Scopriamo... gli insiemi
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unità<br />
<strong>Scopriamo</strong>...<br />
<strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong><br />
0
A. Montemurro DigiMAT © DeAgostini Scuola 2011<br />
0.6<br />
Unione di <strong>insiemi</strong><br />
L’operazione di unione di due <strong>insiemi</strong> A e B<br />
ci consente di costruire un nuovo insieme C<br />
formato da tutti <strong>gli</strong> elementi che appartengono<br />
a entrambi <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong>, oppure ad A o a B.<br />
Si scrive:<br />
C = A » B<br />
e si legge: “C uguale A unione B”.<br />
Il simbolo » indica l’operazione di unione.<br />
Nel costruire l’insieme unione di due <strong>insiemi</strong><br />
assegnati, si distinguono tre casi.<br />
Gli <strong>insiemi</strong> sono disgiunti<br />
Se due <strong>insiemi</strong> sono disgiunti (cioè non hanno elementi in comune), come per<br />
esempio:<br />
Apprendo... UNITÀ<strong>Scopriamo</strong>… <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong><br />
2<br />
C<br />
Venere<br />
A<br />
Terra<br />
B<br />
Marte<br />
Giove<br />
L’insieme de<strong>gli</strong> alunni della mia scuola<br />
è l’unione de<strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> de<strong>gli</strong> alunni<br />
di ciascuna classe!<br />
A = {Venere, Terra}<br />
B = {Marte, Giove}<br />
l’unione consiste nel determinare un terzo insieme<br />
che contenga sia <strong>gli</strong> elementi di A, sia<br />
quelli di B.<br />
C = A » B ={Venere, Terra, Marte, Giove}<br />
Gli <strong>insiemi</strong> hanno alcuni elementi in comune<br />
Se <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B hanno alcuni elementi in<br />
C A<br />
bianco verde<br />
B<br />
giallo<br />
comune, come per esempio:<br />
A ={bianco, verde, arancione, azzurro}<br />
B ={verde, azzurro, rosso, giallo}<br />
arancione azzurro rosso<br />
la loro unione è data dall’insieme C in cui com -<br />
paiono tutti <strong>gli</strong> elementi di A e tutti <strong>gli</strong> elementi<br />
di B.<br />
Attenzione! Gli elementi comuni ad A e B si considerano una sola volta. Perciò:<br />
C = A » B ={bianco, arancione, verde, azzurro, rosso, giallo}<br />
A<br />
re<br />
do<br />
sol<br />
Gli <strong>insiemi</strong> sono uno sottoinsieme dell’altro<br />
Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B, con B sottoinsieme di A:<br />
fa<br />
B<br />
si<br />
mi<br />
A ={do, re, mi, fa, sol, la, si}<br />
B ={fa, la, si}<br />
la<br />
l’insieme che costituisce la loro unione è dato<br />
dall’insieme A; perciò scriveremo: A » B = A.<br />
Si dice unione di due <strong>insiemi</strong> A e B l’insieme formato da tutti i loro elementi,<br />
presi una sola volta se sono comuni.
1 Completa.<br />
a. Poiché <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A ={oro, argento, acciaio} e B ={ferro, piombo} sono disgiunti, la loro unione è<br />
data da: oro, ............................................................ . Si scrive A » B ={.............................................................}.<br />
b. Poiché <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A ={n, a, v, e} e B ={a, v, e, r, i} hanno in comune <strong>gli</strong> elementi ............................... ,<br />
la loro unione è data da: ...........................................................................................................................................<br />
c. Gli <strong>insiemi</strong> A ={r, i, t, i, r, o} e B ={t, i, r, o} sono tali che B è ......................................................................<br />
di .................. , pertanto la loro unione è data dall’insieme ...............................................................................<br />
2 Quale delle seguenti scritture si usa per indicare che C è l’insieme unione di A e B?<br />
A C = A « B B C = A à B C C = A + B D C = A » B E C = A Œ B<br />
3 Considera <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> e rappresenta graficamente A » B. Come sono tra loro <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B?<br />
Quale delle tre rappresentazioni della pagina a fianco devi usare? Perché?<br />
A ={Sara, Maria, Elena, Federica}<br />
B ={Carola, Gianni, Marco, Martina}<br />
4 Determina l’insieme C unione dei seguenti <strong>insiemi</strong> A e B e rappresentalo graficamente. Quale<br />
delle tre rappresentazioni della pagina a fianco devi usare? Perché?<br />
A ={Carla, Marta, Michele}<br />
B ={Elena, Samuele, Carla}<br />
5 Determina l’unione dei seguenti <strong>insiemi</strong> e rappresentala per elencazione.<br />
A ={x | x è una consonante della parola “fenicottero”}<br />
B ={x | x è una consonante della parola “elicottero”}<br />
ESERCIZIO GUIDATO<br />
A = {f, n, c, t, r}<br />
B = {l, c, ........................... }<br />
Individua <strong>gli</strong> elementi comuni e considerali una sola volta!<br />
Quindi C = A » B = { ........................... }<br />
6 Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong><br />
A ={Marco, Sergio, Bice, Andrea, Ada}<br />
B ={Filippo, Sergio, Daniela, Andrea, Tommaso}<br />
segna l’insieme unione esatto.<br />
A » B ={Marco, Bice, Ada}<br />
A » B ={Marco, Sergio, Bice, Andrea, Ada, Filippo, Daniela, Tommaso}<br />
A » B ={Filippo, Daniela, Tommaso}<br />
7 Rappresenta con diagrammi di Eulero-Venn l’unione dei seguenti <strong>insiemi</strong>.<br />
A ={rosso, verde, bianco, rosa, giallo}<br />
B ={verde, rosso, giallo}<br />
... verifico<br />
ESERCIZI p. 12<br />
3<br />
A. Montemurro DigiMAT © DeAgostini Scuola 2011
A. Montemurro DigiMAT © DeAgostini Scuola 2011<br />
Differenza di <strong>insiemi</strong><br />
Insieme<br />
complementare<br />
L’operazione di differenza tra due <strong>insiemi</strong> A<br />
e B consente di costruire un nuovo insieme<br />
C formato da<strong>gli</strong> elementi che appartengono<br />
ad Amanon a B.<br />
Consideriamo i seguenti <strong>insiemi</strong>:<br />
A ={cane, gatto, coni<strong>gli</strong>o, criceto}<br />
B ={criceto, tartaruga, coni<strong>gli</strong>o}<br />
L’insieme C ={cane, gatto}, i cui elementi<br />
sono quelli di A che non appartengono a B,<br />
si chiama differenza tra <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B.<br />
Si scrive:<br />
C = A - B oppure C = A \ B<br />
e si legge: “C uguale A meno B”.<br />
Apprendo... UNITÀ<strong>Scopriamo</strong>… <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong><br />
4<br />
B<br />
0.7<br />
A<br />
B –<br />
Qual è la differenza tra A e B?<br />
La differenza tra A e B è<br />
C = {cane, gatto}.<br />
Si chiama differenza tra due <strong>insiemi</strong> A e B l’insieme C costituito da<strong>gli</strong> elementi<br />
di A che non appartengono a B.<br />
Consideriamo ora l’insieme A de<strong>gli</strong> atleti di un club sportivo e il sottoinsieme B<br />
de<strong>gli</strong> atleti di quel club che praticano tennis.<br />
In questo caso la differenza A - B è data dall’insieme de<strong>gli</strong> atleti di quel club che<br />
non praticano tennis. Quest’ultimo insieme, che si ottiene to<strong>gli</strong>endo da A tutti <strong>gli</strong><br />
elementi di B, prende il nome di insieme complementare di B rispetto ad A e<br />
generalmente si indica con B – , cioè con una lineetta sulla lettera che lo rappresenta.<br />
Due <strong>insiemi</strong> B e B – si dicono complementari rispetto ad A, se B » B – = A.<br />
Consideriamo ora l’insieme delle lettere dell’alfabeto italiano e l’insieme A delle<br />
lettere della parola “tavolo”. Se indichiamo con la lettera U l’insieme di tutte le<br />
lettere dell’alfabeto, cioè l’insieme universo che contiene A come sottoinsieme,<br />
la rappresentazione grafica dei due <strong>insiemi</strong> è la seguente:<br />
U<br />
i u d g n p<br />
b f A<br />
t a v<br />
m z<br />
e o l c<br />
h s r q<br />
L’insieme universo si<br />
rappresenta graficamente<br />
con un rettangolo.<br />
Le lettere dell’alfabeto italiano che non compaiono nell’insieme A costituiscono<br />
<strong>gli</strong> elementi dell’insieme A – , che è il complementare di A rispetto a U.<br />
C<br />
B<br />
A
1 Completa.<br />
a. L’insieme differenza tra <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A ={cielo, Sole, stelle, pianeti} e B ={Luna, Sole, mare, stelle}<br />
è dato dall’insieme C ={...................................}.<br />
b. Si dice differenza tra due <strong>insiemi</strong> A e B l’insieme C formato da<strong>gli</strong> ............................................ di A che<br />
non ....................................................................................... a B.<br />
c. L’insieme complementare delle vocali dell’alfabeto italiano rispetto all’insieme delle lettere<br />
dell’alfabeto è costituito da b, c, .................................................... cioè dall’insieme delle .............................<br />
d. Due <strong>insiemi</strong> si dicono complementari rispetto a un dato insieme se ............................................................<br />
e. L’insieme universo si indica con la lettera .........................<br />
f. Un esempio di insieme universo è quello formato da ..............................................................<br />
2 Quali delle seguenti scritture si riferiscono alla differenza di due <strong>insiemi</strong> A e B?<br />
A A * B B A - B C A + B D A / B E A \ B<br />
3 Considera <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A ={mela, pera, banana, dattero, pesca} e B ={prugna, pesca, mela,<br />
pistacchio, dattero}. Scrivi <strong>gli</strong> elementi dell’insieme differenza A - B e rappresentali<br />
graficamente.<br />
4 Determina <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A - B e B - A, sapendo che A ={4, 5, 6, 7} e B ={4, 7, 8, 9, 10}.<br />
5 Se un insieme B è un sottoinsieme di A, quale delle seguenti scritture si usa per indicare<br />
il complementare di B rispetto ad A?<br />
B – B B –<br />
6 Qual è l’insieme complementare dell’insieme delle ragazze della tua classe rispetto a quello<br />
che costituisce l’intera classe?<br />
7 Scrivi l’insieme universo cui può appartenere ciascuno de<strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> indicati.<br />
insieme universo<br />
zia, nonno, cugino ..........................................................<br />
Venere, Marte, Terra ..........................................................<br />
Adda, Po, Tamigi ..........................................................<br />
Atene, Londra, Roma, Parigi ..........................................................<br />
mela, arancia, ciliegia ..........................................................<br />
... verifico<br />
8 Considera i seguenti <strong>insiemi</strong> e scrivi il complementare di ciascuno di essi rispetto all’insieme<br />
universo, indicato a fianco.<br />
A ={x | x è un animale erbivoro} U ={x | x è un essere vivente}<br />
B ={x | x è una consonante} U ={x | x è una lettera dell’alfabeto}<br />
C ={primavera} U ={x | x è una stagione}<br />
D ={mi, sol, re, fa} U ={x | x è una nota musicale}<br />
ESERCIZI p. 14<br />
5<br />
A. Montemurro DigiMAT © DeAgostini Scuola 2011
A. Montemurro DigiMAT © DeAgostini Scuola 2011<br />
0.8<br />
Prodotto<br />
cartesiano<br />
Supponiamo che in una giornata del campionato<br />
di calcio si disputi l’incontro Ca<strong>gli</strong>ari-Palermo.<br />
Ciò significa che la partita si gioca nella città della<br />
prima squadra, ossia a Ca<strong>gli</strong>ari.<br />
La coppia Ca<strong>gli</strong>ari-Palermo si dice ordinata perché<br />
in essa è fissato l’ordine dei suoi elementi.<br />
Consideriamo ora due <strong>insiemi</strong>:<br />
A ={a, b, c} e B ={1, 2}<br />
e associamo a ogni elemento di A un elemento<br />
di B in modo da formare tutte le possibili coppie<br />
ordinate di elementi:<br />
(a, 1) (a, 2) (b, 1) (b, 2) (c, 1) (c, 2)<br />
Apprendo... UNITÀ<strong>Scopriamo</strong>… <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong><br />
Attenzione!<br />
Il primo elemento<br />
di ogni coppia<br />
è sempre un<br />
elemento di A.<br />
6<br />
Puoi notare<br />
che il numero<br />
de<strong>gli</strong> elementi<br />
del prodotto<br />
cartesiano<br />
è uguale<br />
a quello<br />
delle coppie<br />
ordinate che,<br />
nell’esempio,<br />
è 6.<br />
L’insieme delle coppie ordinate di elementi che abbiamo formato, e che indicheremo<br />
con la lettera C, prende il nome di prodotto cartesiano de<strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B.<br />
Si scrive:<br />
C = A ¥ B<br />
e si legge: “C uguale A cartesiano B”.<br />
Si chiama prodotto cartesiano di due <strong>insiemi</strong> A e B l’insieme C formato da<br />
tutte le coppie ordinate che si ottengono prendendo come primo elemento<br />
un elemento di A e come secondo elemento un elemento di B.<br />
Rappresentiamo il prodotto cartesiano dell’esempio precedente in tre modi.<br />
Con i diagrammi di Eulero-Venn, collegando con frecce (rappresentazione<br />
sagittale) <strong>gli</strong> elementi di ciascuna coppia a partire da quelli del primo insieme.<br />
A<br />
a<br />
Con una tabella a doppia entrata,<br />
scrivendo nelle caselle corrispondenti<br />
le coppie ordinate, nelle quali<br />
il primo elemento appartiene ad A, il<br />
secondo a B.<br />
Con un reticolo, scrivendo sulla semiretta<br />
orizzontale <strong>gli</strong> elementi di A,<br />
su quella verticale <strong>gli</strong> elementi di B e<br />
riportando le coppie ordinate come<br />
indicato a fianco.<br />
c<br />
b<br />
B<br />
2<br />
1<br />
Secondo me<br />
a Palermo!<br />
La coppia Ca<strong>gli</strong>ari-Palermo<br />
è ordinata e la partita si gioca nella<br />
prima città: Ca<strong>gli</strong>ari.<br />
Martina quindi sba<strong>gli</strong>a!<br />
1<br />
2<br />
Dove si gioca<br />
Ca<strong>gli</strong>ari-Palermo?<br />
B<br />
B<br />
A 1 2<br />
a ( a, 1) ( a, 2)<br />
b ( b, 1) ( b, 2)<br />
c ( c, 1) ( c, 2)<br />
(a, 2) (b, 2) (c, 2)<br />
(a, 1) (b, 1) (c, 1)<br />
a b c<br />
A
1 Supponi che <strong>gli</strong> elementi della coppia ordinata (10, 6) appartengano a<strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B; a quale<br />
dei due <strong>insiemi</strong> appartiene il numero 10?<br />
2 Come si legge la seguente scrittura?<br />
C = A ¥ B<br />
3 Vero o falso?<br />
a. Il prodotto cartesiano di A ={8, 9} per B ={m, n} è dato da:<br />
C ={( 8, m); ( 8, n); ( 9, m); ( 9, n)}<br />
b. Se A ={1, 2, 3} e B ={a, b, c}, le coppie ordinate del prodotto cartesiano<br />
C = A ¥ B sono 6.<br />
4 Osserva i seguenti diagrammi di Eulero-Venn e scrivi il prodotto cartesiano A ¥ B.<br />
5 Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B, scrivi tutte le possibili coppie di C = A ¥ B.<br />
A ={amo, stimo}<br />
B ={me, te, lei, lui, loro}<br />
6 Scrivi il prodotto cartesiano dei seguenti <strong>insiemi</strong> e rappresentalo graficamente collegando<br />
opportunamente i loro elementi.<br />
A<br />
A<br />
a<br />
sta B<br />
me<br />
so<br />
la<br />
z<br />
k<br />
w<br />
7 Nella tabella a doppia entrata scrivi il prodotto cartesiano A ¥ B.<br />
1<br />
4<br />
8<br />
... verifico<br />
8 Scrivi le coppie del prodotto cartesiano A ¥ B, servendoti delle ma<strong>gli</strong>e del reticolo.<br />
12<br />
B<br />
A a b c<br />
6 ............................. ............................. .............................<br />
7 ............................. ............................. .............................<br />
5 ............................. ............................. .............................<br />
8 ............................. ............................. .............................<br />
B<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0 1 2 3 A<br />
B<br />
ESERCIZI p. 16<br />
V F<br />
V F<br />
7<br />
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A. Montemurro DigiMAT © DeAgostini Scuola 2011<br />
Corrispondenze tra <strong>insiemi</strong><br />
Consideriamo i seguenti <strong>insiemi</strong>:<br />
A ={Roma, Firenze, Torino, Piacenza}<br />
B ={Tevere, Arno, Po}<br />
Se associamo a ogni città la proprietà “il fiume che l’attraversa è …”, stabiliamo<br />
tra A e B una corrispondenza.<br />
Tra due <strong>insiemi</strong> A e B si stabilisce una corrispondenza se è fissata una proprietà<br />
che associa elementi di A a elementi di B.<br />
Nel nostro esempio, osserviamo che a ogni città dell’insieme A corrisponde uno<br />
e un solo fiume dell’insieme B, ma non viceversa perché Torino e Piacenza sono<br />
entrambe attraversate dal Po. Questo tipo di corrispondenza tra <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B<br />
si chiama corrispondenza univoca.<br />
Apprendo... UNITÀ<strong>Scopriamo</strong>… <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong><br />
8<br />
0.9<br />
Una corrispondenza tra due <strong>insiemi</strong> si dice univoca, se associa a ogni elemento<br />
del primo insieme un solo elemento del secondo insieme, ma non viceversa.<br />
Se rappresentiamo graficamente in forma sagittale la precedente relazione, notiamo<br />
che da ogni elemento di A parte una sola freccia e a ogni elemento di B arrivano<br />
una o più frecce.<br />
A B<br />
Roma<br />
Firenze<br />
Torino<br />
Piacenza<br />
Supponiamo ora che A sia un insieme di tre ragazzi e B l’insieme dei loro rispettivi<br />
zaini. La corrispondenza che associa a ogni ragazzo il suo zaino e viceversa<br />
si chiama corrispondenza biunivoca.<br />
Una corrispondenza tra due <strong>insiemi</strong> si dice biunivoca se associa a ogni elemento<br />
del primo insieme un solo elemento del secondo insieme e, viceversa, ogni elemento<br />
del secondo insieme è corrispondente di un solo elemento del primo.<br />
A B<br />
La rappresentazione grafica evidenzia<br />
che ogni elemento di A è<br />
collegato a un solo elemento di B<br />
e viceversa (ogni ragazzo ha un<br />
solo zaino e ogni zaino appartiene<br />
a un solo ragazzo).<br />
Due <strong>insiemi</strong> in corrispondenza<br />
biunivoca sono necessariamente<br />
equipotenti.<br />
Tevere<br />
Arno<br />
Po<br />
ragazzi zaini
1 Spiega che cosa s’intende per corrispondenza tra due <strong>insiemi</strong>. Fai un esempio.<br />
2 Completa.<br />
... verifico<br />
a. Tra due <strong>insiemi</strong> si stabilisce una corrispondenza univoca se a ogni ............................. del ..........................<br />
insieme corrisponde un ............................... del secondo insieme, ma non ...................................<br />
b. Tra due <strong>insiemi</strong> si stabilisce una corrispondenza biunivoca se a ogni elemento del ..................................<br />
insieme corrisponde un ........................................ del ....................................... insieme e, viceversa, ..............<br />
...........................................................................................................................................................................................<br />
c. Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A ={Sole, Luna, Marte, Giove} e B ={stelle, satelliti, pianeti}, tra essi si può stabilire<br />
una corrispondenza .......................................................................... perché ...........................................<br />
...........................................................................................................................................................................................<br />
d. Tra l’insieme A ={io, tu, e<strong>gli</strong>} e l’insieme B ={amo, ami, ama} si stabilisce una corrispondenza<br />
............................................................ perché ...............................................................................................................<br />
3 Indica tra quali dei seguenti <strong>insiemi</strong> si stabilisce una corrispondenza univoca e tra quali<br />
una corrispondenza biunivoca, motivando la risposta.<br />
A B C D<br />
Angela<br />
Marcella<br />
Francesco<br />
Andrea<br />
tennis<br />
calcio<br />
Stefano<br />
Filippo<br />
Giulio<br />
Monica<br />
Veronica<br />
Alessia<br />
E<br />
Roma<br />
Tunisi<br />
Italia<br />
Cile<br />
F G<br />
pollice<br />
indice<br />
a<br />
e<br />
H<br />
Santiago<br />
Stoccolma<br />
Tunisia<br />
Svezia<br />
medio<br />
anulare<br />
mignolo<br />
i<br />
o<br />
u<br />
4 Disegna delle frecce che associno tra loro <strong>gli</strong> elementi de<strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B, in modo tale che<br />
questi siano in corrispondenza univoca.<br />
A<br />
c<br />
d<br />
e<br />
1<br />
B<br />
a b<br />
2<br />
5 Con le frecce stabilisci una corrispondenza biunivoca tra <strong>gli</strong> elementi dei due <strong>insiemi</strong> A e B.<br />
A B<br />
e<br />
a<br />
1 3<br />
o<br />
5 2<br />
u<br />
i<br />
4<br />
6 Che tipo di corrispondenza esiste in una guida telefonica tra i numeri di telefono e i nominativi<br />
de<strong>gli</strong> utenti del telefono?<br />
7 Rappresenta graficamente la corrispondenza che esiste tra l’insieme delle targhe<br />
automobilistiche e le automobili circolanti in Italia. Di quale tipo di corrispondenza si tratta?<br />
ESERCIZI p. 20<br />
9<br />
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A. Montemurro DigiMAT © DeAgostini Scuola 2011<br />
0.10<br />
Relazione tra due <strong>insiemi</strong><br />
Consideriamo <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B formati rispettivamente da alcune città e da alcuni<br />
continenti e associamo, con delle frecce, uno o più elementi di A all’elemento<br />
corrispondente di B, in modo tale da soddisfare la proprietà “è una città di”.<br />
La proprietà “è una città di”, che abbiamo fissato per descrivere una corrispondenza,<br />
si chiama relazione fra <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B e si indica con il simbolo . Ci<br />
accorgiamo subito che le coppie ordinate di elementi che soddisfano tale proprietà<br />
costituiscono un sottoinsieme del prodotto cartesiano A ¥ B.<br />
Apprendo... UNITÀ<strong>Scopriamo</strong>… <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong><br />
10<br />
Le coppie ordinate di elementi che<br />
rendono vera la relazione “è una<br />
città di” sono: ( Parigi, Europa);<br />
( Londra, Europa); ( Tunisi, Africa);<br />
( New York, America).<br />
Si dice relazione tra due <strong>insiemi</strong> A e B la proprietà che associa a un elemento<br />
di A un elemento di B ed è rappresentata da un sottoinsieme del prodotto<br />
cartesiano A ¥ B.<br />
In generale, considerata una coppia ordinata di elementi a e b, rispettivamente<br />
dell’insieme A e B, che verificano la relazione data, si scrive:<br />
a b<br />
e si legge: “a è in relazione con b”.<br />
Se a e bnonsoddisfano la relazione , si scrive: a b.<br />
Rappresentiamo la relazione di A verso B con una tabella a doppia entrata e<br />
un diagramma cartesiano.<br />
Europa Asia Africa America<br />
Parigi<br />
Londra<br />
Tunisi<br />
New York<br />
Consideriamo ora la relazione illustrata a fianco:<br />
: “è la metà di”<br />
Osserviamo che è possibile trovare una relazione<br />
inversa che va da<strong>gli</strong> elementi di B a<br />
quelli di A: essa sarà “è il doppio di”.<br />
A B<br />
Parigi<br />
Europa<br />
Londra<br />
Tunisi<br />
Asia<br />
Africa<br />
New York America<br />
America<br />
Africa<br />
Asia<br />
Europa<br />
s<br />
Parigi<br />
Londra<br />
Tunisi<br />
New<br />
York<br />
s<br />
A B<br />
1<br />
2<br />
2<br />
4<br />
3<br />
8<br />
4<br />
6<br />
5<br />
10
1 Che cosa s’intende per relazione tra due <strong>insiemi</strong>? Fai alcuni esempi.<br />
2 Leggi le seguenti scritture: a b, a b. Qual è il loro significato?<br />
3 Qual è la frase che definisce la relazione da A verso B? Dopo averla illustrata, scrivi le coppie<br />
di elementi corrispondenti e rappresenta la relazione con una tabella a doppia entrata.<br />
A B<br />
Madrid<br />
Spagna<br />
Barcellona<br />
Napoli<br />
Italia<br />
Bologna<br />
Parigi<br />
Francia<br />
Milano<br />
4 Dati i seguenti <strong>insiemi</strong>, stabilisci la relazione che li lega e rappresentala graficamente.<br />
A ={Europa, America, Asia, Africa}<br />
B ={Spagna, Cina, Brasile, Congo, Italia, Libia}<br />
5 Osserva il disegno e rispondi alle domande.<br />
A B<br />
3<br />
triangolo<br />
4<br />
quadrilatero<br />
5<br />
pentagono<br />
6<br />
esagono<br />
a. Quale tipo di corrispondenza esiste tra A e B?<br />
b. Qual è la frase che definisce la relazione da A verso B?<br />
c. Quali sono le coppie di elementi corrispondenti?<br />
d. Qual è la frase che definisce la relazione inversa, cioè da B verso A?<br />
... verifico<br />
6 Dati i due <strong>insiemi</strong> A e B, rappresentati qui di seguito, scrivi la frase che definisce la relazione <br />
da A verso B e quella da B verso A. Rappresentala nei due modi possibili.<br />
A B<br />
tennista<br />
pittore<br />
fabbro<br />
falegname<br />
racchetta<br />
pennello<br />
martello<br />
seghetto<br />
7 Stabilisci qual è la frase che definisce la relazione da A verso B. Rappresentala con una<br />
tabella a doppia entrata e con un diagramma cartesiano. Quale delle tre rappresentazioni<br />
ti sembra più efficace per la visualizzazione della relazione data?<br />
A B<br />
Torino<br />
Piemonte<br />
Asti<br />
Milano<br />
Lombardia<br />
Catania<br />
Palermo<br />
Sicilia<br />
ESERCIZI p. 21<br />
11<br />
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esercizi<br />
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UNITÀ<br />
12<br />
0<br />
Esercizi<br />
<strong>Scopriamo</strong>… <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong><br />
Unione di <strong>insiemi</strong> [U0.6 p. 2]<br />
RICORDA L’unione di due o più <strong>insiemi</strong> è l’insieme formato da tutti i loro elementi, presi una sola<br />
volta se sono comuni.<br />
1 Delimita con una linea l’unione delle seguenti coppie di <strong>insiemi</strong>.<br />
A<br />
io<br />
tu<br />
noi<br />
B C<br />
D<br />
E<br />
e<strong>gli</strong><br />
loro<br />
voi<br />
ta<br />
no<br />
ca<br />
pi<br />
to<br />
lo<br />
8<br />
7 3 1<br />
F<br />
4 5<br />
2 6<br />
9<br />
2 L’unione di A ={2, 4, 6, 8, 10} e B ={5, 15, 20} è data da:<br />
A C ={6, 8, 5, 15} B C ={2, 4, 6, 8, 10, 5, 15, 20} C C ={2, 4, 6, 8, 10, 5, 15}<br />
3 Rappresenta in forma tabulare C = A » B, sapendo che:<br />
A ={6, 8, 10, 12, 14} B ={2, 4}<br />
4 Considera i seguenti <strong>insiemi</strong> e determina la loro unione, rappresentandola graficamente.<br />
A ={x | x è un numero pari} B ={x | x è un numero dispari}<br />
5 Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B, determina A » B per proprietà caratteristica e per elencazione.<br />
A = {x | x è una vocale} B ={x | x è una consonante}<br />
6 Rappresenta per elencazione e per caratteristica l’insieme unione dei seguenti <strong>insiemi</strong>.<br />
A = {Mantova, Cremona, Brescia, Como, Bergamo, Lecco}<br />
B = {Milano, Varese, Sondrio, Pavia, Lodi}<br />
7 Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B, determina l’insieme C = A » B e rappresentalo graficamente<br />
e per caratteristica.<br />
A = {x | x è un numero naturale minore di 15}<br />
B = {x | x è un numero naturale compreso tra 8 e 20}<br />
8 Considera <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B e determina l’insieme C = A » B. Rappresenta poi quest’ultimo con<br />
i diagrammi di Eulero-Venn.<br />
A = {x | x è un numero naturale compreso tra 5 e 16}<br />
B = {x | x è un numero naturale compreso tra 7 e 13}<br />
9 Rappresenta per elencazione l’insieme C = A » B, riportato qui sotto, con diagrammi di<br />
Eulero-Venn.<br />
C A<br />
B<br />
mandolino<br />
arpa<br />
chitarra<br />
pianoforte<br />
viola<br />
gi<strong>gli</strong>o<br />
rosa<br />
garofano<br />
La parola “viola” indica<br />
sia uno ......................... sia<br />
un .........................
esercizi<br />
10 Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A ={Est, Ovest, Sud} e B ={Ovest, Nord, Sud}, determina <strong>gli</strong> elementi<br />
dell’insieme C = A » B. Rappresenta l’insieme C per elencazione e con diagrammi<br />
di Eulero-Venn.<br />
11 Determina l’insieme C = A » B dei seguenti <strong>insiemi</strong> e danne una rappresentazione tabulare<br />
e con diagrammi di Eulero-Venn.<br />
A = {x | x è un numero naturale dispari minore di 25} B = {x | x è un numero naturale minore di 25}<br />
12 Osserva la seguente rappresentazione grafica e scrivi<br />
l’insieme unione di A e B.<br />
13 Osserva i seguenti diagrammi di Eulero-Venn e scrivi<br />
<strong>gli</strong> elementi di A, quelli di B, quelli dell’intersezione<br />
di A e B. Scrivi infine <strong>gli</strong> elementi dell’unione di A e B.<br />
14 Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A, B e C, determina A » B » C e rappresentalo con diagrammi di Eulero-Venn<br />
e per elencazione.<br />
A ={Francesco, Claudio, Luigi, Andrea}<br />
B ={Maria, Elena, Angela, Monica}<br />
C ={Paola, Monica, Pablo, Francesco, Andrea}<br />
15 Scrivi per elencazione e per proprietà caratteristica l’unione di A e B.<br />
A ={il, lo, la} B ={i, <strong>gli</strong>, le}<br />
16 Rappresenta con diagrammi di Eulero-Venn i seguenti <strong>insiemi</strong> e determina A » B » C.<br />
A ={x | x è una lettera della parola “miraggio”}<br />
B ={x | x è una lettera della parola “marino”}<br />
C ={x | x è una lettera della parola “raggiro”}<br />
17 Considera l’insieme A delle prime cinque potenze di 2 e l’insieme B delle prime cinque potenze<br />
di 4 e determina A » B con i diagrammi di Eulero-Venn.<br />
18 Scrivi per elencazione tre <strong>insiemi</strong> disgiunti e rappresenta graficamente la loro unione.<br />
19 Dapprima scrivi <strong>gli</strong> elementi di due <strong>insiemi</strong> non disgiunti, poi rappresenta graficamente la loro<br />
unione.<br />
20 Considera <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> a fianco e rappresenta per elencazione<br />
<strong>gli</strong> elementi di A, B e C; scrivi quindi quali sono <strong>gli</strong> elementi<br />
che appartengono ad A e B, ad A e C, a B e C, ad A, B e C.<br />
Infine scrivi <strong>gli</strong> elementi di A » B » C.<br />
A<br />
3 2<br />
B<br />
9<br />
6 4<br />
15<br />
12<br />
10<br />
A B<br />
a<br />
k<br />
x<br />
b<br />
r<br />
c<br />
s<br />
y<br />
z<br />
8<br />
w<br />
A<br />
m<br />
a<br />
n<br />
f<br />
u<br />
B<br />
r<br />
d<br />
g<br />
s<br />
c<br />
o<br />
i<br />
C<br />
p<br />
q<br />
j<br />
13<br />
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esercizi<br />
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UNITÀ<br />
14<br />
0<br />
<strong>Scopriamo</strong>… <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong><br />
21 Considera <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A, B, C e determina l’insieme D = A » B » C. Poi rappresentalo<br />
per elencazione e con i diagrammi di Eulero-Venn.<br />
A ={x | x è una sillaba della parola “calciatore”}<br />
B ={x | x è una sillaba della parola “calcare”}<br />
C ={x | x è una sillaba della parola “retorica”}<br />
22 Osserva la seguente rappresentazione grafica e rispondi ai quesiti.<br />
A<br />
7<br />
1<br />
B<br />
4<br />
5 9<br />
a. Quali sono <strong>gli</strong> elementi dell’insieme A?<br />
b. Da quali elementi è formato l’insieme A » B?<br />
c. È vero o falso che <strong>gli</strong> elementi dell’insieme A » C sono 1, 3, 6, 7, 9, 10?<br />
d. Quali sono <strong>gli</strong> elementi che formano l’insieme A » B » C?<br />
23 Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A, B e C, determina (A » B) « C.<br />
A ={4, 5, 7, 8, 10, 11}<br />
B ={3, 6, 9, 12, 15}<br />
C ={1, 2, 4, 6, 8, 10, 11, 12}<br />
C<br />
6<br />
3<br />
24 Considera <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A, B e C e determina (A » C) « B e (B » C) « A.<br />
A ={y, u, c, x}<br />
B ={r, s, t, o, p, q}<br />
C ={y, z, t, s, u, o, p}<br />
10<br />
25 Esamina <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B e determina l’insieme C = A » B esprimendo le tue considerazioni.<br />
A ={x | x è una lettera della parola “toro”} B ={x | x è una lettera della parola “orto”}<br />
Differenza di <strong>insiemi</strong><br />
Insieme complementare [U0.7 p. 4]<br />
RICORDA La differenza tra due <strong>insiemi</strong> A e B è l’insieme formato da<strong>gli</strong> elementi di A che non appartengono<br />
a B.<br />
26 Determina l’insieme C, differenza tra l’insieme A ={barca, mare, Sole, Luna} e l’insieme<br />
B ={sco<strong>gli</strong>o, nuvola, Sole}, e rappresentalo con diagrammi di Eulero-Venn.<br />
27 Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A ={3, 4, 7, 10} e B ={1, 3, 5, 7, 12}, scrivi <strong>gli</strong> elementi dell’insieme C = A - B e<br />
rappresenta graficamente tale differenza, usando il tratteggio.<br />
28 Scrivi due <strong>insiemi</strong> A e B a piacere, ma tali che abbiano alcuni elementi in comune, ed evidenzia<br />
graficamente la loro differenza.<br />
29 Il complementare dell’insieme B ={2, 4} rispetto all’insieme A ={0, 1, 2, 3, 4, 5} è:<br />
A B ={2, 4} B B ={0, 1, 3, 5} C B ={1, 3, 5}<br />
Esegui prima l’operazione<br />
tra le parentesi tonde.
30 Scrivi due <strong>insiemi</strong> tali che uno sia il complementare dell’altro.<br />
31 Rappresenta per elencazione e graficamente l’insieme C = A - B.<br />
A ={x | x è una lettera della parola “taccuino”}<br />
B ={x | x è una lettera della parola “tapiro”}<br />
32 Considera <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A ={a, b, c, d, e, f} e B ={c, e, r, t, a} e determina <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A \ B e B \ A.<br />
Rappresenta questi ultimi mediante diagrammi di Eulero-Venn, usando il tratteggio.<br />
33 Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B, determina <strong>gli</strong> elementi de<strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A \ B e B \ A e rappresentali<br />
con diagrammi di Eulero-Venn.<br />
A ={vacanza, spiaggia, monte, lago, campagna}<br />
B ={viaggio, vacanza, campagna, studio}<br />
34 Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B, determina <strong>gli</strong> elementi de<strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A \ B e B \ A e rappresentali<br />
con diagrammi di Eulero-Venn.<br />
A ={x | x è una sillaba della parola “dizionario”}<br />
B ={x | x è una sillaba della parola “notiziario”}<br />
35 Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B, determina <strong>gli</strong> elementi de<strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A \ B e B \ A e rappresentali<br />
con diagrammi di Eulero-Venn.<br />
A ={x | x è un numero naturale compreso tra 10 e 20}<br />
B ={x | x è un numero naturale pari minore di 18}<br />
36 Per ciascuna delle seguenti rappresentazioni grafiche scrivi l’insieme complementare di B<br />
rispetto ad A.<br />
a. A<br />
6<br />
c.<br />
2<br />
4<br />
B 8 10<br />
14 16<br />
12<br />
b. A<br />
d.<br />
a e B<br />
u<br />
o<br />
i<br />
esercizi<br />
37 Determina l’insieme complementare del seguente insieme rispetto all’insieme delle lettere.<br />
A ={x | x è una consonante della parola “naturalmente”}<br />
38 Scrivi quali sono <strong>gli</strong> elementi che formano il complementare dell’insieme B ={giallo, verde}<br />
rispetto all’insieme A ={x | x è un colore dell’arcobaleno}.<br />
39 Considera l’insieme A delle rose e l’insieme B delle rose rosse e scrivi la caratteristica<br />
dell’insieme complementare di B rispetto ad A.<br />
40 Se A è l’insieme dei fiumi che scorrono in Europa e B l’insieme dei fiumi italiani, sai dire da<br />
quali elementi è formato l’insieme complementare di B rispetto ad A?<br />
41 Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B, rappresentali graficamente e scrivi il complementare di B rispetto ad A.<br />
A ={5, 10, 11, 14, 16} B ={10, 14}<br />
A<br />
A<br />
5 7<br />
9 13<br />
fragola<br />
uva<br />
B<br />
lampone<br />
B<br />
1<br />
11<br />
mela<br />
pera<br />
3<br />
15<br />
15<br />
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esercizi<br />
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UNITÀ<br />
16<br />
0<br />
<strong>Scopriamo</strong>… <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong><br />
42 Rappresenta con i diagrammi di Eulero-Venn <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B e determina il complementare di<br />
B rispetto ad A.<br />
A ={u, l, t, i, m, o}<br />
B ={l, i, m, o}<br />
43 Considera il sottoinsieme A ={x | x è un veicolo a motore} dell’insieme U ={x | x è un veicolo}.<br />
Indica l’insieme complementare di A rispetto a U e danne una rappresentazione grafica<br />
con i diagrammi di Eulero-Venn.<br />
44 Osserva <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A, B e C, rappresentati in due modi diversi, e rispondi alle domande.<br />
A ={a, b, c, d} B ={b, d, e, f, g} C ={e, f, g}<br />
A B<br />
C<br />
A B<br />
a. Quale delle due rappresentazioni ritieni che sia quella giusta? Perché? ......................................................<br />
b. Quali sono <strong>gli</strong> elementi dell’insieme A » B? ........................................................................................................<br />
c. Da quali elementi è formato l’insieme A « B? .....................................................................................................<br />
d. Qual è il complementare di C rispetto a B? ..........................................................................................................<br />
45 Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A, B e C, indica il complementare di C rispetto ad A e rappresenta graficamente<br />
i tre <strong>insiemi</strong>.<br />
A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}<br />
B ={2, 4, 6}<br />
C ={6}<br />
Prodotto cartesiano [U0.8 p. 6]<br />
RICORDA Il prodotto cartesiano di due <strong>insiemi</strong> A e B è l’insieme C formato da tutte le coppie ordinate<br />
che si ottengono prendendo come primo elemento un elemento di A e come<br />
secondo elemento un elemento di B.<br />
46 Considera i due <strong>insiemi</strong> A e B e scrivi tutte le coppie ordinate del prodotto cartesiano C = A ¥ B.<br />
A ={a, b, c} B ={d, e}<br />
ESEMPIO Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A ={sol, mi} e B ={do, re} determina il prodotto cartesiano C = A ¥ B.<br />
C = A ¥ B ={(sol, do); (sol, re); (mi, do); (mi, re)}<br />
47 Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A ={a, b} e B ={x, y}, tutte le possibili coppie di elementi che si possono formare<br />
sono:<br />
A ( a, b) ( b, a) ( x, y) ( y, x)<br />
B ( a, x) ( a, y) ( b, x) ( b, y)<br />
C ( a, y) ( x, y) ( b, x) ( a, x) ( a, b)<br />
C
48 Il prodotto cartesiano di A ={a, b} per B = Δ è:<br />
A C = Δ B C ={a, b} C C ={(a, 0); (b, 0)}<br />
49 Determina il prodotto cartesiano dei due <strong>insiemi</strong> A e B e rappresentalo graficamente<br />
con delle frecce.<br />
A<br />
5<br />
2<br />
50 Scrivi per elencazione il risultato del prodotto cartesiano tra l’insieme A e l’insieme B.<br />
A B<br />
r<br />
s<br />
t<br />
51 Se l’insieme A è formato da 1 elemento e l’insieme B da 3 elementi, quanti sono <strong>gli</strong> elementi<br />
di A ¥ B?<br />
52 Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A ={1, 2, 3} e B ={m, n}, considerando A ¥ B, si possono formare:<br />
A 5 coppie ordinate di elementi B 6 coppie ordinate di elementi<br />
53 Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A ={a, b, c} e B ={r, s}, scrivi le coppie ordinate di A ¥ B e indica la risposta<br />
corretta. Da quanti elementi è formato il prodotto cartesiano A ¥ B?<br />
A 3 B 6 C 9 D 5<br />
54 Dati i due <strong>insiemi</strong> A e B, associa a ogni elemento di A un elemento di B in modo da formare<br />
tutte le possibili coppie ordinate.<br />
A ={rosa, verde, azzurro}<br />
B ={bianco, nero, arancione}<br />
55 Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B, scrivi le coppie ordinate de<strong>gli</strong> elementi di C = A ¥ B e dai la<br />
rappresentazione sagittale di tale situazione.<br />
A ={marzo, aprile, maggio}<br />
B ={sole, nebbia, vento, pioggia}<br />
56 Determina il prodotto cartesiano de<strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B e stabilisci quanti sono <strong>gli</strong> elementi<br />
che lo costituiscono.<br />
A ={8, 9, 10}<br />
B ={a, b}<br />
57 Dai la rappresentazione sagittale dell’insieme C = A ¥ B, dove A ={u, l, m} e B ={4, 6}.<br />
58 Scrivi nella tabella a doppia entrata <strong>gli</strong> elementi<br />
del prodotto cartesiano A ¥ B.<br />
B<br />
a<br />
b<br />
a<br />
e<br />
B<br />
A a e<br />
esercizi<br />
b ................................ ................................<br />
d ................................ ................................<br />
s ................................ ................................<br />
r ................................ ................................<br />
17<br />
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esercizi<br />
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UNITÀ<br />
18<br />
0<br />
59 Considera <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B e scrivi le coppie ordinate di elementi che formano l’insieme C = A ¥ B.<br />
Successivamente rappresenta i due <strong>insiemi</strong> con diagrammi di Eulero-Venn e le coppie<br />
del prodotto cartesiano con delle frecce, da A verso B.<br />
A ={mamma, Eleonora}<br />
B ={papà, Stefano, Carlo}<br />
60 Rappresenta con il metodo della tabella a doppia entrata il prodotto cartesiano A ¥ B, sapendo<br />
che:<br />
A ={p, q}<br />
B ={r, s, t}<br />
61 Scrivi nel reticolo <strong>gli</strong> elementi che formano il prodotto cartesiano A ¥ B.<br />
B<br />
7<br />
6<br />
5<br />
0<br />
<strong>Scopriamo</strong>… <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong><br />
( 1, ...)<br />
1 2 3 4<br />
62 Rappresenta con i diagrammi sagittali, con le tabelle a doppia entrata e con i reticoli il<br />
prodotto cartesiano di ciascuna delle seguenti coppie di <strong>insiemi</strong> A e B.<br />
a. A ={n, p} B ={1, 2, 3}<br />
b. A ={c} B ={3, 6}<br />
c. A ={r, s, t} B ={a}<br />
d. A ={0, 3} B ={4, 7}<br />
e. A ={5, 8, 10} B ={0, 1, 2}<br />
f. A ={m, n} B ={0}<br />
63 Tra le seguenti coppie ordinate, sottolinea quelle che appartengono all’insieme C = A ¥ B,<br />
sapendo che A ={ve, me} e B ={ra, ste}.<br />
( ve, ra) ( ve, na) ( me, sta) ( me, ra) ( vi, ra) ( ve, ste)<br />
( me, ste) ( ve, sti) ( me, ri) ( ra, me) ( ste, ve) ( ste, me)<br />
64 Fai un esempio in cui un prodotto cartesiano A ¥ B abbia 6 elementi. Quanti elementi hai dato<br />
ad A e quanti a B? Puoi considerare qualche altra possibilità di scelta?<br />
65 Nel caso in cui il prodotto cartesiano A ¥ B abbia 5 elementi, quanti ne possono avere A e B?<br />
66 Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B formati rispettivamente da<strong>gli</strong> elementi {1, 2} e {r, s} stabilisci se:<br />
a. Gli elementi del prodotto cartesiano A ¥ B sono uguali a quelli di B ¥ A.<br />
b. Nel prodotto cartesiano di due <strong>insiemi</strong> esiste la proprietà commutativa.<br />
Rappresenta con diagrammi a frecce i prodotti cartesiani A ¥ B e B ¥ A e verifica se<br />
le tue risposte sono giuste oppure errate.<br />
67 Rappresenta con una tabella a doppia entrata il prodotto cartesiano dei seguenti <strong>insiemi</strong>.<br />
A ={a, b, c, d, e} B ={1, 3, 5}<br />
A
68 Rappresenta per elencazione <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B, sapendo che A ¥ B ={(1, x); (1, y); (1, z); (2, x);<br />
(2, y); (2, z)}.<br />
69 Scrivi per elencazione <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> M e N, sapendo che M ¥ N ={(se, dia); (se, sta); (me, dia);<br />
(me, sta); (te, dia); (te, sta)}.<br />
70 Scrivi per elencazione <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> R e T, sapendo che R ¥ T ={(u, sa); (u, va); (u, sta); (ca, sa);<br />
(ca, va); (ca, sta)}.<br />
71 Completa il grafo ad albero che rappresenta il prodotto A ¥ B, dove A ={a, b} e B ={x, y, z}.<br />
Quali e quanti sono <strong>gli</strong> elementi del prodotto cartesiano?<br />
a b<br />
x y z x y z<br />
{a, x}, .................. {b, x}, .................. A ¥ B = ..................<br />
72 Utilizzando dei grafi ad albero, determina il prodotto cartesiano de<strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A ={1, 2, 3}<br />
e B ={4, 5, 6}. È vero o falso che hai ottenuto 9 elementi?<br />
Risolvi i seguenti problemi.<br />
73 Da<strong>gli</strong> aeroporti di Milano, Roma e Palermo<br />
partono dei voli per Parigi e Londra. Rappresenta<br />
con un prodotto cartesiano tutti i possibili<br />
abbinamenti di partenze e arrivi. [6]<br />
74 In un campionato di calcetto, otto squadre disputano<br />
partite di andata e ritorno. Quante<br />
sono in tutto le partite del campionato? [56]<br />
75 In un sacchetto ci sono dei cartoncini su cui<br />
sono scritte le consonanti della parola “fortuna”,<br />
mentre in un altro le vocali della stessa<br />
parola. Quante coppie di lettere, formate<br />
ciascuna da una consonante e da una vocale,<br />
si possono ottenere prendendo appunto<br />
una lettera da ogni sacchetto? [12]<br />
76 Cristina possiede 8 collane, 3 braccialetti e 2<br />
anelli. In quanti modi diversi può abbinarli,<br />
mettendo una collana, un braccialetto e un<br />
anello? [48]<br />
77 Simona ha nel suo guardaroba tre ma<strong>gli</strong>ette,<br />
una gialla, una bianca e una grigia, e due<br />
Il prodotto cartesiano<br />
di due <strong>insiemi</strong> si può<br />
rappresentare anche<br />
con dei grafi ad albero,<br />
che già conosci.<br />
esercizi<br />
jeans, uno azzurro e uno nero. Quanti e quali<br />
abbinamenti può fare, usando una ma<strong>gli</strong>etta<br />
e un jeans? Fai il prodotto cartesiano tra l’insieme<br />
delle ma<strong>gli</strong>ette e quello dei pantaloni e<br />
otterrai tutte le combinazioni possibili.<br />
jeans<br />
ma<strong>gli</strong>ette gialla bianca grigia<br />
azzurro ........... ........... ...........<br />
nero ........... ........... ...........<br />
78 In un gruppo di 120 ragazzi, 28 leggono libri<br />
gialli, 50 leggono libri di avventura e 12<br />
leggono entrambi i tipi di libri.<br />
Quanti sono i ragazzi che non leggono né<br />
libri gialli né libri di avventura? [54]<br />
79 In una piscina frequentata da 35 persone,<br />
18 sanno nuotare a stile “libero”, 7 a stile<br />
“rana” e 12 non praticano né lo stile “libero”<br />
né lo stile “rana”.<br />
Quanti praticano sia l’uno sia l’altro stile? [2]<br />
19<br />
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esercizi<br />
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20<br />
0<br />
<strong>Scopriamo</strong>… <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong><br />
80 Se A è l’insieme dei multipli di 2 e B è l’insieme<br />
dei multipli di 3, allora l’unione di A e B è<br />
formato dall’insieme dei multipli di 6?<br />
81 Clara afferma che dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A ={a} e<br />
B ={1, 2}, il prodotto cartesiano A ¥ B è<br />
uguale al prodotto B ¥ A. Secondo il tuo giu-<br />
dizio è corretta questa affermazione? Esiste<br />
la proprietà commutativa nel prodotto cartesiano?<br />
82 Dieci squadre di calcio disputano un torneo<br />
che prevede partite di andata e ritorno.<br />
Quante sono complessivamente le partite<br />
del torneo?<br />
Corrispondenze tra <strong>insiemi</strong> [U0.9 p. 8]<br />
RICORDA Una corrispondenza tra due <strong>insiemi</strong> si dice univoca se a ogni elemento del primo insieme<br />
corrisponde un solo elemento del secondo insieme, ma non viceversa.<br />
b<br />
a<br />
c<br />
Una corrispondenza tra due <strong>insiemi</strong> si dice biunivoca se a ogni elemento del primo insieme<br />
corrisponde un solo elemento del secondo insieme e, viceversa, ogni elemento<br />
del secondo insieme è corrispondente di un solo elemento del primo.<br />
a<br />
b<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
83 Considera l’insieme de<strong>gli</strong> alunni della tua classe e l’insieme dei loro nomi. Che tipo<br />
di corrispondenza esiste tra i due <strong>insiemi</strong> considerati? Rappresentali graficamente.<br />
84 Rappresenta con un grafico la corrispondenza che esiste tra l’insieme A formato dalle madri<br />
di cinque ragazzi, di cui tre sono fratelli, e l’insieme B dei loro fi<strong>gli</strong>.<br />
85 Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B, associa a ogni elemento di A il corrispondente di B e illustra il tipo<br />
di corrispondenza che si stabilisce tra i due <strong>insiemi</strong>.<br />
A ={pane, pasta, riso, uova, carne, pesce} B ={amido, proteine}<br />
86 Stabilisci se tra i seguenti <strong>insiemi</strong> può esistere una corrispondenza biunivoca e, in caso di<br />
risposta affermativa, esegui la relativa rappresentazione grafica.<br />
A ={Roma, Firenze, Londra, Parigi, Colonia} B ={Arno, Tamigi, Tevere, Reno, Senna}<br />
87 Considera i seguenti <strong>insiemi</strong> e stabilisci che tipo di corrispondenza esiste tra l’insieme A<br />
e l’insieme B.<br />
A ={latte, grano, uva, olive} B ={pasta, vino, formaggio, olio}<br />
Disegna un grafico a frecce che illustri la tua risposta.<br />
88 Indica in quale dei due casi tra <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B è possibile stabilire una corrispondenza<br />
biunivoca, giustificando la tua risposta.<br />
a. A ={2, 5, 8, 11, 14} B ={a, b, c, d, e} b. A ={1, 8, 24} B ={a, b, c, d, e}<br />
89 Considera <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B e stabilisci il tipo di corrispondenza che esiste tra essi, disegnando<br />
diagrammi a frecce.<br />
A ={Como, Perugia, Terni, Salerno, Napoli, Lecce, Taranto}<br />
B ={Pu<strong>gli</strong>a, Lombardia, Campania, Sicilia}
92 Osserva i seguenti diagrammi di Eulero-Venn<br />
e rappresenta con delle frecce la proprietà<br />
“bagna la città di”. Che tipo<br />
di corrispondenza esiste tra <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong><br />
A e B? Univoca o biunivoca?<br />
93 Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A ={Roma, Parigi, Londra, Atene, Madrid} e B ={Italia, Francia, Regno Unito,<br />
Grecia, Spagna}, rappresenta la corrispondenza che esiste tra i loro elementi mediante<br />
diagrammi di Eulero-Venn.<br />
94 Osserva i diagrammi di Eulero-Venn e unisci opportunamente <strong>gli</strong> elementi corrispondenti.<br />
Che tipo di corrispondenza hai ottenuto? I due <strong>insiemi</strong> dati sono equipotenti? Qual è<br />
la cardinalità di ciascuno di essi?<br />
Relazione tra due <strong>insiemi</strong> [U0.10 p. 10]<br />
95 Completa la tabella, poi svolgi le attività proposte.<br />
<strong>insiemi</strong> relazione da coppie di elementi<br />
A verso B corrispondenti<br />
esercizi<br />
90 Rappresenta graficamente la corrispondenza che lega i seguenti <strong>insiemi</strong>.<br />
A ={scuola, ufficio, treno}<br />
B ={studente, manager, viaggiatore}<br />
91<br />
Si tratta di una corrispondenza univoca o biunivoca?<br />
Collega opportunamente, usando delle frecce,<br />
<strong>gli</strong> elementi di A con quelli di B in modo<br />
Francia<br />
Italia<br />
Spagna<br />
A<br />
Europa<br />
B<br />
che si stabilisca una corrispondenza univoca.<br />
Messico<br />
Perú<br />
America<br />
A B<br />
Giovanni<br />
Dante<br />
6 ¥ 7<br />
7 ¥ 8<br />
34<br />
pulcino<br />
cane<br />
A B<br />
Arno<br />
Firenze<br />
Senna<br />
Parigi<br />
Tevere<br />
Roma<br />
Alighieri<br />
Pascoli<br />
A ={2, 10, 18, 22} “è il doppio di” .................................................................<br />
B ={1, 5, 9, 11, 12} .................................................................<br />
A ={Torino, Asti, Milano} “è una città in” .................................................................<br />
B ={Piemonte, Lazio, Lombardia} .................................................................<br />
A ={Roma, Bari, Venezia, Madrid} “si trova in” .................................................................<br />
B ={Italia, Spagna} .................................................................<br />
A ={Po, Tevere, Arno} “bagna” .................................................................<br />
B ={Pavia, Adria, Roma, Pisa} .................................................................<br />
A ={6, 7, 8, 11, 15, 20} “è la metà di” .................................................................<br />
B ={12, 16, 22, 40} .................................................................<br />
56<br />
17 + 17<br />
cucciolo<br />
gallina<br />
42<br />
21<br />
A. Montemurro DigiMAT © DeAgostini Scuola 2011
esercizi<br />
A. Montemurro DigiMAT © DeAgostini Scuola 2011<br />
UNITÀ<br />
22<br />
0<br />
<strong>Scopriamo</strong>… <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong><br />
a. Completa la seguente frase: la corrispondenza tra <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B è .........................................................<br />
b. Illustra il significato di tale tipo di relazione e fai alcuni esempi, tratti dalla vita quotidiana, in cui tra<br />
due <strong>insiemi</strong> si stabilisca una relazione come quella trovata.<br />
c. Rappresenta ciascuna delle relazioni date mediante diagrammi di Eulero-Venn.<br />
96 Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B e la relazione da A verso B “è l’insegnante di”, rappresenta mediante<br />
diagrammi di Eulero-Venn la corrispondenza tra A e B e spiega di quale tipo di corrispondenza<br />
si tratta.<br />
A ={nomi de<strong>gli</strong> insegnanti della tua classe} B ={materie di studio}<br />
97 Dati due <strong>insiemi</strong> A e B, sapendo che la relazione esistente tra essi è “adopera”, rappresenta<br />
con un grafico sagittale <strong>gli</strong> elementi di A e B che sono in relazione tra loro. Stabilisci il tipo<br />
di corrispondenza che esiste tra i due <strong>insiemi</strong> e scrivi le coppie de<strong>gli</strong> elementi corrispondenti.<br />
A ={scrittore, medico, musicista}<br />
B ={pianoforte, chitarra, penna, carta, bisturi, violino, stetoscopio}<br />
98 Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B, sapendo che esiste tra essi la relazione “contiene”, rappresenta mediante<br />
diagrammi di Eulero-Venn la corrispondenza tra A e B, specificandone il tipo.<br />
A ={pane, pasta, uova, zucchero, carne, pesce, olio, burro}<br />
B ={proteine, carboidrati, grassi}<br />
99 Stabilisci la relazione esistente tra <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B e scrivi le coppie di elementi corrispondenti.<br />
Di che tipo di corrispondenza si tratta?<br />
A<br />
Dante<br />
Euclide<br />
Pitagora<br />
matematica<br />
B<br />
Leopardi<br />
letteratura<br />
Pascoli<br />
Mozart<br />
musica<br />
100 Disegna il grafico a frecce della relazione da A verso B, espressa dalla frase “si usa per”,<br />
e indica le coppie di elementi corrispondenti.<br />
A ={microfono, cucchiaio, palla, penna} B ={mangiare, scrivere, cantare, giocare}<br />
101 Individua la relazione tra i seguenti <strong>insiemi</strong> e rappresenta poi la corrispondenza, stabilendo<br />
se si tratta di corrispondenza univoca o biunivoca.<br />
A ={luce verde, luce rossa} B ={via libera, stop}<br />
102 Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B, scrivi la relazione che si stabilisce tra essi, rappresentala mediante<br />
diagrammi di Eulero-Venn e stabilisci di quale tipo di corrispondenza si tratta.<br />
A ={Natale, San Giuseppe, Festa della Liberazione, Festa dei lavoratori, Capodanno}<br />
B ={1, 19, 25}<br />
103 Considera l’insieme A ={Copenaghen, Londra, Stoccolma, Ankara} e l’insieme<br />
B ={Gran Bretagna, Danimarca, Turchia, Svezia}. Dopo aver trovato la relazione tra A e B,<br />
rappresentala graficamente e stabilisci che tipo di corrispondenza esiste tra <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> dati.<br />
104 Considera <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B, poi rispondi alle domande.<br />
A ={Bari, Taranto, Modena, Roma, Viterbo, Siena}<br />
B ={Pu<strong>gli</strong>a, Lazio, Toscana}<br />
a. Qual è la relazione che lega i due <strong>insiemi</strong>?
esercizi<br />
b. Qual è la frase che la definisce?<br />
c. Rappresenta con un grafico sagittale <strong>gli</strong> elementi di A e B che si corrispondono in tale relazione<br />
e scrivi per elencazione le coppie ordinate che si vengono a formare.<br />
105 Considera <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B, legati dalla relazione “appartiene alla classe”, e rispondi alle<br />
domande.<br />
A ={gallo, orso, rana, merluzzo, lucertola} B ={mammiferi, anfibi, pesci, rettili, uccelli}<br />
a. Rappresenta con un grafico a frecce tale relazione e scrivi le coppie ordinate di elementi<br />
corrispondenti.<br />
b. Quale tipo di corrispondenza esiste tra i due <strong>insiemi</strong>?<br />
c. I due <strong>insiemi</strong> sono equipotenti? Perché?<br />
106 Rappresenta mediante diagrammi di Eulero-Venn la relazione “è capoluogo di” che si<br />
stabilisce tra l’insieme A formato dalle città di Palermo, Genova, Firenze e l’insieme B formato<br />
dalle regioni Liguria, Sicilia, Toscana. Si tratta di una corrispondenza univoca o biunivoca?<br />
107 Scrivi la frase che definisce la relazione da A verso B e la frase che definisce la relazione inversa<br />
da B verso A. Dai quindi una rappresentazione per elencazione delle coppie di elementi<br />
corrispondenti.<br />
A B<br />
1<br />
3<br />
7<br />
21<br />
4<br />
12<br />
2<br />
5<br />
6 15<br />
6<br />
18<br />
9<br />
3<br />
108 Scrivi una relazione possibile tra i due seguenti <strong>insiemi</strong>, poi fai la sua rappresentazione<br />
con un grafico a frecce.<br />
A ={Marco, Lucia, Claudio, Stefano, Laura} B ={mela, uva, panino, pasta, uova}<br />
109 Dati <strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A ={4, 8, 12, 16, 20} e B ={1, 2, 3, 4, 5} rappresenta in forma sagittale, con una<br />
tabella a doppia entrata e in forma cartesiana, la relazione da A verso B : “è il quadruplo<br />
di”.<br />
110 Osserva la figura e individua la relazione che fa corrispondere a<strong>gli</strong> elementi di A quelli di B.<br />
Rappresentala con una tabella a doppia entrata e in forma cartesiana. Qual è la frase che<br />
definisce la relazione inversa da B verso A?<br />
A<br />
5<br />
1<br />
4<br />
16<br />
25<br />
1<br />
B<br />
6<br />
36<br />
111 Scrivi la frase che lega l’insieme A all’insieme B. Rappresenta poi la relazione in forma sagittale<br />
e con una tabella a doppia entrata.<br />
A ={La Spezia, Venezia, Napoli, Taranto, Bari}<br />
B ={Mar Tirreno, Mare Adriatico, Mar Ionio, Mar Ligure}<br />
112 Scrivi le coppie di numeri de<strong>gli</strong> <strong>insiemi</strong> A e B che soddisfano la relazione : “è il numero<br />
precedente di”. Quante coppie hai individuato?<br />
A ={16, 37, 59, 99, 105} B ={17, 38, 100, 106, 109}<br />
23<br />
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