ⎟ = ∑x = ∑ ( x ) = . 4<br />
⎝ n= 1 4n+ 1⎠ n= 1 n=<br />
1 1−x<br />
n=<br />
1<br />
4<br />
x x x<br />
∫ ∫<br />
两边从 0 到 x 积分,得 S( x) = S′ ( x) dx = dx<br />
0 0 4<br />
1−<br />
x<br />
故级数<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
x 1 1<br />
= ∫ [ − 1 + + ] dx<br />
0<br />
2 2<br />
2(1 − x ) 2(1 + x )<br />
1 1−x 1<br />
=−x− ln + arctan x,<br />
4 1+ x 2<br />
4n+ 1<br />
x 1 1−x 1<br />
= −x− ln + arctan x ( − 1< x<<br />
1).<br />
4n+ 1 4 1+ x 2<br />
是 p − 级数 ( p = 2> 1)
∞ 2n−1 2n−2 an+ 1 2n+ 1 n 2n−1 n−1<br />
解10 设 Sx ( ) = ∑ x . lim = lim x x = x<br />
n<br />
n 1<br />
n<br />
2<br />
n→∞ a n→∞<br />
+<br />
2 2 2<br />
n=<br />
1<br />
n<br />
374<br />
2 2 2 2<br />
1 2<br />
故当 x < 1, 即当 x <<br />
2<br />
2 时,级数收敛.因此,级数在区间 ( − 2, 2) 内可逐项积分,得<br />
2<br />
x<br />
x x<br />
∞ ∞<br />
∞ 2<br />
⎛ 2n−1 2n−2⎞ 1 2n−1 1 x n 1<br />
Sxdx ( ) = x dx= x<br />
2 x<br />
∫0 ∫0<br />
⎜∑ n n<br />
n= 1 2<br />
⎟ ∑ = ∑ ( ) = ⋅ = .<br />
2 2<br />
⎝ ⎠ n=<br />
1 2<br />
n=<br />
1 x 2 x x 2−x<br />
1−<br />
2<br />
2<br />
x x + 2<br />
两边再对 x 求导数,得 S( x)<br />
= ( ) ′ = ,<br />
2 2 2<br />
2 −x (2 −x<br />
)<br />
∞<br />
2<br />
2n− 1 2n−2 x + 2<br />
故级数 ∑ x = n<br />
2 2<br />
2 (2 − x )<br />
( − 2 < x<<br />
2).<br />
n=<br />
1<br />
取 x = 1, 得<br />
故<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
2 1<br />
3.<br />
2 n<br />
n −<br />
=<br />
解 11 (1)利用 x<br />
e 的幂级数展开公式<br />
∞ 2 ∞ ∞ ∞<br />
n n−<br />
+<br />
( 1 1) 1 1<br />
= = + = e+ e= 2e<br />
n! ( n−1)! ( n−2)! ( n−1)!<br />
∑ ∑ ∑ ∑<br />
n= 1 n= 1 n= 1 n=<br />
1<br />
∞ 1 n<br />
∞ 1 n<br />
∞<br />
n−1<br />
1<br />
(2)考察幂级数 ∑ x . 记 Sx ( ) = ∑ x,<br />
逐项求导得 S′ ( x) = ∑ x =<br />
n<br />
n<br />
1−<br />
x<br />
n=<br />
1<br />
n=<br />
1<br />
x 1<br />
Sx ( ) = S(0) + ∫ dt=−ln(1 − x),(| x|<br />
< 1)<br />
0 1−<br />
t<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
1 1 1<br />
= S(<br />
) =− ln = ln 2.<br />
n<br />
n2<br />
2 2<br />
n=<br />
1