Modelli Matematici per l'Ingegneria

Dispense del corso di
Modelli Matematici per l’Ingegneria
Facoltà di Ingegneria – Università degli studi dell’Aquila
Anno Accademico 2007-2008
Marco Di Francesco

Indice
1 Introduzione alle equazioni alle derivate parziali 9
1.1 PDE del primo ordine semilineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Equazioni semilineari del secondo ordine in due variabili . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Problemi ben posti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Modelli di diffusione 19
2.1 L’equazione del calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Un modello di propagazione del calore . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 Problemi ben posti per l’equazione del calore . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.3 Evoluzione della temperatura in una sbarra omogenea. Tendenza
all’equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.4 Il metodo dell’energia. Unicità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.5 La soluzione fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.6 Il problema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Diffusione e probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Diffusione non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 Conducibilità termica nei gas diluiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2 Le soluzioni di Barenblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.3 Diffusione veloce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Problemi stazionari. Equazioni di Laplace e di Poisson 37
3.1 La soluzione fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Problema al bordo sul cerchio per l’equazione di Laplace. . . . . . . . . . . 38
3.3 Il metodo della funzione di Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Tendenza all’equilibrio per l’equazione del calore . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Modelli di convezione e di convezione–diffusione 45
4.1 Un modello di traffico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Equazione del trasporto lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Un modello cinematico di traffico non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4 Due modelli semplificati di trasporto nonlineare . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4.1 Un modello di scambio chimico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4.2 Moto di particelle in un letto fluidizzato . . . . . . . . . . . . . . . 52
3

4 INDICE
4.5 La legge di conservazione scalare nonlineare . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.6 Rarefazione e shock nel modello di Whitham . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.7 Onde smorzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.8 Modello di inquinante in un fiume (drift-diffusion) . . . . . . . . . . . . . . 64
4.9 L’equazione di Burgers viscosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.10 Viscosità evanescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.10.1 Onde viaggianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.10.2 N-Waves viscose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 Fenomeni vibratori: l’equazione delle onde 75
5.1 Onde trasversali in una corda: derivazione del modello . . . . . . . . . . . 75
5.2 L’equazione delle onde in elettromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3 Conservazione dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4 Unicità della soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.5 La formula di d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.6 Soluzione fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.6.1 L’equazione non omogenea. Metodo di Duhamel . . . . . . . . . . . 83
5.7 Effetti di dispersione e dissipazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.7.1 Dissipazione esogena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.7.2 Dissipazione interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.7.3 Dispersione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.8 Piccole vibrazioni di una membrana elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.8.1 Membrana quadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.9 Un metodo di riflessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.10 Soluzione in dimensione tre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.11 Soluzione in dimensione due . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6 Moto di un sistema continuo 95
6.1 Nozione di sistema continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2 Teorema del trasporto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3 Conservazione della massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4 Bilancio dell’impulso (equazione di Newton) . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.5 Bilancio del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.6 Bilancio dell’energia (prima legge della Termodinamica) . . . . . . . . . . . 105
7 Equazioni di Eulero e Navier–Stokes 109
7.1 Fluidi ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2 Fluidi perfetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.3 Fluido viscoso di Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.4 Fluido incompressibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8 Fluidi ideali 121
8.1 Condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.2 Conservazione dell’energia totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.3 Teoremi di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.4 Teorema di Kelvin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.5 Flussi bidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.6 Equazione della vorticità in dimensione 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9 Cenni di teoria cinetica: l’equazione di Boltzmann 133
9.1 Funzioni di distribuzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.2 L’equazione di Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.3 La distribuzione di Maxwell–Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.4 Pressione e temperatura assoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.5 Il ‘teorema H’ di Boltzmann. Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
10 Alcuni limiti idrodinamici 141
10.1 Equazione delle onde con dissipazione esogena . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.1.1 Primo metodo: separazione delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.1.2 Secondo metodo: stima dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.2 Approssimazione acustica per un flusso isoentropico . . . . . . . . . . . . . 145
10.3 Limite incompressibile per il flusso isoentropico . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.4 Limite diffusivo in un mezzo poroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
11 Fenomeni di radiazione termica in un gas 151
11.1 Concetti introduttivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
11.2 L’equazione del ‘radiative transfer’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
11.3 Approssimazione diffusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
A Alcuni richiami di analisi e di geometria. 159
A.1 Distanze, norme e topologia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A.2 Matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
A.3 Calcolo differenziale in più variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
A.4 Integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.5 Serie di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
A.6 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
A.7 Equazioni differenziali ordinarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6 INDICE

Introduzione
Questo libro raccoglie gli argomenti dell’omonimo corso di Modelli matematici per l’Ingegneria,
previsto per l’Anno Accademico 2007–2008, alla Facoltà di Ingegneria dell’Università
degli Studi dell’Aquila. Lo scopo di base di questo corso è duplice: in primo luogo trattare
alcuni metodi standard per ricavare modelli di equazioni alle derivate parziali applicati ad
alcuni semplici problemi di fisica e di ingegneria; in secondo luogo e compatibilmente con
il background matematico degli studenti, fornire loro gli strumenti analitici per risolvere o
per studiare qualitativamente i problemi posti.
Riguardo al primo aspetto, verranno ad esempio studiati modelli di trasporto, convezione,
diffusione (o dispersione), reazione e dissipazione, con applicazioni alla dinamica
dei fluidi, ai modelli di traffico, alla propagazione di onde elastiche lineari, ad alcune dinamiche
particellari. Per la maggior parte di questi modelli si fornirà una descrizione di
tipo ‘cinematico’, ovvero in cui vengono trascurati gli effetti dinamici (o inerziali) causati
dalla relazione tra le accelerazioni e le forze in gioco. Sono questi i modelli per cui verranno
forniti maggiori strumenti dell’analisi matematica, data anche la loro relativa semplicità.
Verranno anche introdotti modelli dinamici (idrodinamici nel caso dei modelli di fluido–
dinamica) per cui è assai difficile trattare una teoria matematica adattata alle conoscenze
matema- tiche degli studenti. In questo caso si studierà soprattutto il comportamento di
tali modelli mandando certi parametri al limite.
Riguardo ai metodi matematici usati nel corso, nel caso di modelli lineari (ed anche in
qualche model- lo nonlineare, come ad esempio l’equazione viscosa di Burgers) verranno
forniti metodi per la risoluzione analitica esplicita. La teoria nonlineare ha nello studio
delle onde di shock per le leggi di conservazione nonlineari il suo argomento principale. Per
il resto, nel caso di modelli nonlineari si cercherà di analizzare le soluzioni da un punto di
vista qualitativo.
Il corso è organizzato distribuendo gli argomenti dal punto di vista dei modelli matematici
piuttosto che delle aree di applicazione. Ad esempio, il capitolo sui modelli di trasporto
conterrà sia modelli di traffico che modelli di scambio chimico. Ci sembra questo un modo
per abituare lo studente a riconoscere la matematica che c’è dietro un problema al di là
della branca specifica di applicazione.
Per quanto riguarda i prerequisiti matematici, si considerano note la teoria delle
funzioni reali ed il calcolo differenziale in una e più variabili, il calcolo integrale multiplo e
la teoria di base delle equazioni differenziali ordinarie. Alcuni concetti sono richiamati per
comodità in Appendice. Per quanto concerne l’introduzione alle derivate parziali ed alcuni
7

8 INDICE
semplici metodi di risoluzione, si è ritenuto opportuno richiamarle nel primo capitolo del
testo (parte del quale è stata curata da Corrado Lattanzio).

Capitolo 1
Introduzione alle equazioni alle
derivate parziali
Lo studente che si accinge ad affrontare il presente corso si è già imbattuto nel concetto di
equazione differenziale ordinaria 1 . Risolvere un’equazione differenziale ordinaria consiste
nel determinare una funzione incognita t ↦→ u(t) dipendente da una sola variabile. Nel caso
in cui la funzione incognita sia a valori vettoriali t ↦→ X(t) ∈ R n , allora si parla di sistema
di equazioni ordinarie.
Nel nostro corso ci occuperemo invece di equazioni differenziali alle derivate parziali,
ovvero di equazioni differenziali la cui incognita è una funzione (spesso scalare) dipendente
da più di una variabile. Nelle applicazioni descritte in questo corso, le variabili indipendenti
saranno sempre costituite da una variabile temporale t ≥ 0 e da una variabile spaziale
x ∈ R n . Molto spesso considereremo il caso unidimensionale x ∈ R, ovvero n = 1. Se
un’equazione differenziale ordinaria era una relazione algebrica tra la variabile t, l’incognita
X(t) e le sue derivate rispetto al tempo, un’equazione alle derivate parziali sarà una
relazione algebrica tra le variabili indipendenti x e t, l’incognita u(x, t) e le sue derivate
parziali ut, ux, utt, uxx, etc. . . . In situazioni più generali, le variabili spaziali saranno più
di una (fino, ovviamente, ad un massimo di tre!), nel qual caso saranno indicate con (x, y)
nel caso bidimensionale e (x, y, z) nel caso tridimensionale 2 . Riportiamo qui una lista di
equazioni alle derivate parziali che incontreremo nel seguito del corso.
Esempi di equazioni alle derivate parziali: 3
(a) L’equazione del calore ut = uxx
(b) L’equazione del trasporto lineare ut + cux = 0, c ∈ R
1 Per un breve richiamo sulle equazioni differenziali ordinarie, si veda la sezione A.7 dell’Appendice.
2 In generale i modelli che consideriamo sono ‘ambientati’ in R 3 , ed il vettore spaziale di riferimento
è (x, y, z). In alcune situazioni particolari, si può supporre che variazioni significative delle grandezze in
esame avvengano soltanto lungo una direzione, nel qual caso la variabile spaziale di riferimento è uno
scalare x. In altre situazioni ancora, si suppone che non avvengano variazioni lungo una direzione di
riferimento z, nel qual caso la variabile spaziale di riferimento è un vettore bidimensionale (x, y).
3 u = u(x, t) è la funzione incognita. Per semplicità consideriamo solo esempi in cui x ∈ R.
9

10CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI
(c) L’equazione delle onde utt + c 2 uxx = 0, c > 0
(d) L’equazione di Burgers ut + uux = 0
(e) L’equazione viscosa di Burgers ut + uux = uxx
(f) L’equazione di Laplace uxx + uyy + uzz = 0
Nel seguito useremo l’abbreviazione PDE ad indicare un’equazione alle derivate parziali
(dall’inglese Partial Differential Equation), mentre una equazione differenziale ordinaria è
comunemente detta una ODE (Ordinary Differential Equation). Una categoria importante
di PDE è costituita dalle PDE lineari, ovvero da quelle equazioni in cui la dipendenza
dall’incognita u e dalle sue derivate è lineare. Nell’elenco precedente, le uniche equazioni
non lineari sono la (d) e la (e). Per le PDE lineari vale il seguente
Teorema 1.0.1 (Principio di sovrapposizione) Siano u1 ed u2 soluzioni di una data
equazione alle derivate parziali lineare. Siano inoltre λ, µ due costanti reali. Allora
λu1 + µu2
è anch’essa una soluzione della stessa equazione.
Analogamente alle ODE, si definisce ordine di una PDE come l’ordine massimo di
derivazione che compare nell’ equazione. Una PDE di ordine n si dice semilineare se essa
è lineare nelle derivate di ordine n. In particolare, le uniche equazioni nonlineari nella lista
precedente (ovvero la (d) e la (e)) sono semilineari.
Richiamiamo ora alcuni metodi analitici per alcune semplici PDE del primo e del
secondo ordine.
1.1 PDE del primo ordine semilineari
Per equazione differenziale alle derivate parziali del primo ordine semilineare nelle variabili
indipendenti (x, t) ∈ R 2 si intende un’equazione della forma:
a(x, t)ut + b(x, t)ux = f(x, t, u), (1.1)
dove la funzione incognita u = u(x, t) è una funzione a valori reali. Le funzioni a, b, f sono
funzioni regolari, ad esempio a, b ∈ C1 (Ω) e f ∈ C1 (Ω × R), dove Ω ⊂ R2 è un aperto del
piano (x, t). Una funzione u è soluzione dell’equazione (1.1) in un aperto U ⊂ Ω se verifica
tale equazione per ogni (x, t) ∈ U.
Definiamo ora il problema di Cauchy per l’equazione (1.1). Sia C una curva regolare
contenuta in Ω di equazioni parametriche x = x0(σ), t = t0(σ). Definiamo problema di
Cauchy il seguente sistema:
a(x, t)ut + b(x, t)ux = f(x, t, u)
(1.2)
u(x0(σ), t0(σ)) = u0(σ)

1.1. PDE DEL PRIMO ORDINE SEMILINEARI 11
e u è soluzione di (1.2) se verifica sia l’equazione differenziale che il dato iniziale (ovvero
la seconda condizione in (1.2)) in ogni punto della curva C. Prima di discutere l’esistenza
e l’unicità delle soluzioni di (1.2), vediamo come determinare tale soluzione in un esempio
concreto.
Esempio 1.1.1 Consideriamo l’equazione differenziale alle derivate parziali
ut + vux = 0, (1.3)
dove v > 0 è una costante, a cui aggiungiamo una condizione iniziale
u(x, 0) = u0(x), (1.4)
con u0 funzione regolare. Associamo all’equazione differenziale (1.3) il seguente sistema di
equazioni differenziali ordinarie (che è anche un sistema dinamico):
˙x(s) = v
(1.5)
˙t(s) = 1,
dove con “ ˙ ” indichiamo la derivata rispetto al parametro s. Le curve soluzioni di (1.5)
sono dette curve caratteristiche per (1.3). Esse sono curve del piano (x, t), che è detto
piano delle fasi. Imponendo le condizioni iniziali in s = 0
x(0) = x0
,
t(0) = t0
si determina un’unica soluzione per (1.5) fornita chiaramente da:
x(s) = vs + x0
t(s) = s + t0.
Dato che la condizione iniziale (1.4) è assegnata sulla curva di equazione t = 0, imponiamo
che (x0, t0) sia un punto di tale curva. Ciò comporta t0 = 0. Quindi la curva caratteristica
si può riscrivere, eliminando il parametro s, come
x(t) = vt + x0. (1.6)
La (1.6) rappresenta pertanto la curva caratteristica che interseca in x0 la curva {t = 0}
del dato iniziale. Tale curva risulta essere nel piano (x, t) una retta di pendenza 1
v o,
equivalentemente, di velocità v (vedere Figura 1.1). Sia ora φ(t) = u(x(t), t) la soluzione
di (1.3) calcolata lungo le caratteristiche (1.6). Dalla definizie di caratteristica (sistema
(1.5)), si ha:
˙φ(t) = ˙x(t)ux(x(t), t) + ut(x(t), t) = vux(x(t), t) + ut(x(t), t) = 0,

12CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI
t
x 0
Figura 1.1: caratteristiche per l’equazione (1.3)
vale a dire, la soluzione di (1.3) è costante lungo le caratteristiche (1.6). Quindi, si può
risolvere l’equazione differenziale ordinaria per φ e si ha:
vale a dire
φ(t) = φ(0),
u(vt + x0, t) = u(x(t), t) = u(x(0), 0) = u0(x0),
utilizzando la (1.6) e la condizione iniziale (1.4). Per determinare ora il valore della
soluzione u in un punto generico (x, t) del piano, basta determinare il punto x0 di intersezione
tra la caratteristica passante per (x, t) e l’asse {t = 0}, cioè basta invertire la
relazione x = vt + x0 ottenendo
x0 = x − vt.
In definitiva, la soluzione di (1.3)–(1.4) è data da
u(x, t) = u0(x − vt),
come è a questo punto facile convincersi anche per verifica diretta. La soluzione al tempo
t è pertanto ottenuta traslando il grafico della condizione iniziale u0 della quantità vt:
questa proprietà giustifica la definizione di velocità data alla quantità v. In altre parole, le
caratteristiche trasportano le informazioni dal dato iniziale e le fanno viaggiare con velocità
v (vedere Figura 1.2).
Nell’Esempio 1.1.1 abbiamo visto come è utile introdurre una opportuna famiglia di curve
(le curve caratteristiche), che nel caso specifico risultano essere rette, lungo le quali l’equazione
differenziale ha una formulazione più semplice, formulazione che permette di
risolvere esplicitamente il problema di Cauchy (1.3)–(1.4) (nel caso esaminato, la soluzione
x

1.1. PDE DEL PRIMO ORDINE SEMILINEARI 13
t
grafico della soluzione per t=0
t
v
grafico della soluzione per t=1
Figura 1.2: la soluzione di (1.3)–(1.4) “viaggia” con velocità v
risultava costante lungo le caratteristiche!!). In realtà, l’utilizzo delle curve caratteristiche
permette, anche nel caso generale (1.2), di arrivare ad un teorema di esistenza e unicità
delle soluzioni per tale problema di Cauchy. Definiamo allora curve caratteristiche per
l’equazione
a(x, t)ut + b(x, t)ux = f(x, t, u) (1.7)
le soluzioni del seguente sistema di equazioni differenziali ordinarie:
˙x(s) = b(x(s), t(s))
˙t(s) = a(x(s), t(s)).
v
x
x
(1.8)
Se calcoliamo la soluzione u di (1.7) lungo le soluzioni di (1.8), ossia consideriamo la
funzione φ(s) = u(x(s), t(s)), si ha:
˙φ(s) = ˙x(s)ux(x(s), t(s)) + ˙t(s)ut(x(s), t(s))
= a(x(s), t(s))ut(x(s), t(s)) + b(x(s), t(s))ux(x(s), t(s))
= f(x(s), t(s), u(x(s), t(s)))
= ψ(s, φ(s)).

14CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI
Pertanto, lungo le caratteristiche, l’equazione alle derivate parziali (1.7) si riscrive come
un’equazione differenziale ordinaria: le caratteristiche sono definite proprio in modo che il
termine a sinistra in (1.7) diventi una derivata totale rispetto al parametro che descrive le
caratteristiche stesse. Abbiamo quindi ridotto lo studio un’equazione alle derivate parziali
allo studio di equazioni differenziali ordinarie e, mediante questo metodo, siamo in grado
di determinare la soluzione dell’equazione (1.7), con dato iniziale
u(x0(σ), t0(σ)) = u0(σ) (1.9)
assegnato lungo una curva C (di equazioni parametriche (x0(σ), t0(σ))) regolare contenuta
nel dominio Ω ⊂ R 2 di definizione del problema di Cauchy preso in considerazione. Come
già osservato nell’Esempio 1.1.1, per far sì che questo metodo sia efficace, le caratteristiche
devono poter “pescare” informazioni dalla curva del dato iniziale C e trasportarle in un
aperto U ⊂ Ω, nel quale otterremo la soluzione cercata. Pertanto, nel teorema di esistenza
e unicità locali per (1.7)–(1.9), ci aspettiamo una condizione di compatibilità tra le caratteristiche
dell’equazione (1.7) e la scelta della curva del dato iniziale C. Più precisamente, è
naturale richiedere che, in ogni punto della curva C nel quale vogliamo costruire la soluzione
locale del problema di Cauchy, la curva caratteristica e la curva C siano trasversali, cioè
non abbiano la stessa tangente. Questo risultato è stabilito dal teorema seguente.
Teorema 1.1.2 Sia dato il problema di Cauchy (1.7)–(1.9) per (x, t) ∈ Ω ⊂ R2 , dove la
curva iniziale C ⊂ Ω è regolare e le funzioni a, b, f sono funzioni regolari delle loro variabili
e tali che a(x, t) 2 + b(x, t) 2 = 0 per ogni (x, t) ∈ Ω. Sia (x0, t0) = (x0(σ0), t0(σ0)) ∈ C un
punto della curva iniziale tale che C non sia caratteristica in (x0, t0) rispetto all’equazione,
vale a dire:
a(x0, t0) dx0
dσ
σ=σ0
− b(x0, t0) dt0
dσ
σ=σ0
= 0. (1.10)
Allora esiste un aperto U ⊂ Ω, con (x0, t0) ∈ U, e un’unica soluzione u = u(x, t) di
(1.7)–(1.9), che verifica (1.7) in ogni (x, t) ∈ U e (1.9) in ogni punto di C contenuto in U.
Osservazione 1.1.3 Come abbiamo anticipato, per poter avere un risultato di esistenza
e unicità per (1.7)–(1.9), è necessario avere una condizione di trasversalità tra le caratteristiche
stesse e la curva del dato iniziale C. Tale trasversalità è garantita dalla condizione
(1.10) del Teorema 1.1.2. Infatti, il vettore τ = (b(x0, t0), a(x0, t0)) rappresenta il vettore
tangente alla caratteristica nel punto (x0, t0) (si veda
la definizione delle caratteristiche
tramite il sistema (1.8)), mentre il vettore ν0 = − dt0
dσ ,
σ=σ0
dx0
dσ è il vettore nor-
σ=σ0
male alla curva iniziale C nel punto (x0, t0), essendo ortogonale al vettore tangente a tale
dx0
curva, vale a dire il vettore T0 =
dσ ,
σ=σ0
dt0
dσ . Pertanto, la condizione (1.10) in
σ=σ0
termini di tali vettori diventa 〈τ, ν0〉 = 0. In altre parole, il vettore tangente alla caratteristica
non è ortogonale alla normale alla curva del dato iniziale C in (x0, t0), cioè la
caratteristica e la curva del dato iniziale C non hanno la stessa tangente in (x0, t0) (vedere
la Figura 1.3).

1.2. EQUAZIONI SEMILINEARI DEL SECONDO ORDINE IN DUE VARIABILI 15
ν 0
τ
T 0
caratteristica
curva iniziale C
Figura 1.3: interpretazione geometrica della condizione (1.10)
Esempio 1.1.4 Una classe di esempi fisicamente importanti è fornito dal seguente problema
di Cauchy:
ut + b(x, t)ux = f(x, t, u)
u(x, 0) = u0(x),
(1.11)
cioè problemi di Cauchy con dato assegnato lungo la curva {t = 0} per equazioni della
forma (1.7) con a(x, t) = 1. In questo caso, l’asse delle x non è caratteristico rispetto
all’equazione considerata in ogni punto (x0, 0). Infatti, il vettore normale a tale curva è
dato, in ogni punto, da (0, 1) e pertanto la condizione (1.10) diventa:
1 · 1 + b(x0, 0) · 0 = 1 = 0.
Osserviamo che lo stesso risultato si ottiene per equazioni con coefficiente a(x, t) = 0 (e
non necessariamente uguale a 1), in quanto in questo caso (1.10) diventa:
a(x0, 0) · 1 + b(x0, 0) · 0 = a(x0, 0) = 0,
ma, d’altra parte, tali equazioni si possono ricondurre alla forma (1.11) semplicemente
dividendo per a(x, t).
1.2 Equazioni semilineari del secondo ordine in due
variabili
Consideriamo la PDE semilineare del secondo ordine
a(x, y)uxx + 2buxy + c(x, y)uyy = F (x, y, u, ux, uy), (1.12)

16CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI
ove F è supposta analitica nelle sue componenti per semplicità. Supponiamo anche che a, b
e c siano analitiche nelle loro componenti. Non esiste un metodo generale per la risoluzione
dell’equazione (1.12) senza ulteriori ipotesi sui coefficienti a, b e c. Una equazione della
forma (1.12) viene classificata a seconda del segno del determinante
d := detA = a(x, y) b(x, y)
= a(x, y)c(x, y) − b
b(x, y) c(x, y)
2 (x, y). (1.13)
Si distinguono i seguenti casi:
• Se d > 0 l’equazione (1.12) si dice ellittica. Esempio tipico di equazione ellittica è
l’equazione di Laplace
uxx + uyy = 0,
ove d = 1.
• Se d < 0 l’equazione (1.12) si dice iperbolica. Esempio tipico di equazione iperbolica
è l’equazione delle onde
utt − c 2 uxx = 0, c > 0,
ove d = −c 2 .
• Se d = 0 e la suddetta matrice A non è identicamente nulla, l’equazione (1.12) si dice
parabolica. Esempio tipico di equazione parabolica è l’equazione del calore
ut − αuyy = 0, α > 0.
Durante il corso incontreremo equazioni di tutti e tre i tipi sopra elencati. Si tratta di
equazioni per le quali è spesso possibile determinare esplicitamente le soluzioni. Analogamente
ad una ODE, anche una PDE può avere infinite soluzioni a meno che non si imponga
il valore della soluzione su un dato insieme. Nella sezione A.7 è richiamato un risultato
di esistenza ed unicità per sistemi di ODE nel caso in cui si imponga il dato iniziale su
un punto (ad esempio t = 0). Dato che nelle PDE la variabile indipendente è un vettore
multidimensionale, appare naturale che il dato debba essere imposto su un insieme di dimensione
maggiore di un semplice punto. In particolare, vedremo come nel caso in cui la
variabile indipendente è un vettore bidimensionale, il dato debba essere assegnato su una
curva del piano. Prima di anticipare un risultato di esistenza per PDE del secondo ordine,
è necessario introdurre – anche qui come nella sezione precedente – un concetto di curva
caratteristica.
Definizione 1.2.1 Una curva γ in forma implicita Φ(x, y) = 0 del piano R 2 si dice una
curva caratteristica per l’equazione (1.12) nel punto (x, y) ∈ R 2 se valgono le seguenti
condizioni
• La curva γ è regolare,

1.2. EQUAZIONI SEMILINEARI DEL SECONDO ORDINE IN DUE VARIABILI 17
• Nel punto (x, y) vale la relazione
a(x, y)Φ 2 x + 2b(x, y)ΦxΦy + c(x, y)Φ 2 y = 0.
Nel seguente teorema diamo un risultato generale di esistenza locale di soluzioni. L’unicità
della soluzione è un problema spesso complicato, che tratteremo in alcuni casi
particolari.
Teorema 1.2.2 (Teorema di Cauchy–Kovalevsky) Sia data una curva γ che non sia
una curva caratteristica per l’equazione (1.12) in nessun punto del suo supporto. Supponiamo
che le funzioni a, b, c, F nella (1.12) siano analitiche. Supponiamo assegnati i dati al
bordo
∂u
u(x, y) = φ(x, y) (x, y) = ψ(x, y), per ogni (x, y) ∈ γ, (1.14)
∂n
ove il simbolo ∂u (x, y) indica la derivata di u lungo la direzione normale a γ. Supponiamo
∂n
anche che i dati φ e ψ siano analitici. Allora esiste una soluzione u dell’equazione (1.12)
accoppiata con i dati al bordo (1.14) definita in un intorno piano della curva γ.
1.2.1 Problemi ben posti
Così come le equazioni differenziali ordinarie, anche le equazioni alle derivate parziali possono
essere risolte in domini diversi, con condizioni al bordo di diversa natura. Iniziamo
questo paragrafo trattando il caso delle PDE evolutive (ovvero in cui una delle variabili
scalari indipendenti rappresenta il tempo t) di tipo parabolico ed iperbolico (avendo in
mente come esempi tipici l’equazione del calore e l’equazione delle onde). Cominciamo
con il caso semplice in cui la variabile spaziale ha dimensione uno, ovvero l’incognita u è
del tipo u = u(x, t). Supponiamo che la variabile x varia in un segmento [0, L] sull’asse
reale e che il tempo t varia in un intervallo [0, T ]. Se vogliamo studiare l’evoluzione di u
è ragionevole precisare anzitutto il suo valore iniziale al tempo t = 0. Occorre dunque
assegnare un dato iniziale u(x, 0) = u0(x). Ciò sufficiente nel caso in cui l’ordine massimo
di derivazione rispetto a t sia 1, ad esempio nel caso dell’equazione del calore. In generale
(anche qui in analogia alle ODE) occorre imporre al tempo t = 0 un numero di dati pari
all’ordine massimo di derivazione rispetto al tempo t. Quindi, nel caso dell’equazione delle
onde occorre imporre due dati, ovvero
u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x).
L’insieme dei dati iniziali di un’equazione è detto dato di Cauchy.
Molto spesso il dato di Cauchy non è sufficiente a determinare la soluzione in modo
unico, in quanto occorre anche tenere conto di come u varia agli estremi dell’intervallo,
assegnando dei dati al bordo. Ad esempio, potremmo assegnare i dati u(0, t) e u(L, t)
per t ≥ 0, che sono detti dati di Dirichlet. In altri casi possiamo assegnare i valori delle
derivate spaziali ux(0, t) e ux(L, t), che sono detti dati di Neumann. In alcune applicazioni
ha senso studiare il problema su tutta la retta reale senza condizioni al bordo. Quando ciò

18CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI
accade, il problema dato dalla PDE accoppiata con il suo dato iniziale è detto problema di
Cauchy. Se il dato iniziale è accompagnato da dati di Dirichlet su un intervallo, il problema
è detto di Cauchy–Dirichlet, mentre se il dato iniziale è accompagnato da dati di Neumann
il problema è detto di Cauchy–Neumann.
Si può dimostrare che tutti questi problemi sono ben posti, ovvero esiste sempre una
soluzione unica e vi è continuità rispetto ai dati iniziali e alle condizioni al bordo. Quest’ultima
affermazione rimarrà un po’ oscura, in quanto in questo corso non sempre (quasi mai)
ci occuperemo continuità rispetto ai dati. Interpretiamola nel senso seguente: se variamo
‘di poco’ i dati iniziali ed i dati al bordo, allora la soluzione varia ‘di poco’.
Le definizioni appena date si generalizzano in modo naturale al caso n > 1, in cui la
variabile spaziale vive in una regione V limitata del piano o dello spazio tridimensionale.
Per ottenere una soluzione è necessario anche qui assegnare condizioni iniziali e condizioni
al bordo. Nel caso delle condizioni di Dirichlet assegneremo in valore di u in ogni punto
del bordo ∂V . Le condizioni di Neumann corrispondono all’assegnazione della derivata
direzionale di u nella direzione normale uscente dal bordo ν. Si possono assegnare anche
condizioni al bordo miste, ovvero fissare i valori di u in alcuni punti di ∂V ed i valori di
∂νθ negli altri punti. Un’altra possibilità è quella di assegnare in un punto del bordo un
valore corrispondente ad una particolare combinazione lineare di u e ∂νu, ovvero
∂νu + αu = β
con α > 0 e β una funzione data. In tal caso si parla di condizione di radiazione (o di
Robin). Infine, anche in dimensione maggiore di uno ha senso risolvere il problema di
Cauchy su tutto lo spazio. In tutti questi casi i problemi sono ben posti nel senso sopra
specificato. Dimostreremo tale asserto solo in parte e solo in alcuni casi.
Infine consideriamo il caso delle equazioni ellittiche. Esse modellano spesso un problema
in cui non vi sia dipendenza dal tempo, quindi le variabili spaziali vivono in una regione
V ⊂ R n con n = 2 o n = 3 4 . Allora si parlerà semplicemente di problema di Dirichlet o
di Neumann o misto o di Robin se i dati assegnati su ∂V corrispondono a quelli descritti
precedentemente nei rispettivi casi.
4Il concetto di equazione ellittica in più di due variabili non è stato introdotto per semplicità. Lo
facciamo ora: Un’equazione semilineare del secondo ordine
i,j ai,j(x1, x2, x3)uxixj = F (x1, x2, x3, u, ∇u)
si dice ellittica in (x1, x2, x3) se gli autovalori della matrice simmetrica (ai,j)(x1, x2, x3) sono non nulli e
hanno tutti lo stesso segno.

Capitolo 2
Modelli di diffusione
2.1 L’equazione del calore
L’equazione del calore (o equazione di diffusione lineare) per una funzione u(x, t), x ∈ R n
variabile spaziale, t > 0 variabile temporale, ha la forma
ove ∆ indica l’operatore di derivazione di Laplace
∂tu = µ∆u + f(x, t), (2.1)
∆u =
n
i=1
∂2u ∂x2 ,
i
µ è una costante positiva e f è una funzione nota. Nel caso in cui f ≡ 0, l’equazione di dice
omogenea. Come abbiamo visto nel paragrafo 1.2, l’equazione del calore è un’equazione
parabolica. Nel paragrafo seguente ricaveremo l’equazione (2.1) come modello di trasporto
di energia termica a densità costante. Nella sezione 4.8 vedremo che un’equazione analoga
si può ricavare da modelli dispersivi di trasporto di materia.
2.1.1 Un modello di propagazione del calore
La denominazione dell’equazione (2.1) è dovuta al fatto che essa descrive l’evoluzione della
temperatura in un mezzo omogeneo ed isotropo, con densità costante ρ, che può ricevere
calore da una sorgente. Indichiamo con r il tasso di calore per unità di massa fornito al
corpo dall’esterno, e consideriamo un volume V all’interno del corpo. La legge di bilancio
dell’energia richiede che il tasso di variazione dell’energia interna in V eguagli il flusso di
calore attraverso il bordo ∂V di V , dovuto alla conduzione, più quello dovuto alla sorgente
esterna. Sia e l’energia interna per unità di massa (densità di energia interna), la quantità
totale di energia interna in V è data da
eρdx.
V
19

20 CAPITOLO 2. MODELLI DI DIFFUSIONE
Indichiamo con −→ q il vettore flusso di calore, ovvero, data una superficie infinitesima dσ
del bordo di V centrata in x ∈ ∂V con versore normale esterno −→ ν , ( −→ q , −→ ν )dσ esprime la
quantità di energia che fluisce attraverso dσ nell’unità di tempo. L’uso del prodotto scalare
è coerente con l’osservazione che non c’è alcun flusso di energia se il vettore −→ q è parallelo
alla superficie del bordo (e quindi normale a −→ ν ). Il flusso di calore entrante attraverso
l’intera superficie ∂V è dato da
−
∂V
( −→ q , −→
ν )dσ = − div
V
−→ q dx,
ove abbiamo usato il teorema di Gauss (vedi teorema A.4.3). Infine, il contributo dovuto
alla sorgente di calore esterna è dato da
rρdx.
V
Il bilancio dell’energia, dunque, richiede la seguente relazione:
d
dt
eρdx = − div −→
q dx + rρdx. (2.2)
V
V
Assumiamo ora due relazioni costitutive. La prima è la legge di Fourier per la conduzione
del calore, secondo cui il flusso di calore è proporzionale al gradiente della temperatura
secondo la relazione
−→ q = −κ∇θ, (2.3)
dove θ è la temperatura assoluta e κ > 0 è una costante legata alle proprietà del materiale
detta conducibilità termica 1 . Il segno meno nella (2.3) è dovuto al fatto che il calore fluisce
da zone ad alta temperatura a zone a bassa temperatura. La seconda equazione costitutiva
mette in relazione energia interna e temperatura secondo la legge
e = cvθ,
ove cv è il calore specifico a volume costante del materiale. La relazione precedente, le (2.3)
ed il bilancio energetico (2.2) implicano
[cvρθt − κ∆θ − rρ] dx = 0.
V
Poichè tale relazione è vera per ogni volume V , l’integranda deve essere identicamente nulla
(vedi teorema A.4.1). Otteniamo dunque l’equazione
ove µ = κ/cvρ e f = r/cv.
V
θt = µ∆θ + f, (2.4)
1 In talune applicazioni, la conducibilità termica non può essere considerata costante, ma dipendente da
θ. Ci occuperemo di tale eventualità nella sezione 2.3

2.1. L’EQUAZIONE DEL CALORE 21
2.1.2 Problemi ben posti per l’equazione del calore
Supponiamo che la soluzione u della equazione (2.1) rappresenti la temperatura di una
sbarra di sezione trascurabile. Possiamo pensare alla sbarra come al segmento [0, L] sull’asse
reale. La posizione sulla sbarra è detta x. Il tempo t varia in un intervallo [0, T ].
Se vogliamo studiare l’evoluzione della temperatura è ragionevole precisare la sua distribuzione
iniziale. Occorre dunque assegnare un dato iniziale u(x, 0) = u0(x) di Cauchy.
D’altra parte, occorre anche tenere conto di come la sbarra interagisce con l’ambiente
circostante. Ad esempio, potremmo tenere la temperatura ad un livello desiderato agli
estremi delle sbarre. Ciò equivale ad assegnare i dati di Dirichlet u(0, t) e u(L, t) per t ≥ 0.
Anziché la temperatura, si potrebbe controllare il flusso di calore agli estremi, che sappiamo
essere proporzionale a ux per la legge di Fourier. Dunque, possiamo assegnare ux(0, t)
e ux(L, t), assegnando così dei dati di Neumann. In alcune applicazioni ha senso studiare
il problema di Cauchy su tutta la retta reale senza condizioni al bordo.
Nel caso multidimensionale pensiamo ad un corpo conduttore di calore che occupi una
regione V limitata del piano o dello spazio tridimensionale. Nel caso delle condizioni
di Dirichlet assegneremo la temperatura in ogni punto del bordo ∂V . Le condizioni di
Neumann corrispondono all’assegnazione del flusso di calore al bordo, ovvero q = −κ∇u
secondo la legge di Fourier. Siccome ci interessa il flusso entrante, assegneremo al bordo i
valori di −q · ν = κ∂νu, ovvero la derivata direzionale di θ nella direzione normale uscente
dal bordo ν. Anche qui può avere senso assegnare condizioni miste o di Robin 2 .
Per concludere questa sezione, consideriamo una soluzione non negativa ρ(x, t) del
problema di Cauchy relativo all’equazione del calore tale che la massa totale 3 della soluzione
ρ(x, t)dx sia finita ad ogni tempo t. Allora, integrando l’equazione del calore su tutto lo
spazio R n e derivando rispetto al tempo otteniamo
d
dt Rn
ρ(x, t)dx = D
Rn ∆ρ(x, t)dx.
Ora, dato che la soluzione ha massa finita, essa è essenzialmente nulla per |x| → +∞. 4
Supponendo per semplicità che ρ(·, t) sia identicamente uguale a zero al di fuori della sfera
B(0, R) con R grande, usando il teorema di Gauss A.4.3, l’integrale a secondo membro
nella relazione precedente si riduce all’integrale superficiale
∂ρ
D
dσ = 0,
∂B(0,2R) ∂ν
che implica che l’integrale ρ(x, t)dx si conserva nel tempo. Tale fenomeno è matematicamente
detto conservazione della massa.
2 vedi paragrafo 1.2.1
3 Il termine ‘massa’ è fisicamente inappropriato, visto che l’incognita rappresenta una temperatura. Tale
termine viene usato per analogia con altri modelli, in particolare quelli trattati nel capitolo 6.
4 Si pensi ad esempio al caso in cui ρ ammette limite l per x → +∞. Se l fosse diverso da zero, l’integrale
di ρ su tutto R dovrebbe essere necessariamente infinito.

22 CAPITOLO 2. MODELLI DI DIFFUSIONE
2.1.3 Evoluzione della temperatura in una sbarra omogenea. Tendenza
all’equilibrio
Vediamo nel seguito un semplice esempio di problema di Cauchy–Dirichlet risolto mediante
il cosiddetto metodo della separazione delle variabili. Lo scopo è quello di constatare che
l’evoluzione del modello corrisponde alla previsione suggerita dalla fisica. Una sbarra di
lunghezza L è tenuta inizialmente a temperatura θ0. Successivamente, l’estremo x = 0
è mantenuto alla stessa temperatura, mentre l’estremo x = L viene mantenuto ad una
temperatura costante θ1 > θ0. Vogliamo sapere come evolve la temperatura.
Prima di fare calcoli, proviamo a congetturare che cosa può succedere. Dato che θ1 >
θ0, dall’estremo caldo comincerà a fluire calore causando un aumento della temperatura
all’interno e una fuoruscita di calore dall’estremo freddo. All’inizio, il flusso entrante sarà
superiore al flusso uscente, ma col tempo, con l’aumento della temperatura all’interno, esso
comincerà a diminuire, mentre il flusso uscente aumenterà. Ci si aspetta che prima o poi i
due flussi si bilancino e si assestino su una situazione stazionaria. Sarebbe poi interessante
avere informazioni sul tempo di assestamento.
Cerchiamo ora di dimostrare che questo è esattamente il comportamento che il nostro
modello matematico riproduce. Il problema è:
con le condizioni
θt − Dθxx = 0 t > 0, 0 < x < L
θ(x, 0) = θ0
0 ≤ x ≤ L
θ(0, t) = θ0 θ(L, t) = θ1 t > 0.
Non lasciamoci impressionare dal fatto che il dato iniziale non si raccordi con continuità
con quello laterale all’estremo x = L; vedremo dopo che cosa ciò comporti. Conviene
riformulare il problema passando a variabili adimensionali, riducendo i dati a 0 e a 1. Per
passare a variabili adimensionali occorre riscalare tutte le variabili rispetto a grandezze
caratteristiche del sistema. Ad esempio, la lunghezza della sbarra è una caratteristica che
possiamo usare per riscalare la variabile spaziale. Poniamo dunque
y = x
L
che è ovviamente una grandezza adimensionale essendo rapporto tra lunghezze. Notiamo
poi che 0 ≤ y ≤ 1. Osserviamo poi che la costante D ha come dimensione
[lunghezza] 2 × [tempo] −1 .
La costante τ = L2 ha dunque le dimensioni di un tempo, ed è legata alle caratteristiche
D
del problema. Poniamo dunque
s = t
τ

2.1. L’EQUAZIONE DEL CALORE 23
che è anche essa una quandità adimensionale. Poniamo infine
Risulta
u(y, s) =
θ(Ly, τs) − θ0
.
θ1 − θ0
u(y, 0) = 0 0 ≤ y ≤ 1
u(0, s) = 0 u(1, s) = 1 s > 0.
Inoltre, semplici calcoli permettono di ricavare l’equazione derivate parziali soddisfatta da
u, ovvero
us − uyy = 0.
Abbiamo così riformulato il nostro problema di Cauchy–Dirichlet in variabili adimensionali.
Cominciamo con il determinare la soluzione stazionaria u S del problema, ovvero quella
soluzione che si ottiene dimenticandoci della condizione iniziale, tenendo conto delle condizioni
al bordo e richiedendo che la soluzione non dipenda dal tempo. Stiamo cercando
quindi una funzione u = u(y), 0 ≤ y ≤ 1, tale che uyy = 0, u(0) = 0 e u(1) = 1. Si trova
facilmente la funzione lineare u S (y) = y, che nelle variabili originali è data da
che corrisponde ad un flusso di calore
θ S (x) = θ0 + (θ1 − θ0) x
L ,
∂θS ∂x ≡ −κθ1 − θ0
L
uniforme lungo la sbarra.
Dalle considerazioni precedenti, la soluzione stazionaria è per noi un punto di riferimento,
dato che ci aspettiamo che l’evoluzione di u sia molto vicina ad essa per tempi s
molto grandi. Conviene dunque considerare l’incognita
U(y, s) = u S (y) − u(y, s) = y − u(y, s),
detta regime transitorio. Ci aspettiamo dunque che U tenda a zero per s → +∞. Osserviamo
che U soddisfa Us − Uyy = 0 con dato iniziale U(y, 0) = y e dati al bordo
U(0, s) = U(1, s) = 0. L’introduzione del regime transitorio ha apportato un vantaggio: i
dati al bordo di Dirichlet sono diventati omogenei, ovvero nulli.
Cerchiamo ora una formula esplicita per la soluzione U usando il metodo della separazione
delle variabili. Poniamo
U(y, s) = w(s)v(y),
per cui l’equazione differenziale per U diventa
0 = w ′ (s)v(y) − w(s)v ′′ (y),

24 CAPITOLO 2. MODELLI DI DIFFUSIONE
da cui, separando le variabili,
w ′ (s)
w(s) = v′′ (y)
v(y) .
Come sempre avviene usando tale metodo, il primo membro dipende solo da s, il secondo
dipende solo da y, per cui l’unica possibilità è che siano entrambi uguali ad una costante
λ, il che conduce alle due equazioni
v ′′ (y) = λv(y) (2.5)
w ′ (s) = λw(s). (2.6)
Usiamo l’equazione (2.5) con le condizioni al bordo v(0) = v(1) = 0 per determinare λ. Vi
sono tre casi.
• Se λ = 0 si ha v(y) = A + By, il che porta a v(y) ≡ 0 in virtù delle condizioni al
bordo.
• Se λ = µ 2 > 0, allora v(y) = Ae −µy + Be µy , ed ancora una volta le condizioni al
bordo implicano v(y) ≡ 0.
• Se infine λ = −µ 2 < 0, allora si ha v(y) = A sin µy + B cos µy. Imponendo le
condizioni al bordo si trova
v(0) = B = 0
v(1) = A sin µ + B cos µ = 0
da cui A è una costante arbitraria, B = 0 e µ = mπ, con m = 1, 2, 3, . . ..
Dunque solo il terzo caso produce delle soluzioni non nulle, cioè
vm(y) = A sin mπy, m ∈ N.
Sostituendo i valori λ = −m 2 π 2 alla (2.6) otteniamo le soluzioni
wm(s) = Ce −m2 π 2 s ,
che portano alla seguente famiglia di soluzioni per U
Um(y, s) = Ame −m2 π 2 s sin mπy, m ∈ N.
Ricordiamo che per le equazioni alle derivate parziali lineari omogenee vale il principio
di sovrapposizione 5 , per cui la somma di soluzioni è ancora una soluzione. Formalmente,
dunque, la somma infinita
5 Vedi il teorema 1.0.1
U(y, s) =
∞
Ame −m2π2s sin mπy (2.7)
m=1

2.1. L’EQUAZIONE DEL CALORE 25
costituisce la forma più generale della soluzione del problema con i dati al bordo. La
condizione iniziale determinerà i coefficienti Am, dandoci una soluzione unica. Per determinare
tali coefficienti usiamo lo sviluppo in serie di Fourier6 del dato iniziale (il cui calcolo
è lasciato per esercizio)
y =
∞
m=1
m+1 2
(−1)
mπ
Imponendo U(y, 0) = y otteniamo dunque la soluzione
U(y, s) =
∞
m=1
sin mπy.
m+1 2
(−1)
mπ e−m2 π2s sin mπy.
Osservando l’espressione di U si osserva immediatamente che per s molto grande l’ampiezza
delle oscillazioni delle componenti sinuisoidali diminuisce esponenzialmente. Si può dire di
più: la soluzione U(y, s) tende a zero uniformemente per s → +∞, ovvero
sup
y∈[0,1]
|U(y, s)| → 0, per s → +∞.
Dimostriamo tale affermazione. Dalla disuguaglianzza triangolare e dalla formula esplicita
per la serie geometrica 7 abbiamo
sup |U(y, s)| ≤
y∈[0,1]
= 2
π
m=1
1
1 − e−π2 − 1
s
∞ 2
mπ e−m2 π2s 2
≤
π
= 2
π
e −π2 s
1 − e −π2 s .
∞
m=1
e −mπ2 s
Scegliendo ad esempio s > 1 (siamo interessati al limite per s → +∞) abbiamo
sup |U(y, s)| ≤
y∈[0,1]
2
π(1 − e −π2 ) e−π2 s ,
il che dimostra la tesi e ci dice che il decadimento a zero avviene in modo esponenziale. Ciò
prova dunque in modo rigoroso che il regime transitorio tende a zero, e che la temperatura
della sbarra tende a distrubuirsi in modo stazionario per tempi grandi.
Esercizio 2.1.1 Riportare tutti i risultati e le formule precedenti nelle variabili originarie
θ(x, t) e stabilire da quali quantità dipende il tasso di decadimento esponenziale di θ(t).
6 Un breve richiamo sulle serie di Fourier è contenuto nella sezione A.6 in appendice
7 Dato un numero reale a tale che 0 < a < 1, si ha ∞
n=0 an = 1
1−a .

26 CAPITOLO 2. MODELLI DI DIFFUSIONE
2.1.4 Il metodo dell’energia. Unicità
Consideriamo due soluzioni u e v dell’equazione del calore ut = D∆u su un dominio V ⊂
Rn , n > 1. Supponiamo che u e v assumano lo stesso dato iniziale u(x, 0) = v(x, 0) = g(x)
per ogni x ∈ V . Supponiamo inoltre che per u e v valgano le stesse condizioni al bordo,
siano esse di Dirichlet, di Neumann, miste, di Robin. Consideriamo ora la differenza tra le
due soluzioni w = u − v. Ovviamente si ha wt = D∆w per il principio di sovrapposizione.
Inoltre w(x, 0) ≡ 0. A seconda dei diversi tipi di dati al bordo, w soddisfa una delle seguenti
condizioni: w = 0 nel caso di condizioni di Dirichlet, ∂νw = 0 nel caso di condizioni di
Neumann, ∂νw + αw = 0 con α > 0 nel caso di condizioni di Robin, w = 0 su A ⊂ ∂V e
∂νw = 0 su ∂V \ A nel caso di problema misto.
Moltiplichiamo l’equazione di diffusione per w ed integriamo sul dominio V . Otteniamo
wwtdx = D w∆wdx. (2.8)
V
Ora, passando la derivata temporale sotto il segno di integrale (possiamo farlo perchè
l’integrale è rispetto ad x), otteniamo
2 w
wwtdx = D dx =
2
1
d
w
2 dt
2 dx.
V
V
Inoltre, dal teorema di Gauss A.4.3 e dalla regola di derivazione del prodotto abbiamo
w∆wdx = div(w∇w)dx − |∇w| 2
dx = w∂νwdσ − |∇w| 2 dx.
V
V
Sostituendo le ultime due identità nella (2.8), ponendo
E(t) := w 2 dx,
otteniamo
V
1 d
E(t) = D w∂νwdσ − D |∇w|
2 dt ∂V
V
2
dx ≤ D w∂νwdσ.
∂V
Se vale la condizione di Robin
∂V
In tutti gli altri casi
Di conseguenza si ha
V
t
V
∂V
w∂νwdσ = −α w
∂V
2 dx ≤ 0.
∂V
w∂νwdx = 0.
d
E(t) ≤ 0.
dt
V
V

2.1. L’EQUAZIONE DEL CALORE 27
Il funzionale non negativo t → E(t) è detto energia. Esso decresce nel tempo, per cui si ha
E(t) ≤ E(0) = w(x, 0) 2 dx = 0,
V
da cui segue che E(t) ≡ 0 per ogni t ≥ 0. Dato che l’integranda in E(t) è non negativa,
ciò implica che essa deve essere identicamente nulla, ovvero w(x, t) ≡ 0 per ogni x ∈ V ,
t ≥ 0, ovvero u ≡ v. Quanto appena mostrato si può dunque sintetizzare nel seguente
Teorema 2.1.2 I problemi di Cauchy–Dirichlet, Cauchy–Neumann, Cauchy–Robin e misto
per l’equazione del calore (2.1) hanno al più una soluzione.
2.1.5 La soluzione fondamentale
Abbiamo già osservato che, grazie al principio di sovrapposizione, è possibile costruire
soluzioni dell’equazione del calore a partire da altre soluzioni. Ciò è possibile anche usando
la proprietà di invarianza di scala che ci accingiamo a mostrare. Data una soluzione
u(x, t) dell’equazione del calore su R n × [0, +∞) tale che il suo integrale su tutto R n è
finito, vogliamo costruire un’altra soluzione v definita come
v(x, t) = cu(ax, bt),
con costanti positive a, b, c da determinare, tale che
u(x, t)dx = v(x, t)dx.
Stiamo dunque cercando una soluzione v costruita a partire dalla soluzione mediante
omotetie sulle variabili dipendenti ed indipendenti (tale operazione è detta scaling, o riscalamento
delle variabili) in modo tale che la massa totale udx sia conservata. Sostituendo
l’espressione per v nell’equazione del calore soddisfatta da u, ponendo τ = bt e y = ax,
otteniamo
0 = uτ − D∆yu = 1
cb vτ − 1
D∆xv.
ca2 Dunque v soddisfa ancora l’equazione del calore se b = a2 . Per la conservazione della massa
occorre inoltre che c = an , come appare evidente dal calcolo
v(x, t)dx = cu(ax, bt)dx = ca −n
u(y, τ)dy.
In conclusione, in corrispondenza di una soluzione u e di un parametro arbitrario positivo
a abbiamo costruito una nuova soluzione ua(x, t) = a n u(ax, a 2 t). Appare naturale, a questo
punto, cercare delle soluzioni che rimangano invariate a seguito dello scaling precedente,
cioè tali che u = ua per ogni a. Affermiamo che ciò è possibile solo scegliendo u(x, t) nel
modo seguente:
n
1
− −
u(x, t) = G(x, t) := t 2 U(ξ), ξ = xt 2 . (2.9)

28 CAPITOLO 2. MODELLI DI DIFFUSIONE
Mostriamo che una u siffatta è invariante rispetto all’operazione u ↦→ ua per ogni a > 0:
ua(x, t) = a n G(ax, a 2 t) = a n (a 2
n
−
t) 2 U ax(a 2
1
n
1
− − −
t) 2 = t 2 U xt 2 = G(x, t).
Per ragioni che risulteranno chiare tra pochissimo, trovare una soluzione della forma (2.9)
ci interessa moltissimo. Ovviamente, il lavoro ancora da fare consiste nel determinare U
nella formula (2.9). Imponendo che G(x, t) soddisfi l’equazione del calore, otteniamo
n
−
0 = Ut − D∆xU = t 2 −1
che possiamo riscrivere come
− n
2
1
n
−
U − ξ · ∇ξU − t 2
2 −1 D∆ξU,
div D∇U + 1
2 ξU
= 0.
Ricordiamo che la nostra funzione U : R n → R dovrà essere integrabile su tutto R n . Per
semplificare la situazione, imponiamo anche che essa sia sempre diversa da zero. Possiamo
quindi dividere e moltiplicare per U all’interno dell’operatore di divergenza ottenendo
0 = div U D ∇U
ξ
+ = div U∇ D log U +
U 2
|ξ|2
.
4
L’equazione precedente è soddisfatta ad esempio se
D log U + |ξ|2
4
= costante.
In realtà, dal fatto che U deve essere integrabile segue che non vi possono essere soluzioni
diverse. Abbiamo quindi ottenuto l’espressione
ovvero
|ξ|2
−
U(ξ) = Ce 4D ,
G(x, t) = Ct −n/2 |x|2
−
e 4Dt .
La funzione G è detta soluzione fondamentale (o soluzione Gaussiana) dell’equazione del
calore in R n . La costante C è scelta in base alla massa totale. Osserviamo che la soluzione
trovata è compatibile con l’assunzione fatta in precedenza che essa debba essere sempre
diversa da zero a condizione che t > 0. Dunque, la soluzione fondamentale è una soluzione
solo per tempi strettamente positivi. Essa, in effetti, non ammette un dato iniziale ben
definito, in quanto il suo valore in x = 0 esplode quando t → 0. Cerchiamo di chiarire
meglio questo aspetto. Osserviamo anzitutto che, per ogni x = 0, si ha
lim G(x, t) = 0.
t↘0

2.1. L’EQUAZIONE DEL CALORE 29
Come osservato in precedenza, in x = 0 si ha invece
lim G(x, t) = +∞.
t↘0
Questo suggerisce che, a meno di un insieme di misura nulla (ovvero l’unico punto x = 0),
il dato iniziale della soluzione fondamentale sia identicamente zero. Tale affermazione è in
un certo senso vera. D’altra parte, però, abbiamo
lim G(x, t)dx = costante > 0,
t↘0
R n
dato che la massa totale di G(·, t) è la stessa per ogni t > 0. Intuitivamente, questo ci
dice che la massa di G tende a concerntrarsi tutta nell’origine quando t tende a zero. Il
dato iniziale, dunque, dovrebbe essere uguale a zero quasi ovunque ed avere una massa
totale non nulla. Questo è incompatibile con il concetto classico di funzione, visto che
una funzione nulla quasi ovunque deve avere necessariamente integrale nullo (esercizio).
In questo caso, il concetto di funzione lascia spazio a quello più generale di distribuzione.
Non è interesse di questo corso definire rigorosamente il concetto di distribuzione. Qui ci
limitiamo a dire che il dato iniziale della soluzione fondamentale è una distribuzione detta
delta di Dirac, indicata con δ, che soddisfa
δ(0) = ∞, δ(x) = 0, per ogni x = 0 δ(x)dx = 1.
2.1.6 Il problema di Cauchy
Passiamo ora alla soluzione del problema di Cauchy
ut = D∆u D > 0
u(x, 0) = f(x)
ove f : R n → R è il dato iniziale. Applichiamo la trasformata di Fourier rispetto alla
variabile x all’equazione del calore ed otteniamo
dove
ût = −D|ξ| 2 û,
Fu(ξ, t) = û(ξ, t) =
R n
e −2πiξ·x u(x, t)dx
è la trasformata di Fourier di u(·, t) e dove abbiamo usato la proprietà ∂xk u = −iξkû. Detta
ˆf la trasformata di f, possiamo risolvere l’equazione (ordinaria) per û come segue
û(ξ, t) = ˆ f(ξ)e −D|ξ|2 t .

30 CAPITOLO 2. MODELLI DI DIFFUSIONE
Da un’altra nota proprietà della trasformata di Fourier, abbiamo
e
Le due formule precedenti ci danno
F −1 e −D|ξ|2 t =
u(x, t) =
1
|x|2
e− 4Dt
(2Dπt) n/2
F −1 ( ˆ f ˆg) = f ∗ g.
1
|·|2
e− 4Dt ∗ f.
(2Dπt) n/2
Dunque la soluzione del problema di Cauchy è data dalla convoluzione della soluzione
fondamentale G (moltiplicata per una costante tale da avere massa unitaria) con il dato
iniziale f.
Concludiamo questa sezione con un’osservazione importante. La formula precedente si
può scrivere come
u(x, t) = G(x − y, t)f(y)dy.
R n
Supponiamo ora che il dato iniziale f sia non negativo ed a supporto 8 compatto. Scegliamo
un qualsiasi punto x ∈ R n ed un qualsiasi istante t > 0 ed osserviamo che u(x, t) è
strettamente positivo, in quanto dato dall’integrale della funzione y → G(x − y, t)f(y)
non negativa e diversa da zero su un insieme di misura non nulla (il supporto di f, per
l’esattezza). In consequenza di ciò, il supporto della funzione u(·, t) ad un tempo t > 0
è dato da tutto lo spazio R n . Da compatto (e quindi limitato) che era per t = 0, esso è
diventato un insieme illimitato per t > 0. Quando ciò accade si dice che si ha una velocità
infinita di propagazione.
2.2 Diffusione e probabilità
In questo capitolo diamo un cenno sulla relazione esistente tra equazione di diffusione
lineare ed i processi di diffusione del calcolo delle probabilità. La trattazione, tuttavia, non
richiede alcun prerequisito di calcolo delle probabilità. Il modello che segue ha numerose
applicazioni (tra le altre) in modelli particellari di biomatematica quale ad esempio il
moto di cellule in un tessuto. L’unica causa che determina il moto, qui, è la casualità nel
movimento delle particelle 9 .
Per semplificare la trattazione supporremo che una particella si muova lungo una direzione
fissata x. Supponiamo che la particella parta dall’origine x = 0 e si muova a caso
8 Il supporto di una funzione f : Ω ⊂ R n → R è la chiusura dell’insieme A = {x ∈ Ω | f(x) = 0}, ovvero
il più piccolo insieme chiuso che contiene A, ovvero A ∪ ∂A.
9 In diverse situazioni si osserva un moto delle particelle molto ‘irregolare’, dovuto ad esempio a fenomeni
di collisione. Opportunamente giustificato e definito mediante gli strumenti del calcolo stocastico, tale
fenomeno prende il nome di ‘moto browniano’

2.2. DIFFUSIONE E PROBABILITÀ 31
lungo tale retta, occupando solo posizioni multiple intere di un passo fissato ∆x. Supponiamo
inoltre che i cambiamenti di posizione avvengano sempre e solo ogni intervallo di
tempo fissato ∆t. Se il moto non è influenzato da nessuna causa esterna, la particella ad
ogni istante k∆t ha una probabilità pari ad 1/2 di muoversi verso destra ed una probabilità
pari ad 1/2 di muoversi verso sinistra. Dopo un tempo N∆t la particella può trovarsi
dovunque tra −N∆x e N∆x. Chiaramente, dopo un tempo grande N∆t la probabilità che
essa si trovi nelle vicinanze di x = 0 sarà maggiore della probabilità che vi si trovi molto
lontana.
Vogliamo ora stabilire la probabilità p(m, n) che la particella si trovi in m∆x all’istante
n∆t. Supponendo m ed n fissati (ovviamente n ≥ m, altrimenti la probabilità è zero!),
e supponendo che la particella si sia mossa a volte verso destra e b volte verso sinistra,
otteniamo
m = a − b, a + b = n, ⇒ a =
n + m
, b = n − a =
2
n − m
.
2
Si osservi che a è univocamente determinato da n ed m e che n + m è sempre un numero
pari. Per determinare il numero totale di cammini che la particella ha potuto percorrere
per raggiongere m∆x in un tempo n∆t osserviamo che un cammino è univocamente determinato
dall’insieme dei punti del reticolo {0, ∆x, . . . , (m − 1)∆x, m∆x} in cui la particella
si è mossa verso destra. Pertanto, vi è una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei
cammini voluto e le combinazioni di a elementi in un insieme di n elementi. Pertanto il
numero di cammini desiderato è
n!
a!b! =
n!
a!(n − a)! =
n
.
a
Dato che il numero totale di cammini ad n passi è 2 n , la probabilità p(m, n) sarà data dal
numero di cammini ‘favorevoli’ diviso il numero totale di cammini, ovvero
p(m.n) = 1
2n n!
a!(n − a)! .
Ora vogliamo considerare un numero molto grande di passi n e studiare il comportamento
della particella per tempi grandi. Supponiamo dunque che n sia molto grande e che
lo stesso valga per n ± m. Utilizziamo la formula di Stirling 10
n! ∼ (2πn) 1/2 n n e −n , n ≪ 1,
che sostituita nell’espressione precedente ci fornisce l’espression asintotica
p(m, n) ∼
1
(2π) 1/2
n
a(n − a)
1/2
n
a
2a
n
2(n − a)
n−a
.
10 Si veda ad esempio il libro Esercizi e Complementi di Analisi Matematica 1 di E. Giusti.

32 CAPITOLO 2. MODELLI DI DIFFUSIONE
Sapendo che a = (n + m)/2 otteniamo
p(m, n) ∼
1/2
2
π
Per n → +∞ è immediato vedere che
n
n 2 − m 2
1/2
2 n
π n2 − m2 1/2 n+m
n
2
n + m
n−m
n
2
.
n − m
1/2
∼
1/2 2
.
πn
Inoltre, calcolando il logaritmo dei restanti fattori di p(m, n) ed utilizzando lo sviluppo di
Taylor al secondo ordine della funzione x ↦→ log(1 + x) centrato in x = 0 otteniamo
Pertanto,
n
log
n+m
2 n
n−m
2
n + m n − m
n + m
= log 1 −
2
m
n − m
+ log 1 +
n + m 2
m
n − m
= − m
2 −
m2 m
+
4(n + m) 2 −
m2
+ o(1/n) = −m2 + o(1/n).
4(n − m) 2n
p(m, n) ∼
1/2 2
m2
−
e 2n .
πn
Ora poniamo m∆x = x e n∆t = t. Effettuiamo un cosiddetto passaggio dal discreto al
continuo, in cui m, n → +∞ e ∆x, ∆t → 0, in modo che x e t siano finiti. D’altra parte, se
effettuiamo tale operazione du p(m, n otteniamo il limite banale 0. Il numero di punti sta
tendendo all’infinito, e l’ampiezza ∆x sta tendendo a zero, per cui è ragionevole analizzare
il comportamento della quantità u = p/2∆x. Otteniamo quindi
Se supponiamo che
otteniamo
p
u(x, t) = lim
∆x→0,∆t→0
x t , δx δt
2∆x
= lim
∆x→0,∆t→0
(∆x)
lim
∆x→0,∆t→0
2
2∆t
u(x, t) =
= D > 0,
1/2 1
x2
−
e 4Dt ,
4πDt
δt
2πt(∆x) 2
1/2 x2
− 2t e
∆t
(∆x) 2 .
che coincide esattamente con la soluzione fondamentale dell’equazione del calore. Il coefficiente
D è detto anche in questo caso coefficiente di diffusione.

2.3. DIFFUSIONE NON LINEARE 33
2.3 Diffusione non lineare
2.3.1 Conducibilità termica nei gas diluiti
In questa sezione riconsideriamo il modello di propagazione del calore trattato nella sezione
2.1.1. Richiamiamo l’equazione ivi ottenuta (2.4), ovvero
θt = µ∆θ + f,
con µ = κ/cvρ e f = r/cv. Ricordiamo che κ > 0 rappresenta la conducibilità termica del
mezzo. L’equazione precedente è stata ottenuta supponendo che κ sia costante. Tale ipotesi
è sensata qualora le variazioni di temperatura siano relativamente contenute. Tuttavia si
può verificare sperimentalmente che in generale la conducibilità termica κ dipende dalla
temperatura. Conviene dunque introdurre una funzione θ → φ(θ) tale che
κ = φ(θ).
Nel caso omogeneo (ovvero con r = 0) otteniamo dunque la seguente equazione per θ
1
θt = div
cvρ φ(θ)∇θ
.
Ponendo
otteniamo la seguente equazione
Φ(θ) := 1
θ
φ(s)ds,
cvρ 0
θt = ∆Φ(θ) (2.10)
detta equazione di diffusione nonlineare.
Una situazione interessante è ad esempio quella di un gas a bassa densità. In questo
caso tipicamente la conducibilità termica aumenta all’aumentare della temperatura. Tale
fenomeno può essere spiegato mediante argomenti di teoria cinetica11 che portano a ricavare
la seguente formula (per un gas monoatomico)
k = 1
d2
κ3θ π3m ,
dove κ è la costante di Boltzmann, m è la massa molecolare e d è il diametro medio
delle particelle di gas. Un fenomeno analogo avviene in casi di radiazione termica in gas
ionizzati quando le variazioni di temperatura sono molto alte. 12 Situazioni del genere sono
ben modellate dalla dipendenza polinomiale
κ = φ(θ) = Cθ n ,
11 Vedi Paragrafo 8.3 del libro ‘Fenomeni di trasporto’ di Bird, Stewart e Lightfoot
12 Vedi Capitolo 10 del libro ‘Physics of Shock Waves and High–Temperature Hydrodynamic Phenomena’
di Zel’dovich e Yu. P. Raizer.

34 CAPITOLO 2. MODELLI DI DIFFUSIONE
con n > 1 e C > 0 costante. Vedremo nel capitolo 11 come tale modello si applichi anche
ad un gas di fotoni ad altissime temperature. In tal caso avremo n = 5. L’equazione (2.10)
diventa quindi
θt = C
mcvρ ∆θm , m = n + 1.
Adimensionalizzando le variabili come nel paragrafo 2.1.3, possiamo semplificare l’equazione
precedente eliminando le costanti. In virtù di ciò, concentriamo la nostra attenzione sulla
seguente equazione
ut = ∆u m , m > 2, (2.11)
detta anche equazione dei mezzi porosi. La motivazione di tale nome è dovuta al fatto che
la (2.11) è maggiormente nota in letteratura come derivante da un modello di filtrazione
in mezzi porosi, come vedremo nel paragrafo 10.4 più avanti.
2.3.2 Le soluzioni di Barenblatt
Limitando il nostro studio al solo problema di Cauchy su tutto lo spazio, costruiremo ora
un analogo della soluzione fondamentale dell’equazione del calore. Per farlo, cerchiamo
prima la giusta trasformazione che lascia invariate le soluzioni del problema di Cauchy.
Data una soluzione u(x, t), ne cerchiamo un’altra data da
Posto y = bx e s = ct, abbiamo
v(x, t) = au(bx, ct).
vt = acus ∆xv m = a m b 2 ∆yu.
Dunque v soddisfa la stessa equazione se e solo se
c = a m−1 b 2 .
Imponiamo, come nel caso dell’equazione del calore (sezione 2.1.5), che la massa totale sia
conservata. Questo implica la condizione
Dunque abbiamo
a = b n .
v(x, t) = b n u(bx, b n(m−1)+2 t).
Ragionamenti analoghi a quelli nella sezione 2.1.5 ci inducono a cercare soluzioni della
forma
u(x, t) = t −nλ U(ξ), ξ = xt −λ ,
1
λ =
n(m − 1) + 2 .
Usando la formula di derivazione di una funzione composta abbiamo
ut = −λt −nλ−1 [nU + ξ · ∇U] = −λt −nλ−1 div(ξU)
∆xu m = t −mnλ−2λ ∆ξU m .

2.3. DIFFUSIONE NON LINEARE 35
Dalla definizione di λ segue che i due termini t −nλ−1 e t −mnλ−2λ sono uguali. Dunque, u
soddisfa l’equazione dei mezzi porosi se e solo se U soddisfa la seguente equazione
0 = ∆U m + λdiv(ξU) = div (∇U m + λξU) .
Come nella sezione 2.1.5, richiediamo per il momento che U = 0. Questo ci permette di
adottare un trucco analogo al caso dell’equazione del calore, ovvero
m ∇U
0 = div U + λξ =
U U mU m−2 ∇U + λξ
m
= U∇
m − 1 U m−1 + λ |ξ|2
.
2
Dal fatto che U sia integrabile su tutto R n segue che l’equazione precedente ha come uniche
soluzioni quelle che soddisfano
m
m − 1 U m−1 + λ |ξ|2
2
Questo porta alla seguente formula per U
U(ξ) =
= costante.
λ(m − 1)
C −
2m |ξ|2
1
m−1
,
+
ove il pedice + indica la parte positiva 13 e dove la costante C < 0 dipende dalla massa
totale. Nelle coordinate originarie otteniamo la soluzione
u(x, t) = t −nλ
C −
λ(m − 1)
2m
|x| 2
t2λ 1
m−1
.
+
La necessità di prendere la parte positiva nella formula precedente è dovuta al fatto
che il termine tra parentesi quadre non è positivo ovunque su Rn
, ma solo nella sfera
B 0, mC
λ(m−1) tλ
. Al di fuori di tale sfera fissiamo U uguale a zero, il che è compatibile
con l’equazione (2.11), dato che la funzione identicamente nulla è ovviamente soluzione.
Tale soluzione è detta soluzione di Barenblatt (o soluzione auto–similare, o soluzione di
tipo sorgente). Il supporto di U(·, t) è dunque compatto per ogni t > 0. L’insieme
∂B 0, mC
λ(m−1) tλ
, ovvero la frontiera del supporto di U(·, t), è detto frontiera libera. Esso
si espande al crescere di t con velocità tλ . Osserviamo che la velocità di espansione del
supporto diminuisce con l’aumentare dell’esponente m. Da quanto appena detto si evince
che la velocità di propagazione del supporto è in questo caso finita. L’introduzione della
non linearità nell’equazione di diffusione ha dunque prodotto come conseguenza l’esistenza
di una soluzione con supporto compatto ad ogni istante t > 0, cosa che non avviene
nel caso di diffusione lineare. La soluzione di Barenblatt è l’equivalente non lineare della
soluzione fondamentale del caso lineare (anche per quanto riguarda il dato iniziale, che è
13 x+ = max{x, 0}

36 CAPITOLO 2. MODELLI DI DIFFUSIONE
dato dalla delta di Dirac). Tuttavia, la non linearità non permette in questo caso di scrivere
una formula di convoluzione come nel caso lineare. Si può comunque dimostrare (non lo
faremo) che la velocità finita di propagazione caratterizza ogni soluzione della (2.11) con
dato iniziale a supporto compatto. Come conseguenza delle osservazioni appena esposte,
la diffusione lineare rientra nei cosiddetti casi di diffusione veloce, mentre la diffusione
nonlineare presente nell’equazione dei mezzi porosi è anche detta diffusione lenta.
2.3.3 Diffusione veloce
Casi di diffusione veloce possono verificarsi anche in fenomeni di diffusione nonlineare, quali
ad esempio la conduzione termica in un liquido, dove tipicamente la conducibilità termica
diminuisce all’aumentare della temperatura. Supponendo anche qui che la dipendenza tra
k e θ sia data in termini di una potenza, abbiamo
κ = φ(θ) = Cθ −n ,
con C > 0 e 0 < n < 1. Possiamo quindi ripetere il procedimento descritto in precedenza
per ricavare soluzioni autosimilari per la corrispondente equazione di diffusione (ottenuta,
al solito, eliminando le costanti)
Il risultato saranno dei profili del tipo
ut = ∆u m , 0 < m < 1.
Ct
u(x, t) =
|x| 2 + At2/λ 1/(1−m) ,
con λ = 2 − n(1 − m). Come si vede, si tratta di funzioni aventi per supporto tutto lo
spazio R n , con delle code all’infinito che hanno un decadimento più lento di quello delle
soluzioni Gaussiane dell’equazione del calore.

Capitolo 3
Problemi stazionari. Equazioni di
Laplace e di Poisson
Tra le più importanti equazioni alle derivate parziali ci sono senza dubbio l’equazione di
Laplace
∆u(x) = 0, x ∈ Ω ⊂ R n , n = 2, 3. (3.1)
e di Poisson
∆u(x) = f(x), x ∈ Ω ⊂ R n , n = 2, 3, f data (3.2)
Esse possono essere ricavate ad esempio come modello stazionario di diffusione, ma vedremo
nel capitolo 8 come esse siano importanti anche in idrostatica. Una funzione u : Ω → R
tale che ∆u = 0 per ogni x ∈ Ω si dice armonica su Ω.
3.1 La soluzione fondamentale
Tentiamo di ricavare una soluzione radiale dell’equazione di Laplace (3.1), ovvero
u(x) = v(r), r = |x|.
Per calcolare ∆u in questo caso occorre scrivere l’operatore Laplaciano in coordinate polari.
Fissato i ∈ {1, . . . , n}, si ha
Sommando su i si ha
Se v ′ = 0 si deduce
uxi = v′ (r)rxi = v′ (r) xi
r , uxixi = v′′ (r) x2i r2 + v′
1
(r)
r − x2i r3
.
∆u = v ′′ (r) +
n − 1
v
r
′ (r) = 0.
(log(v ′ )) ′ = v′′ 1 − n
=
v ′ r
37

38CAPITOLO 3. PROBLEMI STAZIONARI. EQUAZIONI DI LAPLACE E DI POISSON
da cui segue v ′ (r) = a
r n−1 per qualche costante a. Di conseguenza, poiché r > 0, si ha
v(r) =
b log r + c se n = 2
b
rn−2 + c se n = 3,
con a, b costanti. Abbiamo così ricavato (con una scelta particolare delle costanti), la
seguente soluzione fondamentale dell’equazione di Laplace
Φ(x) =
− 1
log |x| se n = 2
2π
1 1
n(n−2)α(n) |x| n−2 se n = 3,
dove α(n) indice il volume della sfera unitaria in R n .
La soluzione fondamentale si utilizza per risolvere l’equazione di Poisson
(3.3)
∆u = f (3.4)
su tutto lo spazio Rn . Più precisamente, affermiamo che se fè una funzione continua su
Rn , allora
u(x) = −
Rn Φ(x − y)f(y)dy (3.5)
soddisfa (3.4). Non dimostreremo tale affermazione 1 .
3.2 Problema al bordo sul cerchio per l’equazione di
Laplace.
Studiamo ora il problema di Dirichlet sul cerchio unitario di R 2 per l’equazione di Laplace
∆u(x, y) = 0 se x 2 + y 2 < 1
u(x, y) = f(x, t) se x 2 + y 2 = 1.
(3.6)
Data la geometria del dominio, conviene usare le coordinate polari ρ = x 2 + y 2 , x =
ρ cos θ, y = ρ sin θ. Poniamo, con abuso di notazione, u(x, y) = u(ρ, θ).
Esercizio 3.2.1 (Laplaciano in coordinate polari) Dimostrare che in coordinate polari
si ha
∆u(x, y) = 1
ρ ∂ρ (ρ∂ρu) + 1
ρ2 ∂2 θu.
1 La dimostrazione è alquanto laboriosa. Rimandiamo al testo Partial Differential Equations di L.C.
Evans, pagina 23.

3.2. PROBLEMA AL BORDO SUL CERCHIO PER L’EQUAZIONE DI LAPLACE. 39
In virtù dell’esercizio precedente, il problema al bordo (3.6) diventa
1
ρ∂ρ (ρ∂ρu) + 1
ρ2 ∂2 θu = 0 se ρ < 1
u(1, θ) = f(θ).
(3.7)
Usiamo il metodo della separazione delle variabili, già visto in precedenza, per cui cerchiamo
una soluzione del tipo
u(ρ, θ) = g(ρ)v(θ),
che sostituita nella (3.7) dà l’equazione
v(θ) 1
ρ (ρg′ (ρ))ρ + g(ρ)
ρ 2 v′′ (θ) = 0.
Separando le variabili otteniamo le due equazioni
ρ(ρg ′ (ρ))ρ = λg(ρ)
v ′′ (θ) + λv(θ) = 0,
con λ ∈ R costante. Studiamo prima la seconda equazione, condizioni al bordo di periodicità
v(0) = v(2π). Gli unici valori di λ per cui si hanno soluzioni sono quelli nonnegativi.
Imponendo le condizioni al bordo abbiamo le autofunzioni
vn(θ) = an cos(nθ) + bn sin(nθ), n ∈ N,
corrispondenti agli autovalori λn = n 2 . Discutiamo ora la prima equazione. Sostituendo
λ = n 2 otteniamo
ρg ′ (ρ) + ρ 2 g ′′ (ρ) − n 2 g(ρ) = 0,
equazione che ammette soluzioni del tipo g(ρ) = Cρ −n + Dρ n . Ma dato che ρ −n è singolare
nell’origine, essa non può risolvere l’equazione di Laplace. Pertanto le uniche soluzioni
sono gn = cnr n . In conclusione, otteniamo la famiglia di soluzioni
un(ρ, θ) = r n (an cos(nθ) + bn sin(nθ)), n ∈ N.
Per imporre le condizioni al bordo consideriamo la serie delle un (che soddisfa ancora
l’equazione di Laplace per il principio di sovrapposizione) e poniamo r = 1. Otteniamo
+∞
n=1
(an cos(nθ) + bn sin(nθ)) = f(θ).
Usiamo il Teorema di Fourier, richiamato nella sezione A.6. Esso ci dice che
f(θ) = a0
2 +
+∞
[An cos(nθ) + Bn sin(nθ)] ,
n=1

40CAPITOLO 3. PROBLEMI STAZIONARI. EQUAZIONI DI LAPLACE E DI POISSON
con
An = 1
2π
f(θ) cos(nθ)dθ,
π 0
Bn = 1
2π
f(θ) sin(nθ)dθ.
π 0
Questo implica che an = An per ogni n ≥ 0 e bn = Bn per ogni n > 0. Per cui otteniamo
2π
u(ρ, θ) = 1
f(φ)dφ +
2π 0
= 1
2π
f(φ) 1 + 2
2π 0
+∞
n=1
+∞
n=1
2π
n 1
r f(φ)[cos(nθ) cos(nφ) + sin(nθ) sin(nφ)]dφ
π 0
r n cos(n(θ − φ))
dφ.
Per semplificare l’espressione precedente, osserviamo che
1 + 2
=
=
+∞
n=1
r n cos(n(θ − φ)) = 1 +
+∞
n=1
ρe i(θ−φ) n +
1
1
+
− 1
1 − ρei(θ−φ) 1 − ρe−i(θ−φ) 1 − ρ2 1 + ρ2 =: 2πG(ρ, θ − φ).
− 2ρ cos(θ − φ)
+∞
n=1
ρe −i(θ−φ) n
La funzione G(ρ, θ) sopra definita si dice funzione di Green sul cerchio unitario dell’operatore
Laplaciano. Possiamo allora scrivere la soluzione u nel modo seguente
u(ρ, θ) =
2π
0
f(φ)G(ρ, θ − φ)dφ.
3.3 Il metodo della funzione di Green
Il metodo della funzione di Green serve a risolvere problemi al bordo del tipo
−∆u(x) = f(x) x ∈ Ω ⊂ R n
u(x) = g(x) x ∈ ∂Ω,
(3.8)
dove Ω è un dominio limitato con frontiera regolare con normale n. Prima di procedere,
richiamiamo la seguente identità di Green
(u∆v − v∆u)dx = u ∂v
∂u
− v dσ. (3.9)
∂n ∂n
∂Ω
Ω
Fissando x ∈ Ω, ponendo v(·) = Φ(x − ·) nella (3.9), integrando in y ad applicando
l’operatore Laplaciano alla (3.5) otteniamo
u(x) = Φ(x − y) ∂u
(y) − u(y)∂Φ (x − y) dσy − Φ(x − y)∆u(y)dy. (3.10)
∂n ∂n
∂Ω
Ω

3.3. IL METODO DELLA FUNZIONE DI GREEN 41
È chiaro che la convoluzione con la soluzione fondamentale Φ non si applica a questo caso,
per via delle condizioni al bordo. L’idea per risolvere tale problema è di introdurre un
correttore φx(y) tale che
e
∆φx(y) = 0, y ∈ Ω
φx(y) = Φ(x − y), y ∈ ∂Ω.
Applichiamo ora la (3.9) con v(y) = φx(y) e otteniamo
− φx(y)∆u(y)dy = u(y)
Ω
∂Ω
∂φx
∂u
(y) − φx(y)
∂n ∂n (u)
dσy
= u(y) ∂φx
(y) − Φ(x − y)∂u
∂n ∂n (u)
dσy.
∂Ω
Introduciamo ora la funzione di Green per il dominio Ω
G(x, y) := Φ(x − y) − φx(y), x, y ∈ Ω, x = y.
Usando di nuovo l’identità di Green (3.10) otteniamo
u(x) = − u(y)
Ω
∂G
∂n (x, y)dσy
+ G(x, y)f(y)dy,
Ω
che è la soluzione desiderata. È chiaro che il tutto sta nel trovare il correttore φx(y) della
funzione di Green. Questo procedimento dipende fortemente dalla geometria del dominio.
Esempio 3.3.1 (Metodo delle cariche immagini) Supponiamo che Ω ⊂ R2 sia il semipiano
{(x1, x2) ∈ R2 , x1 > 0. Usiamo la notazione x = (x1, x2), y = (y1, y2). Per determinare
φx(y) occorre scegliere una funzione che sia armonica su Ω e tale che φx(y1, y2) =
Φ(x − y) per y1 = 0. L’idea di questo metodo consiste nello scegliere la soluzione fondamentale
centrata in un punto che sia esterno al dominio, in modo da evitare la singolarità
in x = y. In questo caso conviene scegliere φx(y) = Φ(x − y) con x(−x1, x2).
È chiaro che
Φ è amonica su Ω. Inoltre, per un vettore y = (0, y2) è ovvio che x − y = x − y, e dato
che Φ è una funzione radiale, si ha
φx(y) = Φ(x − y) = Φ(x − y), y = (0, y2).
Dunque, la funzione di Green per il semipiano Ω è
G(x, t) = Φ(x − y) − Φ(x − y).

42CAPITOLO 3. PROBLEMI STAZIONARI. EQUAZIONI DI LAPLACE E DI POISSON
3.4 Tendenza all’equilibrio per l’equazione del calore
In questo capitolo riconsideriamo un problema al bordo per l’equazione del calore, ad esempio
con condizioni di Dirichlet (il presente argomento può essere riprodotto in maniera simile
nel caso delle condizioni di Neumann). Supponiamo che il dato al bordo sia indipendente
dal tempo, ovvero
⎧
⎪⎨ ut = ∆u x ∈ Ω, t ≥ 0
u(x, t) = g(x)
⎪⎩
u(x, 0) = u0(x)
x ∈ ∂Ω,
x ∈ Ω.
t ≥ 0
(3.11)
Ci proponiamo di mostrare che, sotto opportune ipotesi sui dati g ed u0, la soluzione
u(x, t) del problema (3.11) converge (in qualche senso) per tempi grandi verso la soluzione
del problema stazionario
vt = ∆v
v(x) = g(x)
x ∈ Ω, t ≥ 0
x ∈ ∂Ω, t ≥ 0.
(3.12)
Abbiamo visto in precedenza alcuni metodi per dimostrare l’esistenza di una soluzione per
il problema (3.12). Qui supporremo che il dominio Ω sia tale che la soluzione v esiste, è
unica ed è di classe C 2 (Ω).
Il metodo che usiamo è quello dell’energia, visto in precedenza per mostrare l’unicità
delle soluzioni della stessa equazione del calore. Osserviamo che abbiamo già riportato un
fenomeno analogo nel paragrafo (2.1.3) in dimensione uno. Consideriamo
w := u − v.
Dato che le condizioni al bordo per u e v sono le stesse, possiamo affermare che w soddisfa
il problema
⎧
⎪⎨ wt = ∆u x ∈ Ω, t ≥ 0
w(x, t) ≡ 0
⎪⎩
w(x, 0) = u0(x) − v(x)
x ∈ ∂Ω,
x ∈ Ω.
t ≥ 0
(3.13)
Moltiplichiamo l’equazione in (3.13) per w ed integriamo su Ω. Otteniamo come di
consueto
1 d
2 dt
w(x, t) 2
dx = w(x, t)∆w(x, t)dx.
Ω
Usando la regola di derivazione del prodotto, il Teorema di Gauss A.4.3 e le condizioni al
bordo, otteniamo
1 d
w(x, t)
2 dt Ω
2
dx = − |∇w(x, t)|
Ω
2 dx.
Ora utilizziamo un lemma tecnico di Analisi Funzionale:
Lemma 3.4.1 (Disuguaglianza di Poincaré) Sia Ω ⊂ R d un dominio limitato. Sia
data una funzione f : Ω → R tale che f ∈ C 1 (Ω) e tale che f(x) = 0 per ogni x ∈ ∂Ω.
Ω

3.4. TENDENZA ALL’EQUILIBRIO PER L’EQUAZIONE DEL CALORE 43
Allora vale la disuguaglianza
Ω
f(x) 2
dx ≤ C(Ω) |∇f(x)|
Ω
2 dx,
dove C(Ω) è una costante dipendente solo dal dominio Ω.
Dal lemma precedente segue dunque
d
w(x, t)
dt
2 dx ≤ − 2
C(Ω)
Quindi
Ω
Ω
w(x, t) 2 dx.
d
e
dt
2
C(Ω) t
w(x, t)
Ω
2
dx = 2 2
e C(Ω)
C(Ω) t + e 2
C(Ω) t
d
w(x, t)
dt Ω
2 dx ≤ 0.
Integrando la precedente disuguaglianza nel tempo in [0, T ] otteniamo
e 2
C(Ω) T
w(x, T ) 2
dx ≤ w(x, 0) 2
dx = [u0(x) − v(x)] 2 dx
Ω
Ω
e di conseguenza
w(x, T )
Ω
2 2
−
dx ≤ e C(Ω) T
[u0(x) − v(x)]
Ω
2 dx.
Supponendo ora che il dato iniziale u0 sia continuo, dato che la soluzione stazionaria v è
di classe C2 e quindi continua, possiamo certamente affermare che l’integrale a secondo
membro è finito. Pertanto
w(x, T )
Ω
2 2
−
dx ≤ Ae C(Ω) T ,
per qualche numero A > 0. Mandando T → +∞ vediamo che l’integrale
w(x, T ) 2 dx
Ω
converge a zero esponenzialmente. Abbiamo così dimostrato che, data u soluzione di (3.11)
e detta v la soluzione stazionaria di (3.12), si ha
lim [u(x, t) − v(x)]
t→+∞
2 dx = 0,
ovvero la differenza u(t) − v tende a zero nel senso della norma L 2
Ω
fL2 (Ω) = f(x)
Ω
2 dx
Ω
1/2
.

44CAPITOLO 3. PROBLEMI STAZIONARI. EQUAZIONI DI LAPLACE E DI POISSON

Capitolo 4
Modelli di convezione e di
convezione–diffusione
In questo capitolo tratteremo modelli di onde cinematiche di trasporto (o convezione) lineare
e non lineare. Per motivi legati alla sua estrema semplicità, sceglieremo come esempio
di riferimento iniziale un modello di traffico stradale. 1 Descriveremo quindi delle applicazioni
a modelli di scambio chimico, letti fuidizzati e reattori chimici. Il modello tipico
di trasporto nonlineare è l’equazione di Burgers, che costituisce la base per una descrizione
semplificata della dinamica di un gas perfetto, che tratteremo più dettagliatamente nel
seguito del corso. Per semplificare la trattazione di questo capitolo, trascureremo gli effetti
delle condizioni al bordo e considereremo problemi posti sull’intero spazio (problemi di
Cauchy).
4.1 Un modello di traffico
Iniziamo con un esempio tratto dalla vita reale: il traffico dei veicoli su un’autostrada.
Possiamo pensare alla posizione di un determinato punto dell’autostrada come ad una coordinata
unidimensionale reale (supponiamo fissato un determinato punto dell’autostrada
come l’origine) e chiamiamo tale coordinata x ∈ R. Pensiamo al percorso compreso tra due
caselli a, b ∈ R, a < b, e supponiamo ovviamente che i veicoli possono solo entrare in a e
possono solo uscire in b. Nei punti dell’intervallo aperto (a, b) i veicoli non possono entrare
nè uscire. Inoltre (conformemente a quanto accade nella carreggiata di un’autostrada),
essi viaggiano tutti nella stessa direzione, che supponiamo essere la direzione positiva del
nostro asse di riferimento. Vogliamo ora descrivere la quantità di veicoli nel tratto [a, b].
Ovviamente, la prima informazione che ci interessa sapere è il numero totale di veicoli in
1 Tale scelta può sembrare incoerente con il target ingegneristico di questo corso, ma ci sembra appropriata
almeno per tre motivi: (i) semplifica didatticamente la trattazione (in quanto le leggi empiriche
riguardano la nostra vita di tutti i giorni), (ii) è il modello che meglio permette di comprendere il passaggio
da trasporto lineare a trasporto nonlineare e (iii, ma decisamente non meno importante) i modelli
nonlineari di traffico costituiscono la base per la teoria matematica del traffico sulle reti, che sta muovendo
in questi anni i suoi primi passi.
45

46 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE
[a, b] ad un determinato istante t. Chiamiamo tale numero M(t) ≥ 0. Escludendo gli effetti
causati dall’ingresso o dall’uscita dei veicoli in a e in b rispettivamente, ci aspettiamo che
M(t) sia costante nel tempo, dato che il numero totale di veicoli si conserva. Vedremo in
seguito come tale proprietà risulterà conseguenza del modello che avremo ricavato. Oltre
al numero totale di veicoli, ci interessa avere anche un’informazione localizzata del traffico,
ovvero, vogliamo sapere quanti veicoli ci sono in un determinato punto x ∈ [a, b] ad
un determinato istante t. Chiamiamo tale numero g(x, t) ≥ 0. Le due quantità M(t) e
g(x, t) sono ovviamente in relazione tra loro. Intuitivamente, M(t) deve essere ottenuto
‘sommando’ tutti valori di g(x, t) al variare di x. Dato che x varia ‘nel continuo’ (ovvero
è descritto da una variabile reale), la relazione tra M e g sarà di tipo integrale, ovvero
M(t) =
b
a
g(x, t)dx. (4.1)
La quantità g è dunque la densità di veicoli al tempo t nel punto x. Essa esprime la quantità
di veicoli nell’unità di lunghezza. Supporremo che la densità g sia continua rispetto a x, per
cui possiamo intendere l’integrale (4.1) nel senso di Riemann. Tale ipotesi di continuità,
ovviamente, non è realistica, dato che il numero di veicoli in un dato punto può assumere
solo valori interi. Tale inconveniente, tuttavia, non crea grossi problemi di interpretazione.
Passiamo ora a descrivere l’evoluzione della densità g. Per semplificare momentaneamente
la trattazione, immaginiamo che il casello a venga chiuso all’istante t = 0. In tale
modo, l’evoluzione è determinata da due fattori:
• la distribuzione iniziale di veicoli g(x, 0),
• la velocità dei veicoli.
Dato che il nostro modello non ‘segue’ il percorso dei singoli veicoli uno per uno, ma
descrive la loro quantità in un determinato punto dell’autostrada, la velocità dei veicoli
non dipenderà dalla volontà del singolo guidatore, ma da altri fattori quali ad esempio la
posizione del veicolo o la densità di veicoli in quella stessa posizione 2 . A tale proposito,
è conveniente introdurre il concetto di flusso di veicoli nell’unità di tempo, nel punto x e
all’istante t, che chiameremo f(x, t). Tale quantità descrive il numero di veicoli nell’unità di
tempo che transitano in x al tempo t (ovvero che attraversano il punto x nell’unica direzione
possibile). Intuitivamente, il numero di macchine passanti nell’intervallo infinitesimo dx
nell’intervallo infinitesimo di tempo dt è dato da g(x, t)dx. Dunque, la quantità f(x, t) è
data da
f(x, t) =
g(x, t)dx
.
dt
Dato che il rapporto tra infinitesimi dx non è altro che la velocità istantanea, possiamo
dt
stabilire la seguente relazione costitutiva per il flusso f
f(x, t) = V (x, t)g(x, t), (4.2)
2 Confrontare tale distinzione con la differenza tra descrizione euleriana e lagrangiana nel capitolo 6

4.1. UN MODELLO DI TRAFFICO 47
ove V (x, t) è la velocità di un veicolo presente in x al tempo t. Consideriamo ora un
qualunque sottointervallo [c, d] ⊂ [a, b], e fissiamo un tempo t > 0 ed un numero ɛ > 0.
Ci chiediamo di quanto varia la quantità di veicoli nel tratto [c, d] nell’intervallo di tempo
[t, t + ɛ]. Tale variazione è evidentemente espressa dalla quantità
Q(ɛ) =
d
c
g(t + ɛ, x)dx −
d
c
g(t, x)dx =
d
c
[g(t + ɛ, x)dx − g(t, x)] dx. (4.3)
Il limite
Q(ɛ)
l = lim
(4.4)
ɛ→0 ɛ
ci fornisce la variazione istantanea del numero di veicoli nell’unità di tempo nel tratto
[c, d] all’istante t. Dalla definizione di flusso data in precedenza segue anche che l equivale
alla differenza tra il flusso di veicoli passanti per c (veicoli in più) ed il flusso di veicoli
passanti per d (veicoli in meno), entrambi al tempo t. Quanto appena detto è riassunto
nella relazione
l = f(c, t) − f(d, t),
che, insieme a (4.3) e (4.4), implica
1
lim
ɛ→0 ɛ
d
c
[g(t + ɛ, x)dx − g(t, x)] dx = f(c, t) − f(d, t).
Passando il limite sotto il segno di integrale (vedi il teorema A.5.3) otteniamo
d
c
c
∂g
(x, t)dx = f(c, t) − f(d, t). (4.5)
∂t
Usando note proprietà degli integrali (tra cui il teorema fondamentale del calcolo) otteniamo
la formula d
∂g ∂f
(x, t) − (x, t) dx = 0.
∂t ∂x
(4.6)
Dato che (4.6) è vera per ogni sottointervallo [c, d] ⊂ [a, b], l’integranda deve essere
identicamente nulla (vedi teorema A.4.1). Abbiamo così ottenuto l’equazione di continuità
che, in virtù della (4.2), diventa
∂g
∂t
∂f
(x, t) + (x, t) = 0, (4.7)
∂x
∂ ∂
g(x, t) + (V (x, t)g(x, t)) = 0. (4.8)
∂t ∂x
L’equazione di continuità (4.7) ottenuta in precedenza è un oggetto ben noto in fisica
matematica. Essa modella l’evoluzione di quelle quantità che possono essere descritte
localmente da una densità secondo una relazione analoga alla (4.1), e tali che la quantità

48 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE
totale all’interno di un determinato dominio (un volume o un intervallo) varia solo in virtù
del flusso attraverso il bordo del dominio stesso, ovvero non vi è un guadagno (o una
perdita) di quantità dovuto a fattori esterni. 3 Qualora volessimo tenere in considerazione
fattori addizionali, quali ad esempio l’ingresso di veicoli dal casello a secondo una legge
prescritta che dipenda dal tempo, si può aggiungere un termine forzante nell’equazione di
continuità (4.7), ottenendo la sua versione non omogenea
∂g
∂t
∂f
(x, t) + (x, t) = F (x, t).
∂x
L’equazione (4.8) si accoppia in genere con la condizione iniziale
g(x, 0) = g0(x). (4.9)
Inoltre, dato che non siamo interessati agli effetti di bordo (ovveri al flusso di veicoli
ai caselli), possiamo immaginare che il moto avvenga su una retta infinita anziché su
un intervallo. Nelle prossime sezioni analizzeremo il comportamento della soluzione del
problema di Cauchy (4.8)–(4.9) a seconda della forma che assume la legge costitutiva per
la velocità V . Nel caso in cui V dipende solo da x e t diremo che g è descritta da una
equazione di trasporto lineare. Qualora V dipenda anche da g stessa, il trasporto è non
lineare.
4.2 Equazione del trasporto lineare
L’equazione (4.8) si può riformulare come
∂g
∂t
+ V (x, t) ∂g
∂x
= −∂V (x, t)g
∂x
sotto l’ipotesi che la soluzione g sia di classe C1 rispetto ad x. Ammettendo anche la
presenza di termini forzanti (sempre nell’ipotesi che il trasporto sia lineare), studieremo
nel dettaglio il problema di Cauchy
⎧
⎨∂g
∂g
+ V (x, t) = d(x, t)g + F (x, t)
∂t ∂x (4.10)
⎩
g(x, 0) = g0(x).
Iniziamo dal caso più semplice, ovvero quello in cui V ≡ c, c costante, e d = F = 0. In
questo caso, l’equazione
∂g ∂g
+ c = 0 (4.11)
∂t ∂x
3 Nel capitolo 6 ricaveremo rigorosamente l’equazione di continuità in un contesto multidimensionale
più generale.

4.2. EQUAZIONE DEL TRASPORTO LINEARE 49
ci dice che la soluzione g è costante lungo le rette del piano (x, t) di equazione (x(s), t(s)) =
(x0 + cs, s), con x0 ∈ R. Per verificare tale affermazione calcoliamo
d
ds
g(x(s), t(s)) = c ∂g
∂x
∂g
(x(s), t(s)) + (x(s), t(s)) = 0.
∂t
In particolare, poiché deve essere soddisfatta la condizione iniziale, deve valere
g(x, t) = g(x − ct, 0) = g0(x − ct).
D’altra parte, si verifica direttamente che la funzione g0(x−ct) risolve il problema in esame.
Dunque essa è l’unica soluzione.
Il metodo appena utilizzato è un caso particolare del cosiddetto metodo delle caratteristiche
descritto nella sezione 1.1. Tale metodo ci permette di calcolare esplicitamente la
soluzione anche nel caso generale (4.10) con F = 0. Le curve caratteristiche (x(s), t(s), g(s))
sono in questo caso definite dal sistema di equazioni ordinarie
˙x(t) = V (x, t) x(0) = x0
˙g(t) = d(x, t)g g(0) = g0(x0).
La soluzione g(x, t) si ottiene nel modo seguente: si considerano la soluzioni (locali) del
sistema di caratteristiche x = x(x0, t), g = g(x0, t). Si determina poi la corrispondenza
x0 = x0(x, t) invertendo le relazioni precedenti, cosa che è possibile in generale solo in un
sottinsieme del piano R 2 contenente l’asse t = 0. A questo punto la soluzione si ottiene
come
g(x, t) = g(x0(x, t), t). (4.12)
Un’ulteriore osservazione riguarda la regione di spazio su cui avviene il moto. Assumendo
che il dato iniziale g0 abbia supporto compatto, il metodo delle caratteristiche ci dice
indubitabilmente che il supporto della soluzione g(·, t) rimarrà compatto ad un qualunque
istante t > 0. Quando ciò accade in generale si dice che vi è una velocità di propagazione
finita del supporto, un fenomeno che non accade, ad esempio, nei modelli di diffusione
lineare, ma che è tipico della diffusione lenta, come abbiamo visto nel capitolo precedente.
Dato che il supporto di g(·, t) è sempre compatto, possiamo ricavare la conservazione del
numero totale di veicoli nell’equazione di continuità (4.8) calcolando
d
dt
R
g(x, t)dx =
R
∂g
(x, t)dx = −
∂t
R
∂g(x, t)V (x, t)
dx = 0
∂x
ove l’ultimo passaggio è giustificato dal teorema fondamentale del calcolo integrale. La
proprietà appena dimostrata viene spesso chiamata conservazione della massa totale, ed
è soddisfatta tutte le volte che l’evoluzione del modello è descritta da un’equazione di
continuità.
Nel caso in cui il termine forzante F in (4.10) non sia identicamente nullo (caso non
omogeneo) si ricorre al seguente metodo di Duhamel. Per semplicità consideriamo il caso
lineare
∂g
∂t
+ c ∂g
∂x
= F (x, t). (4.13)

50 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE
Fissato un punto (x, t) ∈ R × [0, +∞), consideriamo la caratteristica passante per tale
punto, ovvero la retta s ↦→ (x + sc, t + s). La soluzione g calcolata lungo tale retta è data
dalla funzione z(s) = g(x + sc, t + s), s ∈ R. Calcoliamo
˙z(s) = gxc + gt = f(x + sc, t + s).
Integrando tale relazione in ds tra −t e 0 si ha
g(x, t) − g(x − ct, 0) = z(0) − z(−t) =
=
0
−t
f(x + sc, t + s)ds =
t
0
0
−t
˙z(s)ds
f(x + (σ − t)c, σ)dσ,
dove abbiamo effettuato il cambio di variabile s = σ − t all’interno dell’integrale. Dunque,
in definitiva la soluzione è data da
g(x, t) = g0(x − ct) +
t
0
f(x + (s − t)c, s)ds. (4.14)
4.3 Un modello cinematico di traffico non lineare
Nella sezione precedente, un modello di traffico in cui la velocità dei veicoli era supposta
indipendente dalla loro densità è servito come pretesto per introdurre un modello estremamente
semplificato di trasporto. In questa sezione ricaviamo una legge costitutiva per la
velocità basata su valutazioni decisamente più realistiche. Supponendo per semplicità che
la velocità non dipenda dall’ascissa x né dal tempo t, è ragionevole aspettarsi che la velocità
del veicolo sia massima laddove non ci sono altri veicoli, mentre ci aspettiamo che gli
stessi veicoli riducano sempre di più la velocità qualora la densità dei veicoli circostanti sia
sempre maggiore. Detta vmax la velocità massima possibile (velocità in assenza di veicoli)
e detta gmax la densità massima dei veicoli (ovvero la densità dei veicoli in coda), poniamo
V (g) = vmax
1 − g
In questo modo, V (gmax) = 0 e V (g) ≤ vmax per ogni g ∈ [0, gmax]. In alcuni casi
l’osservazione dei dati relativi a flussi di traffico reali ha suggerito l’utilizzo di altre formule
per la velocità, quali ad esempio V (g) = a log g
. In generale, posto f(g) = gV (g), si
gmax
considerano funzioni f(g) soddisfacenti alle seguenti proprietà
• f(0) = f(gmax) = 0,
gmax
• f nonnegativa e concava sull’intervallo [0, gmax],
• f avente un unico valore massimo fm = f(gm).
.

4.4. DUE MODELLI SEMPLIFICATI DI TRASPORTO NONLINEARE 51
In particolare, esiste una densità intermedia gm per cui di realizza il flusso massimo di
veicoli (ricordiamo che il flusso è dato dal prodotto di g per V ). Qualora valgano le ipotesi
sul flusso f(g) sopra elencate, la corrispondente equazione di trasporto per il flusso di
traffico
∂g ∂f(g)
+ = 0 (4.15)
∂t ∂x
è detta equazione di Whitham–Lighthill.
Nelle prossime sezioni analizzeremo da un punto di vista puramente matematico le
proprietà di una equazione di trasporto nonlineare generale del tipo
∂ρ
∂t
+ ∂f(ρ)
∂x
= 0 (4.16)
con f una generica funzione nonlineare di classe C 1 . La (4.16) è detta legge di conservazione
nonlineare scalare.
4.4 Due modelli semplificati di trasporto nonlineare
4.4.1 Un modello di scambio chimico
Descriviamo ora un altro modello in cui l’equazione (4.16) ammette una applicazione significativa.
Si tratta di un modello (semplificato) che descrive un processo di scambio chimico
che ha applicazioni in cromatografia. Si considera un fluido che trasporta una certa sostanza
dissolta (o delle particelle o degli ioni) attraverso un fondo costituito da un materiale
solido. La sostanza trasportata dal fluido è parzialmente assorbita dal materiale, il quale a
sua volta può restiruirne una parte al fluido. Supponiamo che la dinamica si svolga essenzialmente
in una direzione. Introduciamo quindi di nuovo una variabile spaziale x ed un
tempo t. La sostanza avrà una massa totale M ed una corrispondente densità ρ(x, t) tale
che M = ρ(x, t)dx, come nel modello di traffico precedente. In ogni punto x avremo una
certa quantità di sostanza dissolta nel fluido, la cui densità indicheremo con ρf, ed una certa
quantità di sostanza depositata sul solido, la cui densità verrà indicata con ρs = ρ − ρf.
Supponendo che la velocità delle particelle dissolte nella sostanza sia costante e pari a V ,
usando un procedimento analogo a quello della sezione 4.1 (introducendo nel bilancio (4.5)
anche la perdita di sostanza accumulatasi sul materiale), otteniamo la seguente equazione
di continuità non omogenea
∂
∂t ρf + ∂
∂x (V ρf) = − ∂
∂t ρs. (4.17)
Una seconda relazione riguarda il tasso di deposito della sostanza sul fondo solido. Dato
che le particelle sul fondo sono ferme, nello scrivere il bilancio dobbiamo tenere in considerazione
solo i termini non omogenei dovuti allo scambio solido–fluido. È ragionevole
supporre che il tasso di deposito di sostanza sul fondo materiale sia direttamente proporzionale
a ρf, limitato d’altra parte dalla eventuale quantità di sostanza già presente sul

52 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE
solido stesso, fino ad una capacità di soglia A. Un processo analogo avviene per la sostanza
passante dal materiale al fluido, secondo una capacità massima B. Detti k1 e k2 i tassi di
reazione (tutte le costanti in gioco sono naturalmente positive), otteniamo
∂
∂t ρs = k1(A − ρs)ρf − k2ρs(B − ρf). (4.18)
In condizioni di equilibrio, ovvero in assenza di scambio, il secondo membro della (4.18)
sarebbe nullo, e questo implicherebbe una relazione algebrica tra ρf e ρs, cioè
k1ρf
ρs = A
=: R(ρf). (4.19)
k2B + (k1 − k2)ρf
In un regime quasi statico, cioè nel caso in cui lo scambio di sostanza sia relativamente lento
rispetto alle costanti di reazione k1 e k2, possiamo accettare in buona approssimazione la
relazione (4.19), che sostituita nella (4.17) implica la seguente equazione per ρf
Si può verificare che
∂
∂t ρf +
R ′ (ρf) =
V
1 + R ′ ∂
(ρf) ∂x ρf = 0. (4.20)
k1k2AB
> 0.
[k2B + (k1 − k2)ρf] 2
Dunque
l’equazione appena ricavata rientra nel model- lo generale (4.16) con f(ρ) =
ρ V
0 1+R ′ dξ. Osserviamo che, contrariamente al caso del modello di traffico di Whitham–
(ξ)
Lighthill, qui f è una funzione monotona. La velocità di propagazione dell’onda dipende
dai tassi di reazione delle sostanze.
4.4.2 Moto di particelle in un letto fluidizzato
Consideriamo ora un modello semplificato che descrive il moto di certe particelle in un
fluido. Il caso speficico che consideriamo è quello della fluidizzazione, un fenomeno in
cui la forza di gravità esercitata su un sistema di particelle è bilanciata dalla velocità
verticale del fluido, che è diretta verso l’altro e che supporremmo inizialmente costante
e pari a U0. Supporremmo di essere in una situazione tale per cui l’insieme di particelle
possa essere considerato alla stregua di un mezzo continuo, ovvero è possibile esprimere
la quantità totale di particelle mediante una densità ρp 4 . Con buona approssimazione
possiamo considerare l’insieme fluido + particelle come un fluido incompressibile 5 a densità
costante. Supponiamo che la densità del fluido ρf sia anche essa costante. Definiamo
la frazione di vuoto ε in modo che (1 − ε) esprima localmente il volume occupato dalle
particelle diviso il volume occupato da fluido e particelle. Un modello del genere può essere
applicato a diversi modelli in cui si debba descrivere una evoluzione a più fasi. Infatti
4 Come all’inizio della sezione 4.1.
5 Si veda più avanti nel capitolo 7 sul significato matematico del termine.

4.4. DUE MODELLI SEMPLIFICATI DI TRASPORTO NONLINEARE 53
la parte occupata dalle particelle è di fatto trattata come un fluido, quindi il problema
è analogo a quello del moto di due fluidi in un letto. Per scrivere la legge di bilancio
della massa di particelle usiamo lo stesso procedimento visto nei paragrafi precedenti.
Supponendo che il moto avvenga in direzione verticale z, e supponendo che non vi siano
variazioni apprezzabili lungo le altre direzioni, scriviamo la legge di bilancio per la fase
fluida. Dato che la quantità infinitesima di fluido per unità di volume è pari a dzερf, detta
uf la velocità del fluido otteniamo l’equazione di continuità (avendo diviso per ρf)
∂ε ∂
+
∂t ∂z (εuf) = 0.
Analogamente, per la fase particellare otteniamo
Sommando le due equazioni precedenti otteniamo
ovvero
− ∂ε ∂
+
∂t ∂z ((1 − ε)up) = 0. (4.21)
∂
∂z (εuf + (1 − ε)up) = 0,
εuf + (1 − ε)up ≡ U0,
il che è una conseguenza del fatto che l’insieme fluido + particelle sia incomprimibile.
La relazione precedente dice che la velocità del fluido e quella delle particelle non sono
indipendenti. La velocità relativa uf − up dipende solo dalla velocità delle particelle,
mediante la formula
uf − up = U0 − up
.
Scriviamo ora la legge di bilancio della quantità di modo per l’insieme di particelle. Come
ricavare in maniera rigorosa una legge di bilancio della quantità di moto, tenendo in considerazione
le forze di volume e le forze di pressione, sarà argomento del capitolo 6. Qui
diamo per scontato che l’equazione è la seguente
(1 − ɛ)ρp
∂up
∂t
+ up
ε
∂up
= F, (4.22)
∂z
dove F è la risultante di tutte le forze agenti sulle particelle. La prima forza da considerare
è la forza di gravità FG, che è pari a FG = −(1 − ε)ρpg, il segno meno è dovuto al fatto che
la direzione z punta verso l’alto. La seconda forza da considerare è la forza di interazione
FI tra il fluido e le particelle. Mediante considerazioni empiriche, essa si può quantificare
in
γ U0 − up
FI = (1 − ε)(ρp − ρf)g
ε −β ,
dove i coefficienti γ e β hanno valori vicini rispettivamente a 4.8 e 3.8 e dove ut è un
parametro detto velocità di caduta. 6 . Supponiamo ora di osservare il comportamento di
6 Per maggiori precisazioni si veda il libro Fluidization Dynamics di L.A. Gibilaro.
ut

54 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE
questo sistema per tempi molto grandi. A tale proposito riscaliamo il tempo nel modo
seguente
t = τ
, δ ≪ 1.
δ
Coerentemente, riscaliamo anche le velocità in gioco
L’equazione (4.21) diventa
L’equazione (4.22) diventa
vp := up
δ , vt := ut
δ , V0 := U0
δ .
− ∂ε
∂τ
δ 2
∂vp ∂vp
+ vp = g −1 +
∂τ ∂z
ρp − ρf
ρp
Formalmente, mandando δ → 0, si ottiene la relazione
vp = V0 − vt
+ ∂
∂z ((1 − ε)vp) = 0. (4.23)
ρp
ρp − ρf
1/γ
V0 − vp
vt
ε β/γ ,
γ
ε −β
.
nota anche come legge di Richardson–Zaki, che sostituita nella (4.23) dà come risultato
l’equazione
1/γ ∂ε ∂
ρp
+ −V0(1 − ε) + vt
(1 − ε)ε
∂τ ∂z
ρp − ρf
β/γ
= 0,
che è un altro esempio di legge di conservazione nonlineare. A questo punto abbiamo un
numero sufficiente di esempi che attestino l’importanza di modelli di trasporto nonlineare.
Introduciamone ancora uno, il più semplice di tutti, ovvero l’equazione di Burgers
∂u
∂t
+ ∂
∂x
2 u
= 0, (4.24)
2
in cui f(u) = u 2 /2. L’equazione (4.24) in forma non conservativa si scrive
ut + uux = 0.
Non ci soffermeremo sulla motivazione di tale equazione, accennando solo al fatto che essa
può essere considerato il modello più semplice (unidimensionale) per la velocità euleriana
di un fluido incomprimibile in cui la pressione viene trascurata (vedi capitolo 7). Data la
sua estrema semplicità, l’equazione di Burgers viene spesso usata come propotipo di una
legge di conservazione nonlineare. Essa è certamente il modello più semplice di convezione
non lineare.

4.5. LA LEGGE DI CONSERVAZIONE SCALARE NONLINEARE 55
4.5 La legge di conservazione scalare nonlineare
Passiamo ora alla trattazione della teoria matematica della legge di conservazione scalare
nonlineare. Studieremo il problema di Cauchy
⎧
⎨∂ρ
∂
+ f(ρ) = 0,
∂t ∂x (4.25)
⎩
ρ(x, 0) = ρ0(x).
L’equazione (4.25) può essere riscritta nella forma non conservativa
ρt + f ′ (ρ)ρx = 0. (4.26)
Scrivendo l’equazione in questo modo appare chiaro come essa rappresenti un trasporto
nonlineare. Appare comunque conveniente, data l’analogia con le equazioni di trasporto
lineari, tentare di risolvere la (4.26) usando il metodo delle caratteristiche. Come nel caso
delle equazioni di trasporto lineari, anche qui supponiamo a priori di avere una soluzione
ρ(x, t), e tentiamone una rappresentazione. Fissato un punto x0 ∈ R, la caratteristica
t ↦→ x(x0, t) risolve l’equazione ordinaria
˙x(t) = f ′ (ρ(x(x0, t), t))
con condizione iniziale x(x0, 0) = x0. D’altra parte, la soluzione ρ è costante lungo una
caratteristica. Infatti
Dunque,
d
dt ρ(x(x0, t), t) = (ρx ˙x + ρt) |x=x(x0,t) = (ρxf ′ (ρ) + ρt) |x=x(x0,t) = 0.
ρ(x(x0, t), t) = ρ(x(x0, 0), 0) = ρ(x0, 0) = ρ0(x0),
e l’equazione differenziale per la caratteristica si può riscrivere come ˙x(t) = f ′ (ρ0(x0)), che
dà come soluzione
x(x0, t) = f ′ (ρ0(x0))t + x0, (4.27)
ovvero, le caratteristiche sono delle linee rette. Fino a questo punto sembra che la nonlinearità
non abbia apportato difficoltà significative alla soluzione del problema. Se da un
lato infatti la soluzione dell’equazione caratteristica può essere risolta solo conoscendo a
priori la soluzione, d’altra parte siamo stati capaci ugualmente di ottenere una espressione
esplicita (e semplice, visto che si tratta di rette) delle caratteristiche stesse, ed anche in
questo caso (come nel caso lineare senza termini forzanti) sappiamo che la soluzione è
costante lungo le caratteristiche.
Nel caso lineare poi, il problema era quello di esplicitare l’equazione della caratteristica
rispetto ad x0, ovvero passare dalla funzione x = x(x0, t) alla funzione x0 = x0(x, t). Qui
ci imbattiamo in un fenomeno che non avveniva nel caso non lineare: due rette caratteristiche
aventi come dati inziali due punti diversi dell’asse t = 0 possono intersecarsi ad
un certo istante t finito. Quando ciò accade non è più possibile stabilire una relazione

56 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE
x0 = x0(x, t) senza incorrere in ambiguità. Per capire meglio la situazione, tentiamo di
visulizzare il problema da un punto di vista geometrico, scegliendo il caso particolare di
Burgers f ′ (ρ) = ρ. Consideriamo due rette caratteristiche uscenti dall’asse iniziale nei
punti x0 ed x1, con x0 < x1. Supponiamo inoltre che ρ0(x0) > ρ0(x1). Da quest’ultima
condizione e dall’equazione (4.27) si evince che la caratteristica uscente da x0 ha una pendenza
tale da intersecare la caratteristica uscente da x1 in un certo punto (x ∗ , t ∗ ). Dato
che la soluzione è costante lungo le caratteristiche, i due valori ρ0(x0) e ρ0(x1) vengono
trasportati lungo le rispettive rette catatteristiche, fino al punto di intersezione (x ∗ , t ∗ ).
Visualizzando l’evoluzione nel tempo del profilo della soluzione ρ(·, t), appare chiaro che al
tempo t ∗ viene a formarsi una discontinuità di salto tra i valori ρ0(x0) e ρ0(x1) nel punto
x ∗ . Nel linguaggio delle leggi di conservazione, tale fenomeno è noto come formazione di
shock in un tempo finito.
Tentiamo ora di risolvere rigorosamente il problema partendo da un dato iniziale ρ0
qualsiasi. Se da un lato, infatti, è vero che si possono verificare shock in tempo finito, è
pur vero che ci si può aspettare che questo non avvenga per tempi sufficientemente piccoli.
Come nel caso lineare, lo scopo è quello di esplicitare la variabile x0 dalla relazione (4.27).
Si tratta di uno di quei problemi in cui conviene ricorrere al teorema della funzione implicita
(vedi il teorema A.3.2). Posto F (x, x0, t) = f ′ (ρ0(x0))t + x0 − x, cerchiamo una funzione
x0 = x0(x, t) tale che F (x, x0(x, t), t) = 0. Dal teorema A.3.2, ciò è possibile se la derivata
di F rispetto a x0 è diversa da zero, ovvero se
f ′′ (ρ0(x0))ρ ′ 0(x0)t + 1 = 0. (4.28)
La condizione (4.28) è ovviamente soddisfatta per t = 0. Quando ci stacchiamo dall’asse
t = 0, il termine f ′′ (ρ0(x0))ρ ′ 0(x0)t + 1 potrebbe degenerare (azzerarsi), negandoci dunque
la possibilità di applicare il teorema della funzione implicita. Certamente ciò non accade
se il dato iniziale ρ0 è tale che la funzione x0 ↦→ f ′ (ρ0(x0)) è monotona crescente. In tal
caso infatti f ′′ (ρ0(x0))ρ ′ 0(x0)t > 0 e la condizione (4.28) è sempre soddisfatta, e la soluzione
ρ(x, t) al problema (4.25) è definita su tutto il semipiano R × [0, +∞). In caso contrario,
supponendo che esista un valore x0 per cui f ′′ (ρ0)ρ ′ (x0) < 0, la condizione (4.28) cessa di
1
essere verificata al tempo t = −
f ′′ (ρ0(x0))ρ ′ 0
(x0) > 0. Volendo determinare un intervallo di
tempo in cui la soluzione resta definita indipendemente dal comportamento delle singole
caratteristiche, possiamo affermare che ρ(x, t) è definita sulla striscia R × [0, t ∗ ), ove
t ∗ = −
1
inf f ′′ (ρ0(x0))ρ ′ (x0) .
Il nostro scopo a questo punto è di dare un senso alla soluzione ρ(x, t) dopo l’istante t ∗
in cui essa è divenuta discontinua.
Esercizio 4.5.1 Dimostrare che l’equazione (4.26) gode della seguente proprietà di semigruppo.
Sia ρ(·, ·) è la soluzione di (4.26) con dato iniziale ρ0. Fissati t, s > 0, definiamo
ρ(x, t) = ρ(x, s + t). Allora ρ(x, t) risolve la stessa (4.26) con dato iniziale ρ(x, s).

4.5. LA LEGGE DI CONSERVAZIONE SCALARE NONLINEARE 57
Grazie alla proprietà precedente, il problema di prolungare una soluzione dopo la formazione
di uno shock si riduce al problema di definire (in qualche senso) una soluzione
avente un dato iniziale ρ0 discontinuo. Il primo problema che ci poniamo è se sia possibile
ammettere che la discontinuità del dato iniziale in un punto x0 si propaghi nel tempo.
Supponiamo dunque che la soluzione ρ(x, t) sia discontinua sulla curva x = s(t). Ad un
tempo fissato t scegliamo due valori x1 ed x1 tali che x1 < s(t) < x2. Supponiamo inoltre
che la soluzione sia continua con derivate continue negli intervalli [x1, s(t)) e (s(t), x2].
Data la discontinuità della soluzione, la formulazione (4.25) non è accettabile, poiché essa
coinvolge le derivate di ρ che ovviamente non sono definite nei punti di discontinuità. In
generale, un modo ragiovevole per generalizzare il concetto di soluzione senza perdere di
vista il modello originale è ricavare una relazione integrale analoga alla (4.5). Ricordiamo
infatti che abbia- mo ricavato le equazioni di continuità del tipo (4.7) da un bilancio tra
quantità integrali, in cui la discontinuità delle grandezze integrate è ammissibile. Nel caso
della legge di conservazione nonlineare, la corrispondente equazione di bilancio integrale
(relativa all’intervallo [x1, x2] al tempo t) è la seguente
d
dt
x2
Da proprietà elementari dell’integrale segue
x1
ρ(x, t)dx + f(ρ((x1, t))) − f(ρ((x2, t))) = 0. (4.29)
f(ρ((x2, t))) − f(ρ((x1, t))) = d
dt
s(t)
x1
ρ(x, t)dx + d
x2
ρ(x, t)dx.
dt s(t)
Usando la regola della derivazione di una funzione composta, otteniamo
f(ρ((x2, t)))−f(ρ((x1, t))) = ρ(s − , t) ˙s−ρ(s + s(t)
x2
, t) ˙s+ ρt(x, t)dx+ ρt(x, t)dx, (4.30)
s(t)
dove ρ(s − , t) e ρ(s + , t) indicano rispettivamente i limiti sinistro e destro di ρ(x, t) per x
che tende ad s(t). Vogliamo ora mandare al limite x1 → s(t) da sinistra e x2 → s(t) da
destra nella relazione (4.30). Dato che ρt è limitata negli intervalli di integrazione, i due
integrali a secondo membro si annullano al limite. Otteniamo quindi
x1
f(ρ((s − , t))) − f(ρ((s + , t))) = [ρ(s − , t) − ρ(s + , t)] ˙s(t), (4.31)
ovvero, posto ρl = ρ(s − , t) e ρr = ρ(s + , t), 7
˙s(t) = f(ρl) − f(ρr)
. (4.32)
ρl − ρr
Abbiamo dunque ottenuto una condizione di salto che coinvolge la velocità della curva
di propagazione della discontinuità ˙s(t) e i limiti destro e sinistro della soluzione lungo
tale curva. In particolare, la velocità della curva è data dal rapporto incrementale del
7 Si osservi che in generale i valori ρl e ρr possono dipendere dal tempo t.

58 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE
flusso tra i due valori limite ρl e ρr. La condizione (4.31) è detta condizione di salto di
Rankine–Hugoniot.
Una funzione ρ(x, t) con derivate parziali continue su
L = R × [0, +∞) \ Γ, Γ = {x = s(t)},
tale che ρ risolve l’equazione (4.25) su L e tale che ρ soddisfa alla condizione di salto (4.32)
lungo Γ, è detta una soluzione debole dell’equazione (4.25).
La relazione (4.32) è una condizione necessaria per la propagazione di una discontinuità.
Al momento non abbiamo ancora gli elementi per capire se una data discontinuità iniziale
si propaghi o meno. Semplifichiamo la trattazione del problema con i seguenti esempi,
tutti riferiti al caso particolare f(ρ) = ρ 2 /2, ossia all’equazione di Burgers.
Esempio 4.5.2 (Onda di Shock) Consideriamo il dato iniziale
1 se x ≤ 0
ρ0(x) =
0 se x > 0.
(4.33)
Il dato iniziale è evidentemente discontinuo. Scriviamo le equazioni delle rette caratteristiche.
Si verifica facilmente che esse sono date dalle rette x(t) ≡ x0 se il punto iniziale x0 è
positivo, mentre si ha x(t) = x0+t nel caso il punto iniziale x0 sia negativo. Dunque vi è un
dominio del semipiano R × [0, +∞) in cui le caratteristiche si intersecano, ovvero la fascia
F = {(x, t) | 0 ≤ x ≤ t}. Cerchiamo una soluzione discontinua mediante la condizione di
salto (4.32). In questo caso, ρl = 1 e ρr = 0. Dunque si ha s(t) ˙ = 1/2, con condizione
iniziale s(0) = 0. Otteniamo quindi la seguente retta di propagazione dello shock
x = s(t) = t/2.
La soluzione vale 1 a sinistra di s(t), e vale 0 a destra di s(t), ovvero
1 se x ≤ t/2
ρ(x, t) =
0 se x > t/2.
Una soluzione siffatta è detta onda di shock.
Esempio 4.5.3 (Onda di rarefazione) Consideriamo il dato iniziale
0 se x ≤ 0
ρ0(x) =
1 se x > 0.
(4.34)
Anche qui il dato iniziale è evidentemente discontinuo in x = 0. Scriviamo le equazioni
delle rette caratteristiche. Si verifica facilmente che esse sono date dalle rette x(t) = x0 + t
se il punto iniziale x0 è positivo, mentre si ha x(t) ≡ x0 nel caso il punto iniziale x0 sia
negativo. Si ha dunque un dominio del semipiano R × [0, +∞) che non è raggiunto dalle

4.5. LA LEGGE DI CONSERVAZIONE SCALARE NONLINEARE 59
caratteristiche, segnatamente la fascia F = {(x, t) | 0 ≤ x ≤ t}. Una possibilità è quella
che la discontinuità presente inizialmente nel punto x = 0 ‘viaggi’ secondo la condizione
di salto (4.32) lungo una curva x = s(t). Dato che in questo caso ρl = 0 e ρr = 1, si
avrebbe s(t) ˙ = 1/2 con s(0) = 0. Dunque, la curva di discontinuità sarebbe data da
x = s(t) = t/2, e la soluzione ρ assumerebbe il valore 0 a sinistra di s(t) ed il valore 1 a
destra di s(t). Un’altra possibilità è quella di ‘riempire’ la fascia F mediante l’uso di una
soluzione autosimilare, ovvero una soluzione ρ che sia funzione della variabile x/t. Poniamo
dunque ρ(x, t) = R(ξ), ξ = x/t, e sostituiamo tale posizione nella (4.26). Otteniamo
ovvero
− x
t 2 R′ + 1
t RR′ = 0,
R ′ (R(ξ) − ξ) = 0.
Supponendo che R non sia costante, otteniamo R(ξ) = ξ, ovvero ρ(x, t) = x/t sul dominio
F . Estendendo tale soluzione al resto del semipiano secondo l’evoluzione delle caratteristiche
(questa volta non abbiamo problemi di ambiguità), abbiamo ottenuto la seguente
soluzione
⎧
⎪⎨ 0 se x ≤ 0
ρ(x, t) = x/t
⎪⎩
1
se 0 ≤ x ≤ t
se x ≥ t.
Osservando l’evoluzione del profilo ρ(·, t), si deduce che la soluzione è continua in ogni
istante t > 0. I due stati ρl = 0 e ρr = 1 sono uniti da un segmento la cui pendenza
diminuisce nel tempo. Una soluzione di questo tipo è detta onda di rarefazione.
Dal punto di vista matematico, un’onda di rarefazione è una soluzione ammissibile in
quanto risolve l’equazione (4.26) in ogni punto del semipiano tranne le rette x = 0 e x = t,
ed in tali rette la funzione è continua, e dunque soddisfa banalmente la condizione (4.31).
D’altra parte, si potrebbe determinare una soluzione debole nell’esempio (4.5.3) mediante
la condizione di salto in modo analogo all’esempio (4.5.2), ottenendo la soluzione
0 se x ≤ t/2
ρ(x, t) =
1 se x > t/2.
Dunque, si pone un problema di unicità della soluzione debole per l’equazione di Burgers.
Tale problema non riguarda solo l’esempio trattato, ma si può presentare anche trattando
esempi diversi. Esso può essere posto in termini di ammissibilità dell’onda di shock. Il
criterio per cui una onda di shock è ammissibile o meno ha una giustificazione di tipo fisico,
che chiariremo nella sezione 4.10. Per completezza, provvediamo comunque ad enunciarlo
in questa sezione.
Definizione 4.5.4 Uno shock tra due stati ρl e ρr per una legge di conservazione scalare
nonlineare è ammissibile se f ′ (ρl) > f ′ (ρr).

60 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE
Il precedente criterio è senz’altro un modo chiaro per selezionare uno shock o una
rarefazione. Tuttavia è molto più pratico in certi casi (ad esempio nel caso del traffico, dove
la monotonia di f ′ non è sempre la stessa) utilizzare la seguente regola: scegliere uno shock
quando le caratteristiche sono tutte entranti’ nella curva di shock. Altrimenti scegliere la
rarefazione, dato che in questo caso si crea una zona non raggiunta dalle caratteristiche.
Concludiamo questa sezione con un ultimo esempio, sempre relativo all’equazione di
Burgers, in cui mettiamo in pratica la scelta dell’ammissibilità degli shock secondo la
precedente definizione.
Esempio 4.5.5 (N–wave) Consideriamo il dato iniziale
⎧
⎪⎨ 0 se x ≤ 0
ρ0(x) = 1
⎪⎩
0
se 0 ≤ x ≤ 1
se x ≥ 1.
(4.35)
Abbiamo, in questo caso, due punti di discontinuità, in x = 0 ed in x = 1. Seguendo il
criterio precedente, abbiamo uno shock solo nel punto x = 1. Esso si propaga lungo la
curva x = 1 + t/2. In x = 0 la discontinuità scompare, e si origina una onda di rarefazione
ρ(x, t) = x/t nel dominio F = {0 ≤ x ≤ t}. Osserviamo però che all’istante t = 2 la retta
di propagazione dello shock irrompe nella fascia di rarefazione F nel punto (2, 2). Quando
ciò accade, vi è di nuovo una discontinuità tra gli stati ρl = x/t e ρr = 0. Dunque si ha
ancora uno shock, poiché ρl > ρr. La condizione di salto è data in questo caso da
˙x(t) = x
, (4.36)
2t
con x(2) = 2. Integrando l’equazione ordinaria (4.36) mediante separazione delle variabili
otteniamo
x(t) t
dy 1 ds
=
2 y 2 2 s ,
ovvero
x(t) = √ 2t.
La discontinuità tra i due stati x/t e 0 viaggia dunque lungo una parabola con asse parallelo
all’asse t = 0. In particolare, il valore ρl è pari a 2/t. Tale valore è evidentemente il
massimo valore assunto dal profilo ρ(·, t), che dunque assume la forma di un segmento di
pendenza sempre minore, fissato a sinistra sul punto x = 0, con l’estremo detro che assume
un valore che diminuisce nel tempo. In particolare, si ha che
lim sup |ρ(x, t)|
t→+∞ x∈R
= 0,
ovvero la soluzione decade uniformemente a zero per tempi lunghi.

4.6. RAREFAZIONE E SHOCK NEL MODELLO DI WHITHAM 61
Il decadimento per tempi lunghi della solutione dell’esempio precedente svela una differenza
sostanziale tra il trasporto lineare ed il trasporto non lineare. Nel modello lineare
(4.11), la soluzione assume tutti e soli i valori assunti dal dato iniziale. Dunque l’estremo superiore
del profilo g(·, t) rimane invariato nel tempo, contrariamente al caso dell’equazione
di Burgers, dove abbiamo visto che è possibile che l’estremo superiore della soluzione decada
a zero nel tempo. Ciò si esprime spesso dicendo che il trasporto nonlineare genera una
dissipazione di energia, ad intendere che il funzionale quadratico
ρ(x, t) 2 dx
R
decade nel tempo. La dimostrazione di tale affermazione è lasciata per esercizio.
Esercizio 4.5.6 Dimostrare che, nel caso dell’esempio 4.5.5 si ha
lim ρ(x, t)
t→+∞
2 dx → 0.
Suggerimenti: dimostrare prima la disuguaglianza
ρ 2
(x, t)dx ≤ sup |ρ(x, t)|
x∈R
R
ρ(x, t)dx,
usando il fatto che la soluzione è nonnegativa. Infine calcolare la massa totale del dato
iniziale ed usare la conservazione della massa totale.
4.6 Rarefazione e shock nel modello di Whitham
Consideriamo il problema di Cauchy per il modello di traffico di Whitham
⎧
⎨∂ρ
∂
+ f(ρ) = 0,
∂t ∂x
⎩
ρ(x, 0) = ρ0(x),
(4.37)
dove f(ρ) = ρ(1 − ρ). Abbiamo semplificato il modello ponendo la velocità massima e la
densità massima entrambi uguali ad uno. Ci proponiamo di risolvere il problema (4.37)
con dati iniziali particolari, in parallelo a quanto fatto per l’equazione di Burgers.
Esempio 4.6.1 Si consideri il dato iniziale
ρ0(x) =
1
0
se x ≤ 0
se x > 0.
(4.38)
Studiare un tale esempio corrisponde nel modello di traffico a studiare l’evoluzione di
una fila di veicoli a densità massima che si interrompe ad un certo punto (ad esempio in

62 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE
corrispondenza di un semaforo). La fila è supposta, quindi, non avere fine (il che, in certi
contesti, può perfino essere realistico). Usando il metodo delle caratteristiche appare chiaro
che si crea una regione che non è raggiunta da caratteristiche, ovvero la regione −t < x < t.
Occorre dunque ‘riempirla’ con un’onda di rarefazione. Imponendo ρ(x, t) = R(ξ), ξ(x/t,
nell’equazione (4.37) si ottiene facilmente
ρ(x, t) = 1 x
−
2 2t .
Si può verificare graficamente che il profilo è costituito da una zona lineare intermedia tra
i valori 0 ed 1, che si propaga in entrambe le direzioni, come è coerente con la situazione
pratica descritta dal modello.
Esempio 4.6.2 Si consideri il dato iniziale
ρ0(x) =
0
1
se x ≤ 0
se x > 0.
(4.39)
Studiare un tale esempio corrisponde stavolta a studiare l’evoluzione in coda ad una fila di
veicoli a densità massima (ad esempio, una fila che si sta formando in corrispondenza di un
incidente). In questo caso stiamo supponendo che la fila di auto davanti a noi non ha fine.
Usando il metodo delle caratteristiche, in questo caso avviene chiaramente una situazione
da onda di shock, dato che le caratteristiche sono tutte entranti nello shock. Calcolando
la velocità della curva di shock, otteniamo s = 0, ovvero la curva è x(t) ≡ 0, ed il profilo
del dato iniziale è chiaramente invariato nel tempo.
Esempio 4.6.3 (Traffic light problem) Si consideri il dato iniziale
⎧
⎪⎨ 0 se x ≤ 0
ρ0(x) = 1
⎪⎩
0
se 0 < x ≤ 1
se x > 1.
(4.40)
Il presente esempio corrisponde stavolta a studiare l’evoluzione in coda ad una fila di veicoli
ferma ad un semaforo, combinando stavolta gli effetti delle due discontinuità all’inizio ed
alla fine della fila. Usando il metodo delle caratteristiche, in questo caso avviene chiaramente
una situazione da onda di shock nel punto x = 0, dato che le caratteristiche sono
tutte entranti nello shock. Calcolando la velocità della curva di shock, otteniamo s = 0,
ovvero la curva è x(t) ≡ 0, il che significa che in coda alla fila di veicoli il profilo rimane
invariato, come ci si aspettava. Nel punto x = 1, invece, si ha una tipica situazione da
onda di rarefazione, per cui bisogna riempire la zona non raggiunta da caratteristiche con
una funzione del tipo ρ(x, t) = U(ξ), ξ = (x − 1)/t. Svolgendo i dovuti calcoli si ottiene
l’espressione ρ(x, t) = 1 x−1 − . Analogamente ai casi precedenti, abbiamo che la soluzione
2 2t
sarà costante lungo rette costituenti un fascio centrato in (1, 0). Queste rette possono essere
a tutti gli effetti considerate delle rette caratteristiche. Esse si intersecano inevitabilmente

4.7. ONDE SMORZATE 63
con le rette di pendenza 1 provenienti dalla semiretta x0 < 0, a partire dall’istante t = 1.
A questo punto, dunque, occorre risolvere un nuovo problema di shock (come nel caso
delle N–waves), tra gli stati ρl = 0 e ρr = 1 x−1 − , con condizione iniziale s(1) = 0. La
2 2t
condizione di Rankine Hugoniot implica
˙s(t) = 1
2
Svolgendo i dovuti calcoli si ottiene la soluzione
s(t) − 1
+ .
2t
s(t) = t + 1 − 2 √ t.
La curva appena definita parte dal punto (0, 1) con pendenza parallela all’asse t e descrive
una traiettoria contenuta nel quadrante delle x positive, tendendo all’infinito per t → +∞.
Si noti che nonostante la derivata prima di s(t) tenda ad uno per t → +∞, la curva non
ha asintoti obliqui. In particolare, tale curva interseca tutte le caratteristiche provenienti
da x0 < 0 e tutte le caratteristiche provenienti dall’onda di rarefazione. Disegnando il
profilo della densità di veicoli, si osserva che prima dell’istante t = 1 il profilo è costituito
da una parte stazionaria in coda alla fila e da una parte in movimento provocata dall’onda
di rarefazione, che disegna un profilo obliquo lineare che raggiunge la coda dei veicoli al
tempo t = 1, azzerando l’intervallo dei veicoli fermi. Dopo l’istante t = 1 i veicoli in coda
iniziano a muoversi, ed il profilo è costituito solo dalla parte obliqua lineare. Analogamente
a quanto avviene per la N–wave, la densità massima di veicoli decade nel tempo.
4.7 Onde smorzate
In alcuni casi, la presenza di un termine ‘non omogeneo’ al secondo membro di una legge
di conservazione può modificare profondamente la struttura del modello. Consideriamo il
caso dell’equazione di Burgers con un termine di assorbimento del tipo
ut + uux = −au, u(x, 0) = u0(x), a > 0. (4.41)
La presenza del termine di assorbimento −au può essere originata da una dissipazione di
una sostanza o di un materiale, o da fenomeni di attrito o di frizione. Un tipico esempio
riguarda il moto di un fluido in presenza di un mezzo poroso, di cui ci occuperemo più
avanti. Tentiamo di risolvere (4.41) mediante caratteristiche. L’equazione delle curve
caratteristiche è sempre la stessa,
˙x(x0, t) = u(x(x0, t), t), x(x0, 0) = x0.
La soluzione lungo le curve caratteristiche soddisfa
d
dt u(x(x0, t), t) = −au(x(x0, t), t), u(x(x0, 0), 0) = u0(x0),

64 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE
per cui si ha
u(x(x0, t), t) = e −at u0(x0).
Dunque, le curve caratteristiche sono date esplicitamente dalle equazioni
x(x0, t) = x0 +
1 − e−at
u0(x0). (4.42)
a
Da (4.27) appare chiaro che le caratteristiche tendono a ‘raddrizzarsi’ per tempi lunghi,
ovvero, la caratteristica x = x(x0, t) ammette come asintoto per t → +∞ la retta verticale
x ≡ x0 + u0(x0)
a . Come nel caso omogeneo, la risolubilità in senso classico dell’equazione
risiede nella possibilità di esplicitare x0 nella relazione (4.27). Dal teorema A.3.2 segue che
ciò è possibile se vale la condizione
0 = 1 +
1 − e−at
u
a
′ 0(x0). (4.43)
Ancora una volta, (4.43) è soddisfatta per t = 0. Una condizione sufficiente per cui (4.43)
sia soddisfatta per tutti i tempi t > 0 è
u ′ 0(x0) > −a. (4.44)
Ricordando che nel caso omogeneo l’invertibilità delle caratteristiche per ogni tempo (insieme
con la conseguente esistenza globale della soluzione) era garantita per u ′ 0 > 0, osserviamo
che in presenza del termine di assorbimento l’esistenza globale sussiste anche nel
caso di dati iniziali decrescenti, purchè la loro derivata prima non violi la condizione di
soglia (4.44). Tale fenomeno è un esempio di come la presenza di termini di attrito possa
(non sempre) prevenire la formazione di shock.
4.8 Modello di inquinante in un fiume (drift-diffusion)
In questa sezione e nella prossima ci occuperemo dell’interazione tra i fenomeni tipici
del trasporto (lineare e non lineare) con gli effetti della diffusione. Iniziamo esaminando
un semplice modello di trasporto e diffusione di una sostanza inquinante lungo un corso
d’acqua con corrente che si muova con velocità v lungo la direzione positiva dell’asse
x. Implicitamente stiamo trascurando la profondità (pensando che l’inquinante galleggi)
e la dimensione trasversale del corso d’acqua (pensando ad un canale molto stretto).
Indichiamo con c = c(x, t) la concentrazione della sostanza, nel senso che la quantità
c(x, t)dx rappresenta la massa presente al tempo t nell’intervallo [x, x + dx] (di lunghezza
infinitesima). Coerentemente,
x+∆x
x
c(y, t)dy
rappresenta la massa di inquinante presente al tempo t nell’intervallo [x, x + ∆x]. In
modo analogo al modello di traffico studiato in precedenza, possiamo definire il flusso di

4.8. MODELLO DI INQUINANTE IN UN FIUME (DRIFT-DIFFUSION) 65
concentrazione nell’unità di tempo q(x, t) e scrivere la legge di bilancio per c ricavando
l’equazione di continuità
ct + qx = 0.
Dato che la velocità dell’inquinante è costante e pari a v, da considerazioni analoghe al
caso del traffico e trascurando qualsiasi altro effetto abbiamo
q(x, t) = vc(x, t),
che porta alla seguente equazione di trasporto lineare per c,
ct + vcx = 0.
Introduciamo a questo punto un cosiddetto ‘effetto di ordine superiore’, ovvero teniamo
in considerazione fenomeni diffusivi (o di viscosità). Più precisamente, l’osservazione ci
suggerisce che la sostanza inquinante si espanda in zone da alta a bassa concentrazione, il
che può essere formalizzato (in forma semplice) nella seguente legge di Fick
q(x, t) = −Dcx(x, t), 8 (4.45)
dove D > 0 dipende dalla sostanza (ovviamente la formula precedente è vera quando v = 0).
Un fenomeno governato dalla (4.45) è diffusivo, in quanto la legge di Fick è identica alla
legge di Fourier per la propagazione del calore. Se, dunque, teniamo in considerazione sia
il trasporto lineare che la diffusione, avremo la seguente formula per il flusso
q(x, t) = vc(x, t) − Dcx(x, t),
che implica che c soddisfa la seguente equazione di deriva–diffusione (drift–diffusion)
ct = Dcxx − vcx. (4.46)
Per risolvere tale equazione sotto la condizione iniziale c(x, 0) = C(x), ricorriamo al
seguente trucco per eliminare il termine di trasporto. Poniamo
w(x, t) = c(x, t)e hx+kt
con h e k da determinarsi in modo opportuno. Si ha (svolgendo tutti i calcoli)
Quindi, se scegliamo
wt − Dwxx = e hx+kt [ct − Dcxx − 2Dhcx + (k − Dh 2 )c]
= e hx+kt [(−v − 2Dh)cx + (k − Dh 2 )c].
h = − v
v2
, k =
2D 4D
8 Si noti come la (4.45) è formalmente identica alla legge di Fourier (2.3) che abbiamo trattato nel
capitolo 2

66 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE
la funzione w è soluzione dell’equazione del calore
con la condizione iniziale
wt − D∆w = 0,
vx
−
w(x, 0) = C(x)e 2D .
Ricordando quanto detto nel paragrafo 2.1.6, w è data da
vx
−
w(x, t) = G(x, t) ∗ C(x)e 2D ,
dove G è la soluzione fondamentale dell’equazione del calore; la concentrazione c è data
quindi dalla convoluzione
c(x, t) = e v
2D(x− v
2 t)
+∞
−∞
vy
−
G(x − y, t)C(y)e 2D dy.
Nella formula precedente, l’effetto provocato dal trasporto è dato dalla presenza della
variabile x − v
2t (che indica un ‘fronte’ che avanza con velocità v/2), mentre l’effetto della
diffusione si esprime con la presenza del termine di convoluzione, che provoca una velocità
infinita di propagazione, cosa che non avveniva nel caso di trasporto semplice.
Concludiamo questa sezione modificando il modello in esame mediante l’aggiunta di un
termine di reazione o di assorbimento. Dal punto di vista fisico stiamo supponendo che la
quantità totale della sostanza in oggetto (l’inquinante) non si conservi nel tempo, ma sia
soggetta ad estinguersi, ad esempio per decomposizione batteriologica. Quando ciò accade,
nella legge di bilancio dobbiamo inserire anche un termine di ordine zero, che supporremo
lineare per semplicità. Otteniamo dunque l’equazione
ct + vcx = Dcxx − γc,
con γ > 0 costante. In questo semplice caso, l’equazione precedente (detta equazione di
trasporto–diffusione–assorbimento) si può ricondurre a quella senza termine di reazione
mediante la trasformazione
u(x, t) := e γt c(x, t).
La nuova variabile u infatti soddisfa l’equazione
che può essere risolta come sopra.
ut + vux = Duxx,
4.9 L’equazione di Burgers viscosa
In questa sezione facciamo un ulteriore passo in avanti nello studio dei problemi di convezione–diffusione:
combiniamo la diffusione lineare con un termine di trasporto nonlineare.

4.9. L’EQUAZIONE DI BURGERS VISCOSA 67
Torniamo al modello di traffico introdotto nel paragrafo 4.1. Nel paragrafo 4.3 abbiamo
ricavato una legge costitutiva per la velocità dei veicoli
V (g) = vmax 1 − g
.
Tale espressione tiene conto solo del fatto che la velocità di un veicolo è influenzata dalla
presenza o meno di altri veicoli nei dintorni. In questo paragrafo introduciamo un effetto di
ordine superiore che esprima (in modo semplificato) la consapevolezza da parte del guidatore
delle condizioni del traffico dei veicoli che lo precedono. Ovviamente, il guidatore tende
a rallentare se si accorge che la densità dei veicoli che lo precedono sta aumentando, mentre
esso tende ad accelleare se la densità dei veicoli che lo precedono sta diminuendo. Anche
in questo caso, dunque, come nel paragrafo precedente, introduciamo una dipendenza del
flusso di veicoli f dalla derivata spaziale di ρ, ovvero
f(g) = gvmax 1 − g
− νgx,
gmax
gmax
ove ν > 0 è una costante. L’equazione di Whitham–Lighthill (4.15) diventa
gt + f(g)x = νgxx. (4.47)
Come osservato nel paragrafo 4.3, l’equazione precedente può essere un interessante oggetto
di studio con condizioni piuttosto generali riguardo alla funzione f. La differenza
sostanziale tra l’equazione (4.47) e l’equazione di deriva diffusione (4.46) è che il termine
di trasporto f(g) è in questo caso nonlineare. Per semplificare la trattazione, esamineremo
anche qui il caso in cui f(g) = g 2 /2. Cambiando nome alla variabile dipendente,
concentriamo dunque la nostra attenzione sulla seguente equazione di Burgers viscosa
ρt + ρρx = νρxx. (4.48)
L’equazione (4.48) riveste un’importanza notevole in fisica matematica, in quanto è il
modello più semplice in cui interagiscono fenomeni di diffusione lineare e di convezione
nonlineare.
Studieremo il problema si Cauchy per tale equazione, accoppiandola quindi con un dato
inziale ρ(x, 0) = ρ0(x). Per risolvere l’equazione (4.48) usiamo un procedimento sviluppato
indipendentemente da Cole (1951) e Hopf(1950). Iniziamo ponendo
ψ(x) =
x
ρ(y)dy,
−∞
9
il che implica la seguente equazione per ψ ottenuta integrando la (4.48) nel tempo in
(−∞, t) e supponendo (ragionevolmente) che ρ tenda a zero per x → −∞,
ψt + 1
2 ψ2 x = νψxx. (4.49)
9 Stiamo ovviamente sottintendendo che ρ abbia integrale finito sulla retta reale.

68 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE
L’equazione (4.49) è detta equazione di Hamilton–Jacobi viscosa. Poniamo quindi
Abbiamo
ψ = −2ν log φ.
ψt = −2ν φt
φ
ψx = −2ν φx
φ
ψxx = −2ν φxx
φ + 2ν φ2x φ
Sostituendo tali espressioni nell’equazione (4.49) otteniamo
ovvero φ soddisfa l’equazione del calore
con dato iniziale
0 = ψt + 1
2 ψ2 x − νψxx = − 2ν
φ (φt − νφxx) ,
φt = νφxx
2 .
1 x
−
φ(x, 0) = φ0(x) = e 2ν 0 ρ0(y)dy
.
Usando il procedimento esposto nella sezione 2.1.6, abbiamo la seguente formula per φ
φ(x, t) =
1
√ 4πνt
+∞
−∞
Usando le definizioni di ψ e φ otteniamo la relazione
Dunque, la soluzione nella variabile ρ è data da
ρ(x, t) =
(x−y)2
−
φ0(y)e 4νt dy.
ρ = −2ν φx
. (4.50)
φ
+∞
G(y, x, t) =
−∞
+∞
−∞
y
0
x − y
e
t
−G(y,x,t)/2ν dy
e −G(y,x,t)/2ν ,
dy
ρ0(z)dz +
(x − y)2
.
2t
Chiudiamo questo paragrafo osservando che il termine di diffusione aggiunto all’equazione
non dà alcun contributo alla massa totale della soluzione (vedi il calcolo al termine
della sezione 2.1.2).

4.10. VISCOSITÀ EVANESCENTE 69
4.10 Viscosità evanescente
In questa sezione consideriamo due particolari soluzioni della (4.48), o più in generale della
legge di conservazione viscosa
ut + f(u)x = νuxx
per un dato valore di ν > 0 ed esamineremo il comportamento di tale soluzione al tendere
di ν a zero. Un tale procedimento è detto limite di viscosità evanescente per una legge di
conservazione viscosa.
4.10.1 Onde viaggianti
Si dice onda viaggiante una funzione dipendente da x e t nel modo seguente
u(x, t) = U(x − σt), σ ∈ R. (4.51)
Abbiamo già incontrato funzioni del genere come soluzioni dell’equazione di trasporto
lineare ut + σux = 0. Ora ci poniamo il problema di vedere se esistono soluzioni del
genere anche in un contesto nonlineare quale quello della legge di conservazione viscosa
ut + f(u)x = νuxx. (4.52)
Supponendo di avere una soluzione del tipo (4.51) della (4.52), chiamando ξ = x − σt
otteniamo l’equazione differenziale per U = U(ξ)
−σU ′ + f(U) ′ = νU ′′ . (4.53)
Ora supponiamo che la soluzione u(x, t) abbia degli stati limite fissati all’infinito, ovvero
u(−∞, t) = U − , u(+∞, t) = U + .
Stiamo dunque pensando ad una soluzione che congiunge i due stati U − e U + ed abbia un
profilo che viaggia nel tempo a velocità σ. Nel caso dei modelli di traffico questo può significare
che abbiamo due densità di veicoli fissate molto distanti dal punto di osservazione.
Oppure, nel caso del modello di cromatografia precedente questa situazione può rappresentare
il caso in cui si voglia congiungere due zone di fluido a grande distanza tra loro con
due concentrazioni diverse di sostanza disciolta. Vedremo che la velocità di propagazione
σ dipende dai due stati che stiamo considerando e dalla funzione f. Questo risultato rappresenta
l’applicazione più diretta ai problemi di cromatografia, in quanto la nonlinearità
f, che dipende dalla sostanza disciolta, determina la velocità di propagazione dell’onda, e
quindi permette di ‘riconoscere’ la sostanza stessa.
Integrando l’equazione (4.53) tra −∞ e ξ otteniamo
−σ(U − U − ) + f(U) − f(U − ) = νU ′ . (4.54)
Chiaramente U ≡ U − è una soluzione stazionaria della (4.54). Dato che ci aspettiamo
che U abbia l’asintoto orizzontale U ≡ U + a +∞, il che implica che U ′ tenda a zero

70 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE
per ξ → +∞, bisogna imporre che anche U + sia soluzione stazionaria della (4.54). Ciò
comporta una condizione su σ, ovvero
σ = f(U + ) − f(U − )
U + − U − ,
che è identica alla condizione di Rankine–Hugoniot (4.31) vista in precedenza per la legge
di conservazione scalare. Una volta fissata σ, non solo U + è anch’essa una soluzione
stazionaria, ma è possibile provare l’esistenza del profilo cercato U, e quindi dell’onda
viaggiante. Per farlo, riscriviamo la (4.54) come
U ′ = 1
ν (U − U − − f(U) − f(U )
)
U − U − − f(U + ) − f(U − )
U + − U −
. (4.55)
Per semplificare la trattazione, supponiamo ora che f sia di classe C 1 e convessa (una
trattazione simile si può effettuare nel caso in cui f sia concava). Non avendo ancora
imposto alcuna condizione su U − ed U + , supponiamo dapprima che sia U − < U + . È
allora evidente che U(ξ) − U − > 0, dato che la soluzione non può mai attraversare gli stati
stazionari per ragioni di unicità. Inoltre, i rapporti incrementali f(U)−f(U − )
sono crescenti
U−U −
al crescere di U per via della convessità, ragion per cui tutto il secondo membro della (4.55)
è negativo. Ma ciò contraddice il fatto che U sia crescente (dato che U(−∞) < U(+∞)).
Per cui nessun profilo esiste nel caso U − < U + . Supponiamo invece ora che U − > U + .
Si verifica facilmente che anche in questo caso il secondo membro della (4.55) è negativo,
quindi non vi è nessun ostacolo all’esistenza del profilo U.
Calcoliamo ora esplicitamente la soluzione nel caso particolare f(u) = u2 /2. Essendo
f convessa, occorre scegliere U + < U − . Per semplificare i calcoli, scegliamo U + = 0 e
U − = 1, il che implica σ = 1/2. La (4.55) diventa
U ′ = 1
(U − 1)U (4.56)
2ν
Separando le variabili nell’equazione differenziale precedente, imponendo la condizione
U(0) = U 0 ∈ (0, 1), si ottiene la soluzione
da cui segue l’onda viaggiante
U(ξ) =
u(x, t) =
U 0
U 0 + (1 − U 0 )e ξ
2ν
U 0
U 0 + (1 − U 0 )e 2x−t
4ν
,
(4.57)
Analizziamo ora il comportamento della u al tendere di ν a zero. Si vede subito che nel
caso in cui 2x > t il termine esponenziale tende a +∞, e dunque tutta la frazione tende

4.10. VISCOSITÀ EVANESCENTE 71
a zero. D’altra parte, se supponiamo 2x < t, si vede come il termine esponenziale tenda a
zero, mandando la frazione ad uno al limite. Riassumendo,
1 if 2x < t
lim u(x, t) =
ν↘0 0 if 2x > t .
Abbiamo dunque ottenuto la soluzione di tipo onda di shock trattata nel esempio 4.5.2,
che risolve in senso debole l’equazione di Burgers ut + uux = 0. Come spiegheremo nel
prossimo paragrafo, ciò costituisce una giustificazione della nozione di ammissibilità degli
shock data nella sezione 4.5.
4.10.2 N-Waves viscose
In questa sezione consideriamo una particolare soluzione non negativa ed integrabile della
(4.48) per un dato valore di ν > 0 ed esamineremo il comportamento di tale soluzione al
tendere di ν a zero. Costruiremo la nostra soluzione particolare usando la trasformazione
(4.50). Consideriamo la funzione
φ(x, t) = 1 − C
√ 4νπt
x
−∞
y2
−
e 4νt dy,
con C > 0 costante da determinare. Dato che φ è data da una costante sommata ad una
primitiva della soluzione fondamentale dell’equazione del calore, è chiaro che φ soddisfa la
stessa equazione φt = νφxx. Dunque, possiamo inserire φ nella formula (4.50) ed ottenere
una soluzione dell’equazione di Burgers viscosa. Per prima cosa fissiamo la massa totale
di ρ
+∞
−∞
ρ(x, t) = M.
Integrando la trasformazione (4.50) su tutto R otteniamo la seguente espressione per C
M
−
C = 1 − e 2ν .
La dimostrazione della formula precedente è lasciata per esercizio. Abbiamo così ottenuto
la seguente formula per ρ,
ρ(x, t) =
Cambiando variabile dentro l’integrale abbiamo
ρ(x, t) =
√
νC x2
√ − e 4νt
tπ
1 − C
.
x y2
√ dy
e− 4νt
4νπt −∞
√
νC x2
√ − e 4νt
tπ
1 − C √
x/ 4νt
√ e π −∞
−y2dy .

72 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE
Ponendo
z = x
2 √ 1
, R =
t ν
e moltiplicando numeratore e denominatore per e MR/2 , otteniamo
ρ =
√ tR
(eMR/2 − 1)e−Rz2 √πe √
MR/2 + (1 − eMR/2 z R
) −∞ e−y2dy Usando le proprietà di additività dell’integrale, ed usando il fatto che l’integrale della
funzione e −y2
su tutto R è uguale a √ π, otteniamo
ρ =
√ tR
(e MR/2 − 1)e −Rz2
√π
+ (eMR/2 +∞
− 1) z √ R e−y2 .
dy
Dell’espressione precedente vogliamo prendere il limite per R → +∞ (ricordiamo che a
noi interessa sapere cosa succede quando ν → 0 + ). In virtù di ciò, possiamo semplificare
l’espressione precedente e calcolare il limite
lim
R→+∞
M
e
R( 2 −z2 )
√ √π tR + eMR/2 +∞
z √ R e−y2 .
dy
Consideriamo anzitutto il caso z < 0. Sotto questa condizione, l’integrale a denominatore
tende a √ π, cosicché l’intera frazione è maggiorata definitivamente da
e MR/2
3 √ =
tRπ eMR/2 2
2
3 √ tRπ
→ 0.
Abbiamo dunque mostrato che il limite in questione è nullo sotto la condizione z < 0, che
è equivalente ad x < 0. Prima di analizzare il caso z > 0 risolviamo il seguente esercizio.
Esercizio 4.10.1 Dimostrare il seguente limite
lim
η→+∞
2η +∞
e η
−y2dy
e−η2 In virtù del risultato nell’esercizio precedente, possiamo affermare che nel caso in cui
z > 0 il limite in questione è equivalente al seguente
lim
R→+∞
= 1.
M
e
R( 2 −z2 )
√ √π e tR + R( M 2 −z2 .
)
2z √ R
.

4.10. VISCOSITÀ EVANESCENTE 73
M
Nel caso in cui z > , il numeratore tende a zero mentre il denominatore tende a +∞.
2
Di conseguenza, sotto la condizione
x > √ 2Mt
il limite è ancora nullo. Il caso più interessante è quello in cui 0 < z <
0 < x < √ 2Mt.
M , ovvero
2
In questo caso il termine esponenziale diverge, e diventa predominante a denominatore. Il
risultato del limite è dunque
2z
√ =
t x
t .
La funzione ottenuta al limite per ν → 0 è dunque
⎧
⎪⎨ 0 se x ≤ 0
x
ρ(x, t) = se 0 < x <
⎪⎩
t
√ 2Mt .
0 se x ≥ 0
La funzione appena scritta è uguale a quella determinata nell’esempio 4.5.5, ovvero la
soluzione di tipo N–wave dell’equazione di Burgers non viscosa. Commentiamo dunque
il risultato appena ottenuto. Da un lato, esso non ci sorprende più di tanto: abbiamo
mandato la viscosità a zero, ed è quindi naturale aspettarsi al limite una soluzione della
stessa equazione con viscosità nulla. Da un altro punto di vista, però, questo risultato
riveste una importanza non indifferente. Ricordiamo che nell’esempio 4.5.3 avevamo un
problema di unicità della soluzione. Abbiamo infatti determinato due soluzioni deboli
dell’equazione di Burgers a partire dallo stesso dato iniziale. Abbiamo poi stabilito che la
soluzione ‘giusta’ era quella data da un’onda di rarefazione, dato che lo shock in questo
caso non era ammissibile in quanto lo stato di sinistra era minore dello stato di destra.
Ebbene, la soluzione limite che abbiamo qui ottenuto è costituita da un’onda di rarefazione
che interagisce con un’onda di shock, secondo i canoni stabiliti dal criterio di selezione delle
onde di shock precedentemente definito. Per gli scopi di questo corso, ciò costituisce una
motivazione sufficiente per selezionare l’onda di rarefazione nell’esempio 4.5.3 sopracitato.
Il motivo per cui stiamo dando alla soluzione limite appena ottenuta una certa importanza
è il seguente: una soluzione ottenuta come limite di viscosità evanescente è fisicamente
sensata, in quanto è realistico supporre che la viscosità, per quanto piccola, non sia mai
nulla. Un’ultimo commento riguarda il profilo della soluzione. Nel caso viscoso, ρ(·, t) è
una funzione di classe C ∞ , la cui forma approssima sempre di più quella della N–wave. Nel
caso ν = 0 otteniamo una funzione discontinua nel punto x = √ 2Mt, in cui vi è uno shock.
Questo è coerente con l’idea intuitiva che la diffusione ‘regolarizza’ l’evoluzione del modello.
Nel caso del traffico, infatti, le nuove ipotesi fatte sul flusso dei veicoli suggeriscono l’idea
che la densità sia distribuita in modo più regolare, senza variazioni brusche.

74 CAPITOLO 4. MODELLI DI CONVEZIONE E DI CONVEZIONE–DIFFUSIONE

Capitolo 5
Fenomeni vibratori: l’equazione delle
onde
5.1 Onde trasversali in una corda: derivazione del
modello
Vogliamo ricavare un modello per le piccole vibrazioni trasversali di una corda, come può
essere quella di un violino. Assumiamo le seguenti ipotesi.
1. Le vibrazioni della corda sono piccole. Ciò significa che abbiamo piccoli cambiamenti
nella forma della corda rispetto all’orizzontale.
2. Lo spostamento di un punto della corda è considerato verticale. Vibrazioni orizzontali
sono trascurate, coerentemente con 1.
3. Lo spostamento verticale di un punto dipende dal tempo e dalla sua posizione sulla
corda. Se si indica con u lo spostamento verticale di un punto che si trova in posizione
x quando la corda è a riposo, abbiamo dunque u = u(x, t).
4. La corda è perfettamente flessibile. Essa non offre cioè nessuna resistenza alla flessione.
In particolare, lo sforzo può essere modellato con una forza diretta tangenzialmente
alla corda, di intensità T , detta tensione.
5. Trascuriamo gli attriti.
L’equazione può essere dedotta dalla legge di conservazione della massa e da quella del
bilancio del momento lineare che, date le ipotesi semplificatrici fatte, ricaviamo con un
ragionamento diretto. Sia ρ0 = ρ0(x) la densità lineare di massa della corda in posizione di
equilibrio e ρ = ρ(x, t) la densità al tempo t. Consideriamo il tratto di corda corrispondente
ad un arbitrario intervallo [x, x + ∆x] e indichiamone con
ds = 1 + u 2 x(x, t) dx
75

76 CAPITOLO 5. FENOMENI VIBRATORI: L’EQUAZIONE DELLE ONDE
l’elemento di lunghezza. Allora la conservazione della massa implica che
x+∆x
x
ρ0(x) dx =
e dall’arbitrarietà dell’intervallo si deduce
x+∆x
x
ρ(x, t) 1 + u 2 x(x, t) dx
ρ0 = ρ 1 + u 2 x
(5.1)
L’equazione del bilancio del momento si ricava uguagliando la forza totale agente sul generico
tratto considerato al tasso di variazione del momento lineare. Poiché il moto è verticale,
le componenti orizzontali delle forze devono bilanciarsi. Se T (x) indica la tensione in x,
deve essere
T (x + ∆x) cos α(x + ∆x) − T (x) cos α(x) = 0
Dividendo per ∆x e passando al limite per ∆x → 0, si ha
da cui
∂
[T (x) cos α(x)] = 0
∂x
T (x) cos α(x) = τ (5.2)
dove τ non dipende da x (potrebbe dipendere da t) ed è positiva, essendo l’intensità della
componente orizzontale della tensione. Calcoliamo le componenti verticali delle forze agenti
sul tratto in esame. Per la tensione si ha, usando la (5.2):
T (x + ∆x) sin α(x + ∆x) − T (x) sin α(x) =
sin α(x + ∆x) sin α(x
τ
− = τ(tan α(x + ∆x) − tan α(x)) =
cos α(x + ∆x) cos α(x)
τ[ux(x + ∆x, t) − ux(x, t)].
Possiamo poi considerare il peso ed eventuali carichi esterni. Usando la (5.1) il peso è dato
da:
x+∆x
x+∆x
− ρg ds = ρg 1 + u2 x+∆x
x dx = − ρ0g dx
x
x
La componente dovuta ad un carico esterno per unità di massa, la cui risultante si può
descrivere mediante una funzione F = F (x, t), data da:
x+∆x
x
ρF ds =
x+∆x
x
ρ0F dx
x

5.2. L’EQUAZIONE DELLE ONDE IN ELETTROMAGNETISMO 77
Il momento lineare (impulso) del tratto di corda è:
x+∆x
x
ρut ds =
per cui il tasso di variazione è:
d
dt
x+∆x
x
x+∆x
x
ρut 1 + u2 x dx =
ρ0ut dx =
x+∆x
x
x+∆x
x
ρ0utt dx
ρ0ut dx
Si può ora scrivere la legge di bilancio del momento lineare, coerentemente con la legge di
Newton della meccanica:
x+∆x
x
ρ0utt dx = τ[ux(x + ∆x) − ux(x)] +
x+∆x
Dividendo per ∆x e passando al limite per ∆x → 0, si ha infine:
dove c 2 = τ
ρ0
x
ρ0(F − g) dx
utt − c 2 uxx = f (5.3)
e f = F − g. La (5.3) è detta equazione delle onde monodimensionale.
5.2 L’equazione delle onde in elettromagnetismo
L’equazione delle onde si può ricavare anche nel contesto della propagazione delle onde
elettromagnetiche 1 . Consideriamo un mezzo dielettrico illimitato, isotropo ed omogeneo.
In assenza di cariche localizzate, e nel caso in cui il dielettrico è isolante (il che implica
assenza di correnti macroscopiche), le equazioni di Maxwell per il campo elettromagnetico
divengono
(I) ∇ · −→ E = 0 (II) ∇ · −→ B = 0
(III) ∇ × −→ E = − ∂−→ B
∂t
(IV) ∇ × −→ B = −εµ ∂−→ E
∂t ,
dove ε e µ sono rispettivamente la costante dielettrica e la permeabilità magnetica del
mezzo. Applicando il rotore alla terza equazione, ed utilizzando l’identità
si ottiene
∇ × ∇ −→ E = −∆ −→ E + ∇(∇ · −→ E )
−∆ −→ E = −∇ × ∂−→ B
∂t
= − ∂
∂t (∇ × −→ B ),
1 Si veda ad esempio il libro di Mencuccini e Silvestrini Fisica II, Capitolo 9.

78 CAPITOLO 5. FENOMENI VIBRATORI: L’EQUAZIONE DELLE ONDE
ed usando la quarta equazione sopra otteniamo
∆ −→ E = εµ ∂2−→ E
.
∂t2 Analogamente si prova che B soddisfa la stessa equazione
∆ −→ B = εµ ∂2−→ B
.
∂t2 5.3 Conservazione dell’energia
Supponiamo che la corda occupi a riposo il segmento [0, L] dell’asse x. Poiché ut(x, t) è la
velocità di vibrazione verticale della particella di corda localizzata in x, l’espressione
Ecin(t) = 1
2
L
0
ρ0u 2 t dx
rappresenta l’ energia cinetica totale. La corda immagazzina anche energia potenziale
dovuta al lavoro delle forze elastiche. Poiché stiamo trattando piccole vibrazioni, abbiamo
visto che la tensione τ non dipende da x. In un elemento di corda con lunghezza a riposo
∆x, questa forza provoca un allungamento pari a
x+∆x
x
1 + u 2 x dx =
x+∆x
x
( 1 + u 2 x − 1) dx ≈ 1
2 u2 x∆x,
ove l’ultima relazione sta ad indicare l’equivalenza tra i due infinitesimi (ux è piccolo
per ∆x piccolo). Essa si ricava facilmente usando lo sviluppo di Taylor centrato in zero
dell’integranda. Pertanto, il lavoro compiuto dalle forze elastiche su questo elemento di
corda è
dW = 1
2 τu2 xdx
Sommando i contributi di tutti gli elementi di corda si ottiene per l’energia potenziale
totale l’espressione
Epot(t) = 1
2
In conclusione, l’energia totale della corda è
E(t) = 1
2
L
0
L
0
τu 2 x dx
[ρ0u 2 t + τu 2 x] dx

5.4. UNICITÀ DELLA SOLUZIONE 79
Calcoliamo la variazione di energia. Si ha, derivando sotto il segno di integrale (ricordando
che ρ0 = ρ0(x)),
E ′ (t) =
L
Integrando per parti il secondo termine si trova:
per cui
L
0
0
[ρ0ututt + τuxuxt] dx
τuxuxt dx = τ[ux(L, t)ut(L, t) − ux(0, t)ut(0, t)] − τ
E ′ (t) =
L
Usando l’equazione (5.3), si ha infine:
0
E ′ (t) =
L
0
utuxx dx
[ρ0utt − τuxx]ut dx + τ[ux(L, t)ut(L, t) − ux(0, t)ut(0, t)].
L
0
ρ0fut dx + τ[ux(L, t)ut(L, t) − ux(0, t)ut(0, t)]. (5.4)
In particolare, se f = 0 e agli estremi u è costante (quindi ut(L, t) = ut(0, t) = 0) si deduce
che E ′ (t) = 0 da cui
E(t) = E(0)
che esprime la conservazione dell’energia.
5.4 Unicità della soluzione
Per mostrare che (5.3 ha un’unica soluzione si utilizza la formula dell’energia (5.4) (analogamente
a quanto avviene per l’equazione del calore, vedi sezione 2.1.4). Si ricordi che
l’energia meccanica totale è data dalla formula
E(t) = Ecin(t) + Epot(t) = 1
2
Poiché f = 0 e ut(L, t) = ut(0, t) = 0, si ha
e cioè l’energia totale si conserva:
E ′ (t) = 0
L
0
[ρ0u 2 t + τu 2 x] dx
E(t) = E(0) (5.5)

80 CAPITOLO 5. FENOMENI VIBRATORI: L’EQUAZIONE DELLE ONDE
per ogni t ≥ 0. Siano ora u e v soluzioni del nostro problema di Cauchy-Dirichlet, con gli
stessi dati iniziali e al bordo. La differenza w = u − v soddisfa lo stesso problema con dati
iniziali e al bordo nulli, come conseguenza del principio di sovrapposizione (l’equazione
delle onde è lineare). In particolare, wt(x, 0) = wx(x, 0) = 0 per cui, applicando la (5.5) a
w, si trova
E(t) = E(0) = 0
per ogni t > 0. Essendo Ecin(t) ≥ 0, Epot(t) ≥ 0, deve essere
Ecin(t) = 0, Epot(t) = 0
che implicano wt = wx = 0 e cioè w è costante. Essendo w(x, 0) = 0, deve essere w(x, t) = 0
per ogni t > 0, che significa u = v. La soluzione trovata è quindi l’unica.
5.5 La formula di d’Alembert
Consideriamo il problema di Cauchy globale
⎧
⎪⎨ utt − c
⎪⎩
2uxx = 0 x ∈ R, t > 0
u(x, 0) = g(x)
ut(x, 0) = h(x)
x ∈ R
x ∈ R
La soluzione di questo problema si può esprimere mediante una celebre formula che dimostriamo
subito. L’equazione delle onde si può fattorizzare nel modo seguente:
(∂t − c∂x)(∂t + c∂x)u = 0
Poniamo
v = ut + cux
Allora v soddisfa l’equazione del trasporto lineare
e quindi (vedi sezione 4.2)
con ψ arbitraria, differenziabile. Da (5.6)
vt − cvx = 0
v(x, t) = ψ(x + ct)
ut + cux = ψ(x + ct)
la cui soluzione generale è (vedi ancora sezione 4.2)
u(x, t) =
t
0
ψ(x − c(t − s) + cs) ds + ϕ(x − ct) =
= 1
2c
x+ct
x−ct
[y = x − ct + 2cs]
(5.6)
ψ(y) dy + ϕ(x − ct) (5.7)

5.6. SOLUZIONE FONDAMENTALE 81
con ψ, ϕ da scegliere mediante le condizioni iniziali.
Si ha:
u(x, 0) = ϕ(x) = g(x)
da cui
Sostituendo nella (5.7) si trova:
= 1
2c
x+ct
x−ct
ut(x, 0) = ψ(x) − cϕ ′ (x) = h(x)
u(x, t) = 1
2c
ψ(x) = h(x) + cg ′ (x)
x+ct
x−ct
ed infine l’importante formula di D’Alembert
[h(y) + cg ′ (y)] dy + g(x − ct) =
h(y) dy + 1
[g(x + ct) − g(x − ct)] + g(x − ct)
2c
u(x, t) = 1
1
[g(x + ct) − g(x − ct)] +
2 2c
x+ct
x−ct
h(y) dy (5.8)
5.6 Domini di dipendenza, di influenza. Soluzione
fondamentale
Dalla formula di D’Alembert, il valore di u nel punto (x, t) è determinato dai valori di h
nell’intervallo [x − ct, x + ct] e da quelli di g agli estremi x − ct e x + ct. Questo intervallo
prende il nome di dominio di dipendenza del punto (x, t).
Da un altro punto di vista, i valori di g e h nel punto (ξ, 0) sull’asse x influenzano il
valore di u nei punti (x, t) del settore
ξ − ct ≤ x ≤ ξ + ct
che si chiama dominio di influenza di ξ. Dal punto di vista fisico, ciò significa che il il
segnale viaggia con velocità c lungo le caratteristiche γ +
ξ , di equazione x + ct = ξ e γ−
ξ , di
equazione x − ct = ξ: una perturbazione inizialmente localizzata in ξ non viene avvertita
nel punto x fino al tempo
|x − ξ|
t = .
c
E’ piuttosto istruttivo risolvere il problema di Cauchy con g ≡ 0 ed un dato h molto
particolare: la delta di Dirac nel punto ξ e cioè h(x) = δ(x − ξ). In pratica, stiamo
considerando le vibrazioni di una corda generate da un impulso unitario localizzato nel

82 CAPITOLO 5. FENOMENI VIBRATORI: L’EQUAZIONE DELLE ONDE
punto ξ. La soluzione corrispondente si chiama soluzione fondamentale e svolge un ruolo
analogo a quella dell’equazione di diffusione. Scegliere come dato la delta di Dirac non
rientra certo nella teoria svolta finora, ma non è il caso di preoccuparsi troppo: si procederà
formalmente, rendendo i calcoli rigorosi in seguito.
Si indichi la soluzione con K = K(x, ξ, t) e applicando la formula di d’Alembert, si
trova
K(x, ξ, t) = 1
x+ct
δ(y − ξ) dy. (5.9)
2c
x−ct
Per ricavarne un’espressione esplicita, si comincia col calcolare x
ricordi che se:
H(x) =
1
0
x ≥ 0
x < 0
è la funzione di Heaviside e
Iε(x) =
H(x + ε) − H(x − ε)
2ε
=
1
2ε
−∞
−ε ≤ x ≤ ε
0 altrove
δ(y) dy. Per farlo, si
(5.10)
è un impulso unitario di durata ε, allora limε→0 Iε(x) = δ(x). Sembra allora coerente
calcolare x
δ(y) dy mediante la formula
−∞
x
−∞
δ(y) dy = lim
x
ε→0
−∞
Iε(y) dy
che ha un’aria innocua. Infatti, se x < −ε, x
−∞ Iε(y) dy = 0 mentre se x > ε, x
−∞ Iε(y) dy =
1. Se facciamo tendere ε a zero si ottiene 0 se x < 0 e 1 se x ≥ 0, che è la funzione di
Heaviside. Il risultato è dunque:
x
−∞
δ(y) dy = H(x) (5.11)
neppure tanto sorprendente, se si ricorda che H ′ = δ. Tutto quadra. Si può quindi scrivere:
x+ct
x−ct
da cui usando (5.9) e (5.11):
δ(y − ξ) dy =
x+ct
−∞
δ(y − ξ) dy −
x−ct
−∞
δ(y − ξ) dy (5.12)
K(x, ξ, t) = 1
[H(x − ξ + ct) − H(x − ξ − ct)] (5.13)
2c

5.7. EFFETTI DI DISPERSIONE E DISSIPAZIONE 83
La funzione K prende il nome di soluzione fondamentale dell’equazione delle onde unidimensionale.
Si può notare come la discontinuità iniziale (t = 0) in x = ξ si trasporti lungo
le caratteristiche x = ξ ± ct.
Per ricavare la (5.13) è stata utilizzata la formula di D’Alembert. Ma la procedura
si può rovesciare: dalla conoscenza della soluzione fondamentale si potrebbe ricavare la
formula di D’Alembert.
5.6.1 L’equazione non omogenea. Metodo di Duhamel
Consideriamo ora il problema non omogeneo
⎧
⎪⎨ utt − c
⎪⎩
2uxx = f(x, t) x ∈ R, t > 0
u(x, 0) = 0
ut(x, 0) = 0
x ∈ R
x ∈ R
(5.14)
Per risolverlo usiamo il metodo di Duhamel. Per s fissato, sia w = w(x, t; s) soluzione del
problema
⎧
⎪⎨ wtt − c
⎪⎩
2wxx = 0 x ∈ R, t > 0
w(x, s; s) = 0
wt(x, s; s) = f(x, s)
x ∈ R
x ∈ R
Dalla formula di D’Alembert (5.8),
La soluzione della (5.14) è
u(x, t) =
t
w(x, t; s) = 1
2c
0
x+c(t−s)
x−c(t−s)
w(x, t; s) ds = 1
t
2c 0
f(y, s) dy
ds
x+c(t−s)
x−c(t−s)
f(y, s) dy
La formula mostra come il valore di u nel punto (x, t) dipenda dai valori della forzante
esterna in tutto il settore triangolare Sx,t.
5.7 Effetti di dispersione e dissipazione
Nei fenomeni di propagazione ondosa sono importanti gli effetti di dissipazione e dispersione.
Ritorniamo al modello della corda vibrante, assumendo che il suo peso sia
trascurabile e che non vi siano carichi esterni.

84 CAPITOLO 5. FENOMENI VIBRATORI: L’EQUAZIONE DELLE ONDE
5.7.1 Dissipazione esogena
Forze dissipative (esogene) quali l’attrito esterno possono benissimo essere incluse nel modello.
La loro espressione analitica è determinata sperimentalmente. Se, per esempio, si
ritiene ragionevole una resistenza proporzionale alla velocità, sul tratto di corda tra x e
x + ∆x agisce una forza del tipo
−
x+∆x
e l’equazione finale prende la forma
Se la corda fissata agli estremi si trova:
x
E ′ (t) = −
kρut ds = −
x+∆x
ρ0utt − τuxx + kρ0ut = 0
L
0
x
kρ0ut dx
ku 2 t = −kEcin(t) ≤ 0
che mostra una velocità di dissipazione dell’energia proporzionale all’energia cinetica. Il
corrispondente problema ai valori iniziali è ancora ben posto, sotto ragionevoli ipotesi sui
dati. In particolare, l’unicità della soluzione segue ancora dal fatto che, se E(0) = 0,
essendo E(t) decrescente e non negativa, deve essere nulla per ogni t > 0.
5.7.2 Dissipazione interna
La derivazione dell’equazione della corda conduce all’equazione
ρ0utt = (Tvert)x
dove Tvert è la componente verticale della tensione. L’ipotesi di piccola ampiezza delle
vibrazioni corrisponde sostanzialmente ad assumere che
Tvert = τux
(5.15)
dove τ è la componente orizzontale (costante) della tensione. In altri termini, si è assunto
che le forze verticali agenti agli estremi di un elemento di corda fossero proporzionali allo
spostamento relativo delle particelle componenti la corda. D’altra parte queste particelle
sono costantemente in frizione tra loro quando la corda vibra, convertendo energia cinetica
in calore. Più rapida la vibrazione (quindi più rapido è lo spostamento relativo tra le particelle)
più calore generato. Ciò implica una diminuzione della tensione e uno smorzamento
della vibrazione. La tensione verticale nella corda dipende dunque anche dalla velocità di
variazione di ux e siamo portati a modificare la (5.15) inserendo un termine proporzionale
a uxt:
Tvert = τux + γuxt

5.7. EFFETTI DI DISPERSIONE E DISSIPAZIONE 85
La costante γ è da ritenersi non negativa: infatti se in un punto si ha, per esempio ux > 0 e
l’energia decresce, ci aspettiamo che la pendenza della corda decresca nel tempo e cioè che
(ux)t < 0. Poiché anche la tensione decresce, coerentemente deve essere γ ≥ 0. Si ottiene
allora l’equazione del terzo ordine
ρ0utt − τuxx + γuxxt = 0 (5.16)
Nonostante la presenza del termine uxxt, i problemi ben posti per l’equazione della corda
continuano ad essere ben posti per la (5.16). In particolare, i problemi di Cauchy-Dirichlet
e di Cauchy-Neumann sono ben posti sotto ragionevoli condizioni sui dati. L’unicitá della
soluzione segue ancora una volta dal fatto che l’energia meccanica totale decresce; infatti,
con i soliti calcoli si trova
5.7.3 Dispersione
E ′ (t) = −
L
0
γρ0u 2 xt ≤ 0
Se la corda è sottoposta ad una forza elastica di richiamo proporzionale ad u, l’equazione
diventa
utt − c 2 uxx + λu = 0 (λ > 0)
rilevante anche in meccanica quantistica relativistica, dove prende il nome di equazione
di Klein-Gordon linearizzata. Per sottolineare meglio l’effetto del termine λu si cercano
soluzioni che siano onde armoniche del tipo
u(x, t) = Ae i(kx−wt)
Sostituendo nell’equazione differenziale si trova la relazione di dispersione
w 2 − c 2 k 2 = λ ⇒ w(k) = ± √ c 2 k 2 + λ
Abbiamo dunque onde che si propagano verso destra e verso sinistra con velocitá di fase2 cp(k) = √ c2k2 +λ e velocitá di gruppo cg = |k|
dw
dk = c2 |k|
√
c2k2 . Si osservi che cg < cp.
+λ
Si puó ottenere un treno discreto di onde sovrapponendo onde dispersive con diverso
numero d’onde:
N
u(x, t) = Aje i(kjx−wjt)
j=1
mantenendo valida la relazione wj = ± c2k2 j + λ. Le onde corrispondenti a numeri d’onda
diversi si propagano a velocitá diverse. Si puó generalizzare sovrapponendo infinite
armoniche purché le ampiezze Aj si smorzino con sufficiente rapiditá per j → ∞ ed infine
si puó pensare di ottenere soluzioni corrispondenti ad un pacchetto d’onde della forma
u(x, t) =
+∞
−∞
2 Ricordiamo che la velocità di fase è il rapporto w/k.
A(k)e i[kx−w(k)t] dk (5.17)

86 CAPITOLO 5. FENOMENI VIBRATORI: L’EQUAZIONE DELLE ONDE
con un integrazione su tutti i possibili numeri d’onda. Si noti che in tal caso
u(x, 0) = 1
2π
+∞
−∞
A(k)e ikx dk
e cioé A(k) è la trasformata di Fourier della condizione iniziale:
A(k) =
+∞
−∞
u(x, 0)e −ikx dx
Ciò significa che, anche se la condizione iniziale é localizzata in un intervallo molto piccolo,
tutte le lunghezze d’onda contribuiscono al valore della soluzione. Si noti che la dispersione
non comporta effetti di dissipazione di energia. Per esempio, nel caso della corda fissata
agli estremi, l’energia meccanica totale è data da
E(t) = ρ0
2
ed è facile verificare che E ′ (t) = 0, t > 0.
L
(u
0
2 t + c 2 u 2 x + λu 2 ) dx
5.8 Piccole vibrazioni di una membrana elastica
Le piccole vibrazioni trasversali di una membrana la cui posizione a riposo è orizzontale,
come nel caso di un tamburo, possono essere descritte in modo analogo a quelle della corda,
assumendo le seguenti ipotesi.
1. Le vibrazioni della membrana sono piccole. Ciò significa che abbiamo piccoli cambiamenti
nella forma della membrana rispetto al piano orizzontale.
2. Lo spostamento di un punto della membrana è considerato verticale. Vibrazioni
orizzontali sono trascurate, coerentemente con 1.
3. Lo spostamento verticale di un punto dipende dal tempo e dalla sua posizione sulla
membrana. Se si indica con u lo spostamento verticale di un punto che si trova in
posizione (x, y) quando la membrana a riposo, abbiamo u = u(x, y, t).
4. La membrana è perfettamente flessibile. Non offre cioè nessuna resistenza alla flessione.
In particolare, lo sforzo può essere modellato con una forza diretta tangenzialmente
alla membrana, di intensità T , detta tensione.
5. Trascuriamo gli attriti.
Sia ρ0 = ρ0(x, y) la densità superficiale di massa della corda in posizione di equilibrio.
Ragionamenti analoghi a quelli fatti per la corda vibrante, conducono all’equazione
dove c 2 = T
ρ0
utt − c 2 ∆u = f
e f è la risultante del peso e di eventuali carichi esterni per unità di massa.

5.8. PICCOLE VIBRAZIONI DI UNA MEMBRANA ELASTICA 87
5.8.1 Membrana quadrata
Si prenda in esame una membrana quadrata di lato a, fissata al bordo. Studiamone le
vibrazioni quando la membrana, inizialmente nella sua posizione di riposo (orizzontale), è
sollecitata in modo che la sua velocità iniziale sia h = h(x, y). Se il peso della membrana è
trascurabile e non vi sono carichi esterni, le vibrazioni della membrana sono descritte dal
seguente problema
⎧
utt − c2∆u = 0 0 < x < a, 0 < y < a, t > 0
⎪⎨ u(x, y, 0) = 0 0 < x < a, 0 < y < a
ut(x, y, 0) = h(x, y) 0 < x < a, 0 < y < a
u(0, y, t) = u(a, y, t) = 0 0 < y < a, t ≥ 0
⎪⎩
u(x, 0, t) = u(x, a, t) = 0 0 < x < a, t ≥ 0
Come nel caso della corda vibrante si utilizza il metodo di separazione delle variabili,
cercando prima soluzioni della forma
u(x, y, t) = v(x, y)q(t).
Sostituendo nell’equazione delle onde si trova
ossia, separando le variabili
da cui
e
q ′′ (t)v(x, y) − c 2 q(t)∆v(x, y) = 0
q ′′ (t)
c 2 q(t)
= ∆v(x, y)
v(x, y)
= −λ2
∆v + λ 2 v = 0 (5.18)
q ′′ (t) + c 2 λ 2 q(t) = 0 (5.19)
Ci si occupa prima della (5.18) cercando soluzioni v nulle al bordo del rettangolo.
Si separano ancora le variabili ponendo v(x, y) = X(x)Y (y), con le condizioni
Sostituendo nella (5.18), si trova che deve essere:
X(0) = X(a) = 0, Y (0) = Y (a) = 0. (5.20)
Y (y)
Y (y) + λ2 = X(x)
X(x)
= µ2
dove µ è una nuova costante. Ponendo ν 2 = λ 2 − µ 2 , occorre risolvere i due sottoproblemi
seguenti, in 0 < x < a e 0 < y < a, rispettivamente:
X ′′ (x) + µ 2 X(x) = 0
X(0) = X(a) = 0

88 CAPITOLO 5. FENOMENI VIBRATORI: L’EQUAZIONE DELLE ONDE
e
Y ′′ (y) + ν 2 Y (y) = 0
Le cui soluzioni risultano essere:
Y (0) = Y (a) = 0
X(x) = Am sin(µmx), µm = mπ
a
Y (y) = Bn sin(νny), νn = nπ
a
con m, n = 1, 2, .... Poiché λ 2 = ν 2 + µ 2 , si ha
corrispondenti alle soluzioni
λ 2 mn = π2
a 2 (m2 + n 2 ), m, n = 1, 2... (5.21)
vmn(x, y) = Cmn sin(µmx) sin(νny).
Quando λ è uno dei valori λmn, l’integrale generale della (5.19) è
qmn = a ∗mn cos(cλmnt) + b ∗mn sin(cλmnt)
Si è così trovata la seguente successione doppia di soluzioni che si annullano al bordo:
umn = (amn cos(cλmnt) + bmn sin(cλmnt)) sin(µmx) sin(νny)
Ciascuna delle umn corrisponde ad un particolare modo di vibrazione della membrana. La
frequenza fondamentale di vibrazione è f11 = c√2, corrispondente a m = n = 1, mentre
2a
le frequenze degli altri modi di vibrazione sono fmn = c√m2 +n2 . Quando un tamburo è
2a
sollecitato in maniera arbitraria, molti modi di vibrazione sono simultaneamente presenti
e il fatto che le frequenze di tali modi non siano multipli interi di quella fondamentale
produce una bassa qualità musicale dei toni emessi.
Tornando al problema di partenza, per trovare la soluzione che soddisfi anche i dati
iniziali sovrapponiamo le umn, definendo:
∞
u(x, y, t) =
m,n=1
(amn cos(cλmnt) + bmn sin(cλmnt)) sin(µmx) sin(νny)
da u(x, y, 0) = 0 si deduce amn = 0 per ogni m, n ≥ 1. Da ut(x, y, 0) = h(x, y) si deduce
∞
(cbmnλmn) sin(µmx) sin(νny) = h(x, y) (5.22)
m,n=1
Se, quindi, h è sviluppabile nella serie doppia di Fourier:
∞
h(x, y) = hmn sin(µmx) sin(νny)
m,n=1

5.9. UN METODO DI RIFLESSIONE 89
dove i coefficienti hmn sono dati da:
hmn = 4
a2
mπ
h(x, y) sin
a x
nπ
sin
a y
basterà scegliere bmn = hmn
cλmn
soluzione è
u(x, y, t) =
Q
dxdy
affinché la (5.22) sia soddisfatta. In conclusione, la candidata
∞
hmn
cλmn
m,n=1
sin(cλmnt)sin(µmx) sin(νny) (5.23)
Se poi i coefficienti hmn tendono a zero abbastanza rapidamente, si può provare che la
cλmn
(5.23) è effettivamente l’unica soluzione.
5.9 Un metodo di riflessione
Per mostrare un’ulteriore applicazione della formula di D’Alembert, si consideri il seguente
problema di Cauchy-Dirichlet sulla semiretta R+ = x > 0:
⎧
utt − uxx = 0 in R+ × (0, ∞)
⎪⎨
u = g su R+ × t = 0
(5.24)
ut ⎪⎩
= h su R+ × t = 0
u = 0 su x = 0 × (0, ∞)
con g, h fissati e g(0) = h(0) = 0.
Mediante un’estensione dispari a tutto R delle funzioni u, g, h, si ottiene:
ũ(x, t) :=
u(x, t)
−u(−x, t)
(x ≥ 0, t ≥ 0)
(x ≤ 0, t ≥ 0)
˜g(x) :=
g(x)
−g(−x)
(x ≥ 0)
(x ≤ 0)
˜h(x) :=
h(x)
−h(−x)
(x ≥ 0)
(x ≤ 0)
Allora la (5.24) diviene
Da cui la formula di D’Alembert diventa
⎧
⎪⎨ ũtt = ũxx in R × (0, ∞)
ũ = ˜g
⎪⎩
ũt =
su R × t = 0
˜ h su R × t = 0
ũ(x, t) = 1
1
[˜g(x + t) + ˜g(x − t)] +
2 2
x+t
x−t
˜h(y) dy

90 CAPITOLO 5. FENOMENI VIBRATORI: L’EQUAZIONE DELLE ONDE
Ricordando la definizione data sopra per le tre grandezze ũ, ˜g, ˜ h l’espressione precedente
nella zona (x ≥ 0, t ≥ 0) può essere espressa come:
⎧
⎪⎨
u(x, t) =
⎪⎩
1
2
1
2
[g(x + t) + g(x − t)] + 1
[g(x + t) − g(t − x)] + 1
x+t
2
x−t
x+t
2
t−x
h(y) dy (x ≥ t ≥ 0)
h(y) dy (0 ≤ x ≤ t)
(5.25)
Se h ≡ 0 si può comprendere il significato dell’espressione (5.25): uno spostamento iniziale
g si divide in due parti, una diretta verso destra con velocità unitaria e l’altra verso sinistra
con la stessa velocità. La seconda parte dell’espressione mostra inoltre come il punto x = 0
della corda vibrante sia mantenuto fisso.
5.10 Soluzione in dimensione tre
Si supponga ora di avere n ≥ 2, m ≥ 2 ed u ∈ C m (R n × [0, ∞) che risolve il problema ai
valori iniziali ⎧
⎪⎨ utt − ∆u = 0 in Rn × (0, ∞)
u = g su R
⎪⎩
n × (t = 0)
ut = h su Rn × (t = 0)
(5.26)
Si vuole ottenere una formula esplicita per u, in termini di g, h. Il metodo sarà quello
di studiare prima la media di u su determinate sfere. Tali medie, espresse in funzione del
tempo t e del raggio r, permettono di risolvere l’equazione di Eulero-Poisson-Darboux, una
PDE che può essere trasformata in un’ equazione delle onde ordinaria per valori dispari di n.
Tale formula risolutiva si ottiene applicando la variante (5.25) della formula di D’Alembert.
Sia x ∈ Rn , t > 0, r > 0. Si definisce
U(x; r, t) := u(y, t) dS(y) (5.27)
∂B(x,r)
la media di u(·, t) sulla sfera ∂B(x, r). Allo stesso modo siano definite:
G(x; r) :=
g(y) dS(y)H(x; r) :=
h(y) dS(y) (5.28)
∂B(x,r)
∂B(x,r)
Per x fissato d’ora innanzi si intenderà U come funzione di r e t, ed essa risolve l’equazione
di Eulero-Poisson-Darboux: Lemma Sia fissato x ∈ R n , e sia u soluzione di (5.26). Allora
u ∈ C m (R + × [0, ∞)) e
⎧
⎪⎨ Utt − Urr −
⎪⎩
n−1
r Ur = 0 in R+ × (0, ∞)
U = G
Ut = H
su
su
R+ × (t = 0)
R+ × (t = 0)
(5.29)

5.10. SOLUZIONE IN DIMENSIONE TRE 91
L’equazione differenziale alle derivate parziali che compare in (5.29) ,è, come detto, l’e-
quazione di Eulero-Poisson-Darboux. (Si noti che il termine Urr + n−1
r Ur è la parte radiale
del Laplaciano ∆ espresso in coordinate polari.
Si consideri il caso n = 3 e si ipotizzi che u ∈ C 2 (R 3 × [0, ∞)) risolva il problema ai
valori iniziali (5.26). Richiamando le definizioni (5.27) e (5.28) di U, G, H e ponendo poi:
Ũ := rU (5.30)
˜G := rG
˜H := rH
Ora si mostrerà che Ũ risolve:
⎧
Ũtt −
⎪⎨
Ũrr = 0 in R+ × (0, ∞)
Ũ = ˜ G su R+ × t = 0
Ũt ⎪⎩
= ˜ H su R+ × t = 0
Ũ = 0 su r = 0 × (0, ∞)
Infatti si ha,considerando l’equazione (5.29) con n = 3:
Ũ := rUtt = r[Urr + 2
r Ur] = rUrr + 2Ur = (U + rUr)r = Ũrr
Applicando la formula (5.25) alla (5.32), si trova per 0 ≤ r ≤ t
Ũ(x; r, t) = 1
2 [ ˜ G(r + t) − ˜ G(t − r)] + 1
2
r+t
−r+t
(5.31)
(5.32)
˜H(y) dy (5.33)
Poichè la (5.27) implica u(x, t) = limr→0 +U(x; r, t), tenendo conto delle (5.30),(5.31),(5.33)
si ottiene:
u(x, t) = lim
r→0 +
Ũ(x; r, t)
r
= lim
r→0 +
In virtù della (5.28), si ottiene:
Ma
⎡
u(x, t) = ∂ ⎜
⎝t
∂t
∂B(x,t)
⎣ ˜ G(t + r) − ˜ G(t − r)
2r
⎛
∂B(x,t)
g(y) dS(y) =
⎞
⎟
g dS⎠
+ t
∂B(0,1)
+ 1
2r
∂B(x,t)
t+r
t−r
g(x + tz) dS(z)
⎤
˜H(y) dy⎦
= ˜ G ′ (t) + ˜ H(t)
h dS. (5.34)

92 CAPITOLO 5. FENOMENI VIBRATORI: L’EQUAZIONE DELLE ONDE
E così:
∂
∂t
g dS
∂B(x,t)
=
∂B(0,1)
Dg(x + tz)z dS(z) =
∂B(x,t)
y − x
Dg(y) dS(y)
t
Tornando all’equazione (5.34) si conclude infine:
u(x, t) = [th(y) + g(y) + Dg(y)(y − x)] dS(y) (x ∈ R 3 , t > 0) (5.35)
∂B(x,t)
Quella appena mostrata (5.35) è la formula di Kirchhoff per la soluzione del problema ai
valori iniziali in tre dimensioni (5.26).
5.11 Soluzione in dimensione due
Nel caso bidimensionale non è disponibile una trasformazione simile alla (5.30) per ottenere
un’espressione monodimensionale dell’equazione di Eulero-Poisson-Darboux. Il metodo che
si utilizzerà sarà quello di considerare il solito problema (5.26) per n = 3, in cui però la
terza variabile spaziale non compare.
Infatti, assumendo u ∈ C 2 (R 2 × [0, ∞)) tale da risolvere il problema ai valori iniziali
(5.26) per n = 2, si può scrivere:
Allora la (5.26) diventa:
per
ū(x1, x2, x3, t) := u(x1, x2, t) (5.36)
⎧
⎪⎨ ūtt − ∆ū = 0 in R
⎪⎩
3 × (0, ∞)
ū = ¯g su R3 ūt =
× (t = 0)
¯ h su R3 × (t = 0)
¯g(x1, x2, x3) := g(x1, x2)
¯h(x1, x2, x3) := h(x1, x2)
(5.37)
Scrivendo x = (x1, x2) ∈ R2 e ¯x = (x1, x2, 0) ∈ R3 , allora la (5.37) e la formula di Kirchhoff
espressa nella forma (5.34), implicano:
u(x, t) = ū(¯x, t) = ∂
t
∂t ∂ ¯ ¯g d
B(¯x,t)
¯
S + t ¯h d ¯ S, (5.38)
∂ ¯ B(¯x,t)
∂B(x,t)
dove ¯ B(¯x, t) rappresenta la sfera in R3 con centro ¯x, raggio t > 0, e d ¯ S rappresenta la
superficie bidimensionale sul bordo ∂ ¯ B(¯x, t). La (5.38) può essere semplificata osservando
che
¯g d ¯ S = 1
4πt2
¯g d ¯ S = 2
4πt2
g(y)(1 + |Dγ(y)| 2 ) 1
2 dy
∂ ¯ B(¯x,t)
B(x,t)

5.11. SOLUZIONE IN DIMENSIONE DUE 93
dove γ(y) = (t 2 −|y−x| 2 ) 1
2 per y ∈ B(x, t). Il fattore 2 compare in quanto ∂ ¯ B(¯x, t) consiste
di due semisfere.
Si osservi che (1 + |Dγ| 2 ) 1
2 = t(t2 − |y − x| 2 1
− ) 2 , da cui:
∂ ¯ B(¯x,t)
¯g d ¯ S = 1
2πt B(x,t)
Di conseguenza la (5.38) diviene:
u(x, t) = 1
∂
2 ∂t
Ma essendo:
E quindi
∂
t
∂t
2
B(x,t)
t 2
B(x,t)
g(y)
(t 2 − |y − x| 2 ) 1
2
g(y)
(t 2 − |y − x| 2 ) 1
2
g(y)
t 2
B(x,t)
t 2
2
(t 2 − |y − x| 2 ) 1
2
dy =
= t
B(x,t)
B(0,1)
dy = t
2 B(x,t)
g(y)
(t 2 − |y − x| 2 ) 1
2
B(x,t)
h(y)
dy
(t 2 − |y − x| 2 ) 1
2
dy = t
B(0,1)
g(x + tz)
(1 − |z| 2 ) 1
2
g(y)
(t 2 − |y − x| 2 ) 1
2
g(y)
(t 2 − |y − x| 2 ) 1
2
g(x + tz)
+
dy
(1 − |z| 2 ) 1
2
dz + t
B(0,1)
dy + t
B(x,t)
Da cui si ottiene in definitiva la relazione:
u(x, t) = 1
tg(y) + t
2
2h(y) + tDg(y)(y − z)
dy
B(x,t)
(t 2 − |y − x| 2 ) 1
2
dz
dy
Dg(x + tz)z
(1 − |z| 2 ) 1
2
Dg(y)(y − x)
(t 2 − |y − x| 2 ) 1
2
dz =
per x ∈ R 2 , t > 0.
Questa è la formula di Poisson per la soluzione del problema ai valori iniziali in due
dimensioni (5.26)
dy

94 CAPITOLO 5. FENOMENI VIBRATORI: L’EQUAZIONE DELLE ONDE

Capitolo 6
Moto di un sistema continuo
Questo capitolo è dedicato alla formulazione su base fenomenologica delle equazioni macroscopiche
del moto di un mezzo continuo.
6.1 Nozione di sistema continuo
Supponiamo assegnato una volta per tutte un sistema di riferimento inerziale spaziotemporale.
Supporremo inoltre fissate delle unità di misura macroscopiche (ad esempio
i centimetri ed i secondi). Questa assunzione è coerente con la necessità di caratterizzare
la nostra descrizione in modo tale che in ogni volume macroscopico, per quanto piccolo,
sia contenuto un numero enorme di molecole. Stiamo dunque assumendo un punto di vista
macroscopico. In tal modo osservazioni condotte su questa scala non riescono a distinguere
l’individualità delle singole molecole ma percepiscono la distribuzione di materia come continua.
Per questa ragione diremo sistema continuo una distribuzione continua di massa in
R3 , ovvero una distribuzione di massa tale che per ogni insieme A ⊂ R3 , detta mt(A) ≥ 0
la massa contenuta nell’insieme A al tempo t, sia soddisfatta la seguente relazione
mt(A) = ρ(x, t)dx,
A
per una certa funzione ρ(x, t) detta densità (di massa). In altre parole, in ogni volume
elementare dx centrato in un generico punto x ∈ R 3 è contenuta una massa ρ(x, t)dx, corrispondente
alla presenza di un enorme numero di molecole nell’elemento di volume dx. Il
punto di vista continuo ignora l’individualità di tali particelle e studia il comportamento di
questo elemento macroscopico nel suo insieme. Una parte del sistema continuo, contenuta
in un volume dx centrato intorno al punto x al tempo t sarà detta elemento materiale o
particella del sistema continuo e x sarà detta posizione della particella al tempo t. Sottolineamo
ancora una volta che una particella del continuo non deve essere confusa con una
molecola, rappresentando invece un agglomerato di un numero molto grande di molecole.
La posizione di ciascuna particella del sistema continuo varia nel tempo. Per individuare
in modo univoco ciascuna particella del sistema continuo utilizzeremo ad esempio le
95

96 CAPITOLO 6. MOTO DI UN SISTEMA CONTINUO
coordinate X ∈ R 3 della posizione occupata dalla particella al tempo t = 0. Al variare del
tempo t, x = Φ(X, t) denoterà la posizione al tempo t della particella che al tempo t = 0
si trovava in X. La funzione X → Φ(X, t) è quindi tale che
Φ(X, 0) = X. (6.1)
Assumeremo che la funzione Φ sia differenziabile rispetto ad X e t e che, per ogni t, sia
invertibile come funzione di X. Esiste cioè una funzione x → Φ −1 (x, t) tale che
Φ(Φ −1 (x, t), t) = x x ∈ R 3 .
Questa assunzione, che implica che ciascuna particella (macroscopica) mantiene la sua
individualità nel corso del tempo, traduce il fatto che due distinti elementi materiali non
possono mai occupare la stessa posizione (impenetrabilità dei corpi). Le condizioni di
regolarità sono essenziali agli sviluppi futuri e il loro venir meno corrisponde al verificarsi
di fenomeni per i quali il modello che ci accingiamo a formulare diviene inadeguato. La
funzione (X, t) → Φ(X, t) è detta moto o flusso del sistema continuo. L’invertibilità
di Φ mostra che possiamo indifferentemente individuare la generica particella del sistema
continuo mediante le sue coordinate X all’istante iniziale oppure mediante le sue coordinate
x al tempo t. La descrizione in termini delle X è detta descrizione Lagrangiana mentre
quella in termini delle x è detta descrizione Euleriana.
Si consideri ora la matrice F = ∇XΦ di componenti
Fi,j(X, t) = ∂Φi(X, t)
, i, j = 1, . . . , 3. (6.2)
∂Xj
La matrice F, che prende il nome di gradiente di deformazione, si riduce all’identità per
t = 0 in conseguenza di (6.1). Si assumerà, conformemente all’ipotesi di invertibilità di Φ,
che F sia continuo in ogni (X, t) e che
det F (X, t) = 0 per ogni (X, t).
Per ogni X fissato, la curva t → Φ(X, t) si dice traiettoria della particella X. La velocità
e l’accelerazione della particella X al tempo t sono date ovviamente dalle espressioni
u(X, t) =
∂Φ(X, t)
, a(X, t) =
∂t
∂2Φ(X, t)
∂t2 . (6.3)
I campi vettoriali X → u(X, t) e X → a(X, t) sono detti rispettivamente campo di velocità
Lagrangiano e campo di accelerazione Lagrangiano al tempo t. Si supponga ora fissato il
punto x e si denotino con u(x, t) ed a(x, t) la velocità e l’accelerazione della particella che
transita per x al tempo t:
u(x, t) = u(Φ −1 (x, t), t), a(x, t) = a(Φ −1 (x, t), t). (6.4)

6.2. TEOREMA DEL TRASPORTO. 97
I campi vettoriali x → u(x, t) ed x → a(x, t) sono detti rispettivamente campo di velocità
Euleriano (o semplicemente campo di velocità) e campo di accelerazione Euleriano (o
semplicemente campo di accelerazione) al tempo t. Dalle definizioni suddette segue che
∂
Φ(X, t) = u(Φ(X, t), t). (6.5)
∂t
Quando il campo di velocità Euleriano u(x, t) è noto, questa equazione, insieme alla condizione
(6.1), può essere interpretata come un problema di Cauchy per un sistema dinamico
avente per flusso integrale X → Φ(X, t).
La relazione tra i campi di velocità ed accelerazione Lagrangiani ed Euleriani vale più
in generale per una qualunque osservabile ‘Euleriana’ g(x, t), (cioè una quantità osservabile
misurata nell’ambito di una descrizione Euleriana) e la sua corrispondente osservabile ‘Lagrangiana’
g(X, t) (cioè la medesima osservabile misurata nella descrizione Lagrangiana).
Essa è data da
g(X, t) = g(Φ(X, t), t), g(x, t) = g(Φ −1 (x, t), t), (6.6)
che estende in modo ovvio la (6.4). Notiamo che tra le derivate temporali di un’osservabile
Lagrangiana ed Euleriana sussiste la seguente relazione:
∂ ∂
g(X, t) =
∂t ∂t g(x, t) + u(x, t) · ∇xg(x, t) (6.7)
quando x ed X sono legati dalla relazione x = Φ(X, t). Per ottenere la relazione (6.7)
basta differenziare la prima delle (6.6) con la regola di derivazione delle funzioni composte,
∂ ∂g(Φ(X, t), t)
g(X, t) =
∂t ∂t
= ∂g(x, t)
∂t + ∇xg(x, t) ·
∂Φ(X, t)
,
∂t
e usare la (6.5). La combinazione di derivate che appare nel membro destro della relazione
precedente rappresenta la derivazione lungo la traiettoria di una fissata particella
del sistema e prende il nome di derivata sostanziale. Per indicarla si usa il simbolo
D
Dt
In particolare, per g(x, t) = u(x, t) si ottiene
a(x, t) =
6.2 Teorema del trasporto.
∂
= + u(x, t) · ∇x.
∂t
∂u(x, t)
∂t + u(x, t) · ∇xu(x, t) = Du
(x, t).
Dt
Una famiglia {At ⊂ R 3 |t ∈ [0, t]} di sottoinsiemi di R 3 si dice volume materiale se per
ogni t ∈ [0, t], per ogni x ∈ At risulta x = Φ(X, t) per qualche X ∈ A0. In altri termini,
un volume materiale è un volume che si muove insieme con il sistema continuo. Nella

98 CAPITOLO 6. MOTO DI UN SISTEMA CONTINUO
formulazione delle equazioni del moto per i sistemi continui saremo interessati a considerare
quantità che si esprimono come integrali di osservabili su volumi materiali, della forma
g(x, t)dx
e a valutarne la loro derivata temporale. Proviamo a questo scopo il seguente
At
Teorema 6.2.1 (Teorema del trasporto) Se g ed u sono differenziabili in At, per t ∈
[0, t], allora
d
Dg
g(x, t)dx = + gdivu (x, t)dx.
dt At
At Dt
(6.8)
Dimostrazione. La dimostrazione si basa sul passaggio da variabili Euleriane a variabili
Lagrangiane. Usando il teorema A.4.2 otteniamo
g(x, t)dx = g(X, t)J(X, t)dX,
ove
At
A0
A0
J(X, t) = | det F (X, t)|.
Differenziando tale relazione rispetto al tempo ed usando la (6.6) si ottiene
d
∂J
g(x, t)dx = (X, t)g(X, t)dX + J(X, t)
dt At
A0 ∂t A0
∂g
(X, t)dX
∂t
∂J
Dg
= (X, t)g(X, t)dX + (x, t)dx.
∂t Dt
Per concludere la prova basta far vedere che risulta
At
∂J
(X, t) = J(X, t)(divu)(Φ(X, t), t). (6.9)
∂t
Per provare la (6.9), osserviamo anzitutto che, poiché det F (X, 0) = 1 e la matrice F è
invertibile per ogni t, per continuità detF > 0 e quindi il valore assoluto è irrilevante.
D’altra parte, per la (6.5)
Φ(X, t) = X +
Differenziando rispetto ad X si ottiene
F (X, t) = I +
t
0
t
0
u(Φ(X, s), s)ds.
[(∇xu)(Φ(X, s), s)][F (X, s)]ds,
ove il prodotto tra le due parentesi quadre sopra è da intendere come prodotto tra due
matrici quadrate. Pertanto
∂F (X, t)
∂t
= [(∇xu)(Φ(X, t), t)][F (X, t)]. (6.10)

6.3. CONSERVAZIONE DELLA MASSA 99
Esercizio 6.2.2 Dimostrare che, data una matrice quadrata n × n A(t) dipendente da un
parametro reale t, la derivata
d
[det A(t)]
dt
è uguale alla somma
det A1(t) + . . . + det An(t),
dove le matrici Aj(t) sono ottenute sostituendo alla riga j–esima la sua derivata rispetto a
t.
Grazie al risultato dell’esercizio precedente applicato a F (X, t) otteniamo
∂J
(X, t) =
∂t
3
det Fi(X, t),
i=1
ove Fi sono ottenute come suggerito nell’esercizio precedente. Dall’espressione della derivata
temporale di F si ottiene allora
det Fi(X, t) = ∂ui
det F.
∂xi
Per dimostrare la formula precedente scrivere gli elementi della colonna i–esima di Fi come
termini di un prodotto righe per colonne usando l’espressione della derivata temporale di
F . Osservare quindi che i contributi con k = i annullano i rispettivi determinanti. La (6.9)
è allora dimostrata e con essa il teorema del trasporto.
Passeremo ora a formulare le leggi fondamentali della Meccanica dei sistemi continui.
6.3 Conservazione della massa
Ricordiamo che la distribuzione di massa è caratterizzata dalla densità ρ(x, t) ≥ 0 e che
per ogni insieme misurabile A la quantità
mt(A) = ρ(x, t)dx
rappresenta la massa contenuta nell’insieme A. La legge di conservazione della massa
stabilisce che non vi è creazione o distruzione di massa e, in altri termini, in un volume
materiale {At|t ∈ [0, t]} la massa è costante. Si assume quindi
A
d
dt mt(At) = 0 (6.11)
per ogni t e per ogni volume materiale. Poiché la funzione ρ è assunta differenziabile,
utilizzando il teorema del trasporto, otteniamo
0 = d
dt
ρ(x, t)dx =
D
ρ(x, t) + ρ(x, t)divu(x, t) dx.
Dt
At
At

100 CAPITOLO 6. MOTO DI UN SISTEMA CONTINUO
Questa equazione è valida qualunque sia il volume materiale. Dall’invertibilità del flusso,
ogni sottinsieme limitato di R n è immagine ad un certo tempo t di un volume materiale.
Dunque l’integrale precedente è zero su ogni sottinsieme di R n . Quindi, per il teorema
A.4.1, l’integranda deve essere identicamente nulla, ovvero
D
ρ(x, t) + ρ(x, t)divu(x, t) = 0.
Dt
Ricordando la definizione di derivata sostanziale, la precedente equazione si scrive anche
∂
ρ + div[ρu] = 0. (6.12)
∂t
Analogamente all’equazione (4.7) ricavata nel capitolo precedente, anche l’equazione (6.12)
è detta equazione di continuità. In questo capitolo essa è stata ricavata in modo matematicamente
rigoroso. Il termine ρu presente sotto il segno di divergenza è detto corrente di
massa.
Esercizio 6.3.1 Dato un volume materiale t → At, considerare la legge di conservazione
della massa mt(At) = m0(A0) e cambiare variabile x = Φ(X, t) all’interno dell’integrale in
mt(At). Dimostrare quindi la seguente forma Lagrangiana dell’equazione di continuità
d
[J(X, t)ρ(Φ(X, t), t)] = 0.
dt
6.4 Bilancio dell’impulso (equazione di Newton)
La massa ρ(x, t)dx contenuta al tempo t in un volumetto dx centrato nel punto x si muove
con velocità u(x, t). L’impulso (o quantità di moto) ad essa associato è ρ(x, t)u(x, t)dx.
Per questa ragione, per ogni A ⊂ R3 si dice impulso di A al tempo t il vettore
Pt(A) = ρ(x, t)u(x, t)dx.
A
Denoteremo inoltre con Ft(A) il risultante di tutte le forze agenti su A al tempo t. In
analogia con la legge di Newton, si assume la seguente legge di bilancio dell’impulso: per
ogni volume materiale {At|t ∈ [0, t]}, la derivata temporale dell’impulso Pt(At) è pari al
risultante Ft(At) delle forze agenti su At. In formule:
d
dt Pt(At) = Ft(At) (6.13)
per ogni volume materiale.
Occorre ora formulare delle assunzioni sulla natura delle forze agenti su ciascuna parte
A del sistema continuo. Si assume che le forze agenti su A siano di due tipi: un primo
tipo, il cui risultante si denota con F V
t (A), rappresenta le azioni che vengono esercitate

6.4. BILANCIO DELL’IMPULSO (EQUAZIONE DI NEWTON) 101
dall’esterno su tutte le particelle di A. Un esempio di forza di questo tipo è l’attrazione di
gravità. La forza F V
t (A) è detta forza di volume. Si assume su essa una relazione analoga
a quella che ci ha permesso di definire la densità di massa. Si suppone, cioè, che esista un
campo vettoriale b(x, t) regolare, detto forza specifica (o forza per unità di massa) tale che
ρ(x, t)b(x, t)dx.
F V
t (A) =
A
La funzione b(x, t), rappresentando le forze agenti dall’esterno, si supporrà nota ed in
particolare, sarà nulla per i sistemi isolati. Le forze del secondo tipo, il cui risultante
si denota con F S
t (A), rappresenta l’azione delle altre parti del sistema sulla parte A. Si
suppone che queste forze siano a corto raggio e che si esplichino soltanto sulla frontiera ∂A
di A. In modo analogo al caso delle forze di volume, anche nel caso delle forze di superficie
si suppone che esista una funzione vettoriale regolare φ(x, n, t), detta sforzo specifico agente
in x al tempo t su una superficie unitaria di normale n = n(x), tale che
φ(x, t, n(x))dσ(x). (6.14)
At
F S
t (A) =
∂A
L’ipotesi (6.14) è nota come ipotesi di Eulero-Cauchy sugli sforzi. In conseguenza di queste
assunzioni, ricordando inoltre il teorema del trasporto 6.2.1, la legge di bilancio dell’impulso
si scrive
ρ(x, t)b(x, t)dx + φ(x, t, n(x))dσ(x) =
A
∂A
d
ρudx
dt At
D
(ρu) + ρudivu dx = ρ
Dt D
D
u + u ρ + ρdivu dx.
Dt Dt
At
Ricordando l’equazione di continuità, il termine tra parentesi tonde nell’ultima riga si
annulla. Otteniamo dunque
ρ D
udx = ρ(x, t)b(x, t)dx + φ(x, t, n(x))dσ(x). (6.15)
Dt
At
At
Una prima conseguenza della (6.15) è il seguente teorema di Cauchy sugli sforzi che
stabilisce che la dipendenza dello sforzo specifico φ dalla direzione n è necessariamente
lineare.
Teorema 6.4.1 (Teorema di Cauchy) Esiste un campo di matrici S(x, t) ∈ M(3 × 3)
tale che
φ(x, t, n) = S(x, t)n,
e in termini di componenti,
φi(x, t, n) =
∂At
3
Si,j(x, t)nj.
j=1

102 CAPITOLO 6. MOTO DI UN SISTEMA CONTINUO
Il campo di matrici S è detto tensore degli sforzi.
Dimostrazione. Per dimostrare il teorema di Cauchy, costruiamo la regione T , detta tetraedro
di Cauchy, nel modo seguente. Supponiamo che il vettore normale n non sia parallelo
a nessun piano coordinato. Consideriamo il piano ortogonale ad n posto a distanza ɛ da x
(ce ne sono due, scegliamo quello posto nella regione verso cui è diretto n). Questo piano
interseca le rette parallele agli assi coordinati e passanti per x in tre punti, che chiamiamo
x1, x2 e x3 (rispettivamente intersezioni del piano con le rette parallele all’asse delle x,
delle y e delle z). Chiamiamo T il tetraedro di vertici x, x1, x2 e x3. Chiamiamo inoltre
Σ0 la faccia del tetraedro ortogonale ad n. Denotiamo inoltre con Σx, Σy e Σz le facce
del tetraedro la cui normale è parallela agli assi x, y e z rispettivamente. Mostriamo che
valgono la seguenti relazioni
|Σx| = |n1||Σ0|, |Σy| = |n2||Σ0|, |Σz| = |n3||Σ0|, (6.16)
ove il simbolo |Σi| indica l’area di Σi, i = 0, 1, 2, 3, e dove n1, n2, n3 sono le componenti
del versore normale. Per mostrare (6.16) poniamo rj = −→
xxj, j = 1, 2, 3. Mostriamo solo la
prima delle tre relazioni precedenti, le altre due si dimostrano analoamente. Dalle proprietà
del prodotto vettoriale segue che
( −−→
x2x3 ∧ −−→
x2x1) = 2|Σ0|n,
ricordando anche che n è ortogonale ai vettori −−→
x2x3 e −−→
x2x1 ed ha modulo unitario. Ora, la
prima componente di n sarà pari a (n, e1), dove e1 è il primo versore coordinato. Quindi,
applicando il prodotto scalare per e1 alla relazione precedente si ha
( −−→
x2x3 ∧ −−→
x2x1, e1) = 2|Σ0|n1.
Usando il fatto che −−→
x2x3 = r3 − r2 e −−→
x2x1 = r1 − r2, e ricordando che il prodotto vettoriale
di due vettori paralleli è nullo, otteniamo
(r2 ∧ r3, e1) = 2|Σ0|n1.
Infine, dato che i due fattori del precedente prodotto vettoriale sono ortogonali, si ha che
il modulo del vettore a sinistra è pari a r2 ∧ r3, ovvero 2|Σx|, e questo prova la (6.16).
Consideriamo ora la relazione (6.15) sul volume T , dividendo la relazione per l’area
della superficie di T e mandando ɛ a zero. I due termini che coinvolgono integrali di
volume danno un contributo nullo al limite per ɛ → 0. Ad esempio, per il termine forzante
si ha
Otteniamo dunque
1
|∂T |
T
ρbdx
|T |
≤ sup |ρb| → 0 per ɛ → 0.
|∂T |
1
lim φ(x, t, n(x))dσ(s) = 0.
ɛ→0 |∂T | ∂T

6.4. BILANCIO DELL’IMPULSO (EQUAZIONE DI NEWTON) 103
Dato che, per ɛ molto piccolo, ciascun integrale sulle facce di T è pari al prodotto della
superficie della faccia per φ(x, t, m(x)), dove m(x) è il versore normale corrispondente alla
faccia, dalla relazione precedente e dalla (6.16) otteniamo
φ(x, t, n) +
3
φ(x, t, −ej)|nj| = 0,
j=1
ove ej è il j–esimo versore coordinato. Per scrivere la relazione precedente si osservi che le
normali alle facce Σx, Σy e Σz sono paralleli ai versori coordinati. La relazione precedente
implica
φ(x, t)n =
3
φ(x, t, ej)nj,
j=1
che coincide con la tesi.
Il teorema di Cauchy consente di esprimere le forze di superficie in termini di un integrale
di volume mediante il teorema di Gauss:
ove
F S
t (A) =
∂A
φ(x, t, n(x))dσ(x) =
Il bilancio dell’impulso diviene così
ρ D
udx =
Dt
At
[divS(x, t)]i =
e l’arbitrarietà della regione At comporta
At
∂A
S(x, t)n(x)dσ(x) =
3
j=1
∂Si,j
∂xj
ρ(x, t)b(x, t)dx +
ρ D
u = divS + ρb,
Dt
(x, t).
At
A
divS(x, t)dx,
divS(x, t)dx. (6.17)
che è detta legge di bilancio locale dell’impulso. Ricordando la definizione di Du,
l’equazione
Dt
precente si scrive anche
ρut + ρ(u · ∇u) = divS + ρb.
Ricordando anche l’equazione di continuità, il bilancio dell’impulso si scrive come
∂t(ρui) +
3
k=1
Introducendo poi la matrice u ⊗ u di componenti
∂xk [ρuiuk − Si,k] = ρbi, i = 1, 2, 3.
(u ⊗ u)i,j = uiuj, i, j = 1, 2, 3,
che si legge ‘u tensore u’, la relazione vettoriale precedente può essere scritta più brevemente
∂t(ρu) + div[ρu ⊗ u − S] = ρb. (6.18)

104 CAPITOLO 6. MOTO DI UN SISTEMA CONTINUO
6.5 Bilancio del momento angolare
Come in Meccanica, anche in Dinamica dei fluidi, a fianco della prima equazione cardinale,
che traduce il bilancio dell’impulso, vi è una seconda equazione che traduce il bilancio del
momento angolare. Per stabilirla definiamo momento angolare di A al tempo t la quantità
Kt(A) =
A
ρ(x, t)[x ∧ u(x, t)]dx,
avendo fissato una volta per tutte il polo nell’origine. Definiamo inoltre momento delle
forze di superficie la quantità
M S t (A) =
e momento delle forze di volume la quantità
M V t (A) =
∂A
A
[x ∧ φ(x, t, n(x))]dσ(x)
ρ(x, t)[x ∧ b(x, t)]dx.
La legge di bilancio del momento angolare stabilisce che per ogni volume materiale At
risulta
d
dt Kt(At) = M S t (A) + M V t (A).
Usando il teorema del trasporto e l’equazione di continuità, e ricordando che Dx/Dt = u
e che u ∧ u = 0, otteniamo grazie al teorema di Cauchy
At
ρx ∧ D
u(x, t)dx = [x ∧ (S(x, t)n(x))]dσ(x) + ρ(x, t)[x ∧ b(x, t)]dx. (6.19)
Dt ∂At
At
Il teorema di Gauss implica
∂At
[x ∧ (S(x, t)n(x))]dσ(x) =
At
div[x ∧ S(x, t)]dx.
Sostituendo queste relazioni nella (6.19), la legge locale di bilancio dell’impulso implica,
per l’arbitrarietà di At,
x ∧ divS = div(x ∧ S),
relazione che, scritta per componenti risulta verificata se e solo se S T = S. In conclusione,
se vale il bilancio dell’impulso in forma locale, il bilancio del momento angolare è equivalente
all’assunzione che il tensore degli sforzi è una matrice simmetrica. Tralasciamo i dettagli
più delicati del conto precedente, ricordando solo che l’operatore di divergenza agisce in
questo caso su una matrice, e dà come risultato un vettore.

6.6. BILANCIO DELL’ENERGIA (PRIMA LEGGE DELLA TERMODINAMICA) 105
6.6 Bilancio dell’energia (prima legge della Termodinamica)
Come in Meccanica, il bilancio dell’energia gioca un ruolo fondamentale nella Dinamica
dei fluidi. Poiché un sistema continuo è soggetto, oltre che a fenomeni meccanici, anche
a fenomeni termici, la formulazione della legge di bilancio dell’energia va generalizzata in
analogia a quanto si fa in Termodinamica. Definiamo energia cinetica di A al tempo t la
quantità
E (cin)
1
t (A) =
A 2 ρ(x, t)|u(x, t)|2dx. Si definisce potenza delle forze superficiali agenti su A al tempo t la quantità
u(x, t)S(x, t)n(x)dσ(x).
P S t (A) =
∂A
Si definisce potenza delle forze di volume agenti su A al tempo t la quantità
ρ(x, t)u(x, t)b(x, t)dx.
P V t (A) =
A
In assenza di fenomeni termici il bilancio dell’energia stabilirebbe l’uguaglianza
d
dt E(cin) t (At) = P S t (At) + P V t (At).
Tuttavia, quando i fenomeni termici sono rilevanti, la relazione precedente è falsa. La
Termodinamica suggerisce l’introduzione, a fianco dell’energia cinetica, di un’altra forma
di energia, detta energia interna, che verrà denotata con E (int)
t (A). Per l’energia interna
vale un’assunzione analoga a quella fatta per la massa totale del mezzo, che si può esprimere
in modo localizzato mediante l’elemento infinitesimo di massa ρdx. Anche per l’energia
interna si ottiene mediante l’integrale di un termine localizzato su un elemento infinitesimo
di massa, nel senso che esiste una funzione regolare e(x, t) detta energia interna specifica,
tale che
E (int)
t (A) = ρ(x, t)e(x, t)dx.
A
Occorre introdurre inoltre la potenza termica fornita ad A al tempo t, che si denota con
Qt(A). In analogia a quanto fatto per la forza, si suppone che la potenza termica derivi
da due tipi di contributi: uno, Q V t (A) esprimibile attraverso un integrale di volume (che
dunque ammette un corrispondente termine localizzato su una particella elementare del
mezzo), che tiene conto di eventuali trasferimenti di calore per irraggiamento. In base a
tali ipotesi, esiste una funzione r(x, t) regolare, detta potenza termica specifica in modo
che
ρ(x, t)r(x, t)dx.
Q V t (A) =
A

106 CAPITOLO 6. MOTO DI UN SISTEMA CONTINUO
L’altro contributo, Q S t (A) che tiene conto di fenomeni di conduzione termica, è ottenuto
mediante integrazione sulla superficie di A e quindi esiste una funzione regolare h(x, t, n)
detta flusso termico attraverso una superficie unitaria passante per x di normale n tale che
h(x, t, n(x))dσ(x).
Q S t (A) =
∂A
Il principio di bilancio dell’energia o prima legge della Termodinamica stabilisce allora che
per ogni volume materiale At risulta
d
dt (E(cin) t
(At) + E (int)
t (At)) = P S t (At) + Q S t (At) + P V t (At) + Q V t (At). (6.20)
Usando il teorema del trasporto e l’equazione di continuità, possiamo riscrivere il primo
membro della (6.20) come
d
dt (E(cin) t
=
At
(At) + E (int)
t (At)) =
ρ D
2
|u|
+ e dx +
Dt 2
At
2 ∂ |u|
ρ + e dx
∂t 2
2
|u| Dρ
+ e + ρdivu dx =
2 Dt
Dunque il bilancio dell’energia si riscrive come
ρ D
2
|u|
+ e dx =
Dt 2
(u · Sn + h)dσ(x) +
At
At
∂At
At
At
ρ D
2 |u|
+ e dx.
Dt 2
ρ(u · b + r)dx (6.21)
La prima conseguenza della (6.21) è l’analogo del teorema di Cauchy per il flusso termico
(la dimostrazione è identica a quella del teorema di Cauchy): esiste un campo vettoriale
regolare q(x, t) detto vettore flusso di calore, tale che
h(x, t, n) = −q(x, t)n.
Il segno nella precedente relazione è fissato in modo che, quando q forma un angolo acuto
con la normale esterna, l’energia del sistema diminuisca e cioè vi sia un flusso di energia
termica da A verso l’esterno. In tal modo q è effettivamente diretto concordemente al verso
in cui fluisce l’energia.
Ricordando la definizione di D/Dt, il teorema di Gauss, ed usando l’arbitrarietà di At,
la (6.21) implica
2
2
|u| |u|
ρ∂t + e + ρu · ∇ + e = div[u · S − q] + ρ[u · b + r], (6.22)
2 2
ove
div[u · S] =
3
i,k=1
∂xk uiSi,k = u · divS + Tr(∇uS),

6.6. BILANCIO DELL’ENERGIA (PRIMA LEGGE DELLA TERMODINAMICA) 107
e Tr(∇uS) è la traccia del prodotto tra le matrici ∇u ed S. Si noti che, per la simmetria di
S l’ordine degli indici nella matrice ∇u è irrilevante. Usando il bilancio locale dell’impulso,
possiamo riscrivere la (6.22) come
ρ De
Dt
= Tr(∇uS) − divq + ρr. (6.23)
Un’altra utile forma dell’equazione di bilancio dell’energia si ottiene dalla (6.22) utilizzando
l’equazione di continuità, ovvero
2
2
|u| |u|
∂t ρ + e + div ρu + e − Su + q = ρ(u · b + r). (6.24)
2 2
Riassumendo, i moti di un sistema continuo soddisfano un sistema di equazioni locali
della forma ⎧⎪
∂ρ
+ u · ∇ρ + ρdivu = 0
⎨
∂t
∂
ρ u + u · ∇u = divS + ρb
∂t
⎪⎩
∂e
ρ + u · ∇e = Tr(∇uS) − divq + ρr,
∂t
(6.25)
che rappresentano le leggi di bilancio di massa, impulso ed energia. Una forma alternativa
di tale sistema, detta forma conserativa, è la seguente
⎧
∂
ρ + div[ρu] = 0
⎪⎨ ∂t
∂
(ρu) + div[ρu ⊗ u − S] = ρb
(6.26)
∂t
2
2
⎪⎩
∂ |u| |u|
ρ + e + div ρu + e − Su + q = ρ(u · b + r).
∂t 2 2
Per sistemi isolati, ovvero con b = 0 e r = 0, si ha
⎧
∂
ρ + div[ρu] = 0
⎪⎨ ∂t
∂
(ρu) + div[ρu ⊗ u − S] = 0
∂t 2
2
⎪⎩
∂ |u| |u|
ρ + e + div ρu
∂t 2 2
+ e − Su + q = 0.
(6.27)
Le (6.27) rappresentano un sistema di 5 leggi di conservazione scalari.
È opportuno notare che le equazioni ottenute in una delle forme precedenti, sono valide
per un qualsiasi sistema continuo, ma contengono un numero eccessivo di funzioni incognite
per poter essere effettivamente sufficienti alla determinazione dell’evoluzione del sistema.
In esse infatti appaiono le funzioni ρ, u, e, S e q, per un totale di 1 + 3 + 1 + 6 + 3 = 14
funzioni incognite, avendo supposto dati b e r. La discussione precedente infatti si limita

108 CAPITOLO 6. MOTO DI UN SISTEMA CONTINUO
a stabilire l’esistenza di tali funzioni ma non fornisce nessun metodo per determinarle.
È evidente che occorre stabilire delle relazioni tra le incognite in modo da ridurre il loro
numero a cinque, quante sono le equazioni. Queste relazioni, dette equazioni costitutive,
a differenza dalle equazioni di bilancio, non sono di validità generale, ma dipendono dal
modello di sistema continuo che si intende studiare.

Capitolo 7
Equazioni di Eulero e Navier–Stokes
In questo capitolo ricaveremo sistemi di equazioni per il moto di certi tipi di fluidi (a
seconda delle leggi costitutive considerate) partendo dal contenuto del capitolo precedente.
7.1 Fluidi ideali
I modelli di sistema continuo di cui ci occuperemo saranno esclusivamente i fluidi. La
nozione intuitiva di fluido è evidente. Non forniremo qui definizioni generali di fluidi ma
ci limiteremo a dare una caratterizzazione sufficiente per i nostri propositi. Cominciamo
con il definire stato di equilibrio di un sistema continuo uno stato del sistema che, assunto
inizialmente, persiste indefinitamente nel tempo. Uno stato di equilibrio è necessariamente
uno stato in cui non vi è moto (u = 0), non vi è flusso di calore (q = 0) e tutte le altre
quantit’a (ρ, e ed S) non dipendono dal tempo. Lo studio di questi stati è usualmente
detto Idrostatica. Diremo poi che il sistema non esplica sforzi di taglio se lo sforzo specifico
φ(x, t, n) esercitato dal sistema sulla superficie Σ di normale n non ha componenti
tangenziali a Σ (sforzi di taglio) e cioè è puramente normale. Quando ciò si verifica, per il
teorema di Cauchy, esiste una funzione reale regolare p(x, t) tale che
φ(x, t, n) = −p(x, t)n.
La funzione p(x, t) è detta pressione. Diremo che un sistema continuo è un fluido quando
all’ equilibrio esso non esplica sforzi di taglio. Questa definizione traduce la nota proprietà
idrostatica dei fluidi di non essere in grado di conservare la forma. Infatti, per alterare
localmente la forma di un corpo supponiamo di applicare una forza non normale alla
superficie del corpo. A tale forza un fluido in equilibrio non è in grado di reagire per
definizione di fluido e quindi la forma del fluido può essere alterata arbitrariamente.
Denotata con S (e) la determinazione del tensore degli sforzi all’equilibrio, in modo che
in ogni altro stato risulti
S = S (e) + N,
109

110 CAPITOLO 7. EQUAZIONI DI EULERO E NAVIER–STOKES
ove N rappresenta la deviazione del tensore degli sforzi dalla sua determinazione idrostatica,
in un fluido risulta allora
= −pδi,j,
S (e)
i,j
ove il simbolo δi,j rappresenta il Delta di Kronecker
δi,j =
1
0
se i = j
se i = j .
In forma matriciale,
S (e) = −pId,
ove Id è la matrice identica in R d . La definizione data di fluido stabilisce in sostanza
che un fluido in condizioni idrostatiche può esplicare soltanto pressioni. Il fluido ideale è
caratterizzato dalle seguenti proprietà
(i) il fluido ideale non è in grado di esplicare sforzi di taglio;
(ii) il fluido ideale non è conduttore di calore
La condizione (i) vuol dire che l’assenza di sforzi di taglio non è ristretta soltanto alle
situazioni idrostatiche ma si presenta in tutti gli stati del fluido ideale. Pertanto per un
fluido ideale
N = 0, Si,j = −pδi,j.
La condizione (ii) equivale ad assumere che non vi sia flusso di calore anche fuori dall’equilibrio
(fluido termicamente isolante), ovvero q = 0. Le assunzioni (i) e (ii) riducono le
incognite per un fluido ideale a ρ, u, p ed e per un totale di 1 + 3 + 1 + 1 = 6, e cioè una
in più rispetto alle equazioni disponibili. Questa indeterminazione residua non è sorprendente
in quanto, come sappiamo dalla Termodinamica, la natura di uno specifico fluido
è determinata quando sia assegnata la sua equazione di stato, cioè una funzione regolare
ˆp(ρ, e) tale che per ogni x e t la pressione sia data dalla relazione
p = ˆp(ρ, e).
In realtà spesso risulta conveniente utilizzare, in luogo della variabile indipendente e
un’altra variabile di più immediata interpretazione empirica, cioè la temperatura assoluta
T (x, t) > 0. In tal caso, la Termodinamica fornisce due funzioni regolari ˜p(ρ, T ) e
˜e(ρ, T ) in modo che per ogni x e t l’energia interna specifica e la pressione p siano date
dalle relazioni
e(x, t) = ˜e(ρ(x, t), T (x, t)), p(x, t) = ˜p(ρ(x, t), T (x, t)). (7.1)
Utilizzando le precedenti assunzioni nelle (6.25) e nelle (6.26), si ottengono le equazioni
⎧
∂ρ
+ u · ∇ρ + ρdivu = 0
⎪⎨
∂t
∂
ρ u + u · ∇u + ∇˜p(ρ, T ) = ρb
(7.2)
∂t
⎪⎩
∂˜e(ρ, T )
ρ + u · ∇˜e(ρ, T ) + ˜p(ρ, T )divu = ρr.
∂t

7.2. FLUIDI PERFETTI 111
Equivalentemente
⎧
∂
ρ + div[ρu] = 0
⎪⎨ ∂t
∂
∂t
⎪⎩
(ρu) + div[ρu ⊗ u − ˜p(ρ, T )Id] = ρb
2
2
∂ |u| |u|
ρ + ˜e(ρ, T ) + div ρu + ˜e(ρ, T ) + u˜p(ρ, T ) = ρ(u · b + r).
∂t 2 2
(7.3)
Le equazioni (7.3) appaiono come un sistema di cinque equazioni differenziali alle derivate
parziali nelle cinque funzioni incognite ρ, u e T . Nel caso r = 0 e b = 0 esse rappresentano
un sistema di cinque leggi di conservazione. Ai due precedenti sistemi di equazioni viene
dato il nome di equazioni di Eulero per un fluido ideale. Nel seguito ometteremo la tilde
usata per distinguere le funzioni che esprimono le equazioni di stato dai corrispondenti
valori.
7.2 Fluidi perfetti
Come in Termodinamica il gas perfetto gioca un ruolo privilegiato per la sua semplicità,
così in Dinamica dei fluidi un ruolo privilegiato è giocato dal fluido perfetto, caratterizzato
dall’equazione di stato dei gas perfetti e dalla linearità della funzione che esprime l’energia
interna specifica in termini della temperatura. Infatti, diremo fluido perfetto un fluido
ideale tale che
p = RρT, e = cvT.
La costante R prende il nome di costante dei gas perfetti mentre
cv = 3
2 R
è il cosiddetto calore specifico a volume costante. Con un’opportuna scelta delle unità di
misura ci si può sempre ridurre al caso R = 1, in corrispondenza del quale cv = 3/2. Nel
seguito supporremo di aver fissato unit’a di misura tali che la costante dei gas perfetti si
riduce all’unità. Le equazioni di Eulero per un fluido perfetto si scrivono
⎧
∂ρ
+ u · ∇ρ + ρdivu = 0
⎪⎨
∂t
∂
ρ u + u · ∇u + ∇p = ρb
∂t
⎪⎩
3
2 ρ
∂T
+ u · ∇T + pdivu = ρr.
∂t
(7.4)

112 CAPITOLO 7. EQUAZIONI DI EULERO E NAVIER–STOKES
Equivalentemente
⎧
∂
ρ + div[ρu] = 0
⎪⎨ ∂t
∂
∂t
⎪⎩
(ρu) + div[ρu ⊗ u − pId] = ρb
2 ∂ |u| 3
ρ +
∂t 2 2 T
2 |u|
+ div ρu
2
con
p = ρT.
5
+
2 T
= ρ(u · b + r),
(7.5)
Una notevole proprietà del fluido perfetto, che segue dalle (7.4) è la seguente: si ponga
ρ
s(ρ, T ) = − log
T 3/2
. (7.6)
Risulta allora
Ds
Dt =
− 1
3 DT
+ =
ρ 2T Dt
1
T
p De
divu + =
ρ Dt
r
T ,
ove abbiamo usato l’equazione di continuità e le espressioni per p ed e in un fluido perfetto.
La quantità s è denominata entropia specifica (termodinamica). La relazione precedente
può sostituire la terza delle equazioni (7.4), in quanto è ad essa equivalente. In tal modo
si ottiene il sistema ⎧⎪
∂
ρ + div[ρu] = 0
⎨∂t
∂
∂t
⎪⎩
(ρu) + div[ρu ⊗ u + pId] = ρb
∂s
r
(ρ, T ) + u · ∇s(ρ, T ) =
∂t T .
(7.7)
In particolare, nel caso di sistemi in cui r = 0 (assenza di irraggiamento), ne consegue
che l’entropia specifica è costante lungo le traiettorie delle particelle di un fluido perfetto.
Inoltre, se i dati iniziali sono tali che l’entropia al tempo t = 0 è costante (s(X, 0) =
s0(X) = s0), allora tale è anche l’entropia specifica all’istante generico t. In conseguenza
di ciò si ottiene la relazione
T 3/2
ρ = es0 ,
che permette di esprimere T in funzione di ρ:
T = ρ 2/3 e ( 2s 0
3 ) .
Utilizzando questa relazione nell’equazione di stato si ottiene allora
con
p = Bρ γ ,
γ = 5
3 , B = e( 2s 0
3 ) .

7.3. FLUIDO VISCOSO DI NAVIER-STOKES 113
In queste condizioni le prime due equazioni (7.7) diventano un sistema di quattro equazioni
nelle quattro incognite ρ ed u completamente disaccoppiato dall’equazione per l’energia o
da quella per l’entropia. Esse si scrivono
⎧
⎪⎨
∂
ρ + div[ρu] = 0
∂t
⎪⎩
∂
(7.8)
(ρu) + div[ρu ⊗ u] + ∇p(ρ) = ρb,
∂t
con
p(ρ) = Bρ γ . (7.9)
I flussi del fluido perfetto che soddisfano le equazioni (7.8) sono detti flussi isoentropici.
7.3 Fluido viscoso di Navier-Stokes
L’incapacità del fluido ideale di esercitare sforzi di taglio porta spesso a dei paradossi, quali
ad esempio il fatto che uno strato del fluido che si muove a velocità u(x, t) possa scivolare
su uno strato adiacente che si muove a velocità u(x + ∆x, t) senza nessuna resistenza a
tale moto. In Meccanica sappiamo che, ad esempio una particella che si muove su una
superficie, subisce una forza di attrito che può essere trascurata in situazioni idealizzate,
ma invece produce effetti significativi in molte situazioni concrete. Un fenomeno simile
si presenta nei fluidi reali, nei quali lo scivolamento di uno strato di fluido su un altro è
contrastato da una resistenza viscosa.
È questa uno sforzo di taglio che si manifesta nel
fluido in condizioni non idrostatiche. La necessità di includere fenomeni di questo tipo
nel modello di fluido ha portato alla formulazione di numerosi modelli, tra i quali quello
di gran lunga più utilizzato e più famoso è quello del fluido viscoso di Navier-Stokes che
descriviamo qui di seguito. Rinunceremo ad assumere N = 0, in quanto il modello deve
esercitare sforzi di taglio. Pertanto per il fluido di Navier-Stokes si assumerà
S = −pId + N.
La pressione p e l’energia interna specifica e saranno assunte ancora legate alla densità ρ
ed alla temperatura T dalle relazioni (7.1) assunte per il fluido ideale, in quanto esse sono
basate su considerazioni all’equilibrio. Invece non assumeremo più q = 0 in quanto, in
presenza di attrito, si ha conversione di energia meccanica in calore che ha la tendenza
a spostarsi verso le regioni a temperatura più bassa. Per caratterizzare completamente
il modello, occorre fornire delle espressioni per N e q. Esse saranno dedotte da alcune
assunzioni ‘naturali’, che illustreremo nel seguito. Cominciamo con l’osservare che, se il
campo di velocità u fosse spazialmente omogeneo, non vi sarebbero fenomeni di attrito.
In conseguenza, la quantità rilevante per la determinazione della presenza di attrito è la
matrice ∇u. In realtà non tutta la matrice ∇u, ma solo la sua parte simmetrica ha un
ruolo nel fenomeno di slittamento tra strati di fluido. Infatti, si decomponga
∇u = D + Ω

114 CAPITOLO 7. EQUAZIONI DI EULERO E NAVIER–STOKES
ove D = 1
2 (∇u + (∇u)T ) ed Ω = 1
2 ((∇u) − (∇u)T ) denotano rispettivamente la parte
simmetrica ed antisimmetrica1 di ∇u. Per componenti,
Di,j = 1
∂ui
+
2 ∂xj
∂uj
, Ωi,j =
∂xi
1
∂ui
−
2 ∂xj
∂uj
.
∂xi
Se x ed x ′ sono punti sufficientemente prossimi (x − x ′ < δ), si ha
Ponendo
u(x ′ ) = u(x) + D(x)(x ′ − x) + Ω(x)(x ′ − x) + O(δ 2 ).
ω = rotu
si ha (facendo i calcoli, utilizzando la definizione di rotore)
u(x ′ ) = u(x) + D(x)(x ′ − x) + 1
2 ω(x) ∧ (x′ − x) + O(δ 2 ). (7.10)
La relazione precedente mostra che, se D = 0, il moto è localmente coincidente con un
moto rigido e ω/2 rappresenta la velocità angolare di tale moto rigido. Il campo vettoriale
ω = rotu è detto campo di vorticità a causa di questa interpretazione. Poiché in un moto
rigido le distanze tra i punti sono costanti, se D = 0 non vi sono moti relativi tra strati
vicini del fluido. Siano X ed X ′ le posizioni al tempo t = 0 delle particelle che sono
rispettivamente in x ed x ′ al tempo t. Posto h(t) = Φ(X ′ , t) − Φ(X, t), si ha
d
dt h(t)2 = 2h(t)[u(Φ(X ′ , t), t) − u(Φ(X, t), t)] = 2h(t) · (∇u)h(t) + O(δ 2 ).
Usando la decomposizione di ∇u in parte simmetrica ed antisimmetrica e ricordando le
proprietà del prodotto vettoriale, otteniamo
d
dt h(t)2 = 2h(t) · D(x, t)h(t) + O(δ 2 ).
La precedente relazione mostra che D misura la velocità con cui variano le distanze tra
i punti, ed è detto per questo velocità di deformazione. In base alla relazione (7.10), il
moto si decompone localmente in una rotazione con velocità angolare ω/2 ed in una deformazione
con velocità D. Le considerazioni precedenti portano ad assumere che N è una
funzione esclusivamente di D nulla per D = 0. Per D piccoli, N(D) sarà ragionevolmente
approssimata da una funzione lineare.
È pertanto ‘naturale’ assumere N = N(D) funzione
lineare di D. D’altra parte, le matrici N e D dipendono dal riferimento prescelto, mentre è
naturale presumere che la relazione che le lega sia indipendente dalla scelta del riferimento.
Poiché un cambiamento di riferimento è indotto da una matrice ortogonale Q, si assume
che
N(QDQ −1 ) = QN(D)Q −1
1 Ricordiamo che una matrice quadrata A si dice antisimmetrica se A T = −A

7.3. FLUIDO VISCOSO DI NAVIER-STOKES 115
per ogni matrice ortogonale Q 2 . Ricordando poi che N e D sono entrambe matrici
simmetriche, si dimostra che esistono λ e µ reali, tali che
N = 2µD + λdivuI3. (7.11)
Dimostriamo la (7.11). Poiché N è funzione lineare di D, N e D commutano 3 . D’altra parte
sono simmetriche e pertanto possono essere diagonalizzate simultaneamente 4 . Fissiamo la
base comune di autovettori, visto che per le ipotesi precedenti la relazione che dedurremo
sarà valida poi in ogni base. Denotiamo poi con ni e di, i = 1, 2, 3 i rispettivi autovalori.
Ovviamente, qli ni sono lineari nei di. Inoltre ancora le ipotesi precedenti assicurano che
la relazione tra loro è invariante per permutazioni degli assi (una permutazione può essere
ottenuta combinando rotazioni e riflessioni). L’unica funzione lineare che soddisfa queste
relazioni ha la forma
ni = λ(d1 + d2 + d3) + 2µdi,
per λ e µ reali. Poiché d1 + d2 + d3 = TrD = divu, ritornando alla base originaria, la (7.11)
è provata.
Il segno dei coefficienti λ e µ è di importanza fondamentale. Per fissarlo ricordiamo
che N rappresenta degli sforzi di tipo viscoso, in corrispondenza dei quali vi è perdita di
energia meccanica ed aumento di energia interna. Dalla (6.23), usando che TrΩ = 0 e
TrD = divu ed usando anche che
si ha
Tr(ΩD) = Tr
1
(∇u)
4
2 − (∇u) T 2
= 0,
Tr(∇uS) = Tr(DS + ΩS) = Tr(DS) − pTrΩ + Tr(ΩN)
= Tr(D(−pI + N)) + Tr(Ω(2µD + λdivuI))
= −pdivu + Tr(DN) + 2µTr(ΩD) + λdivuTrΩ
= −pdivu + Tr(D(2µD + λdivu))
= −pdivu + 2µTr(D 2 ) + λ(divu) 2 .
Dunque, integrando la legge di bilancio dell’energia su tutto lo spazio, si rileva che il
contributo alla variazione di energia interna dato dai termini riguardanti λ e µ è dato da
Tr(DN) = 2µTr(D 2 ) + λ(divu) 2 .
Questa quantità è positiva per ogni scelta di u non costante se µ > 0 e λ > 0. Si osservi
inoltre che µ e λ, negli argomenti su esposti, potrebbero dipendere da ρ e T . Ma nei sistemi
2Tale relazione esprime la legge N = N(D) nella base ottenuta dal cambiamento di coordinate
rappresentato da Q.
3È una proprietà che segue da un semplice calcolo matriciale che omettiamo.
4Anche questa è una conseguenza di un teorema sulle matrici: due matrici quadrate che commutano
ammettono una base diagonalizzante comune.

116 CAPITOLO 7. EQUAZIONI DI EULERO E NAVIER–STOKES
concreti tali dipendenze sono piuttosto deboli. È per questo motivo che nel seguito li
assumeremo costanti. I coefficienti λ e µ sono detti rispettivamente coefficiente di viscosità
di volume (bulk viscosity) e coefficiente di viscosità di slittamento (shear viscosity).
Per completare il modello occorre fornire l’espressione di q. Osserviamo che, quando la
temperatura è costante, non vi è flusso di calore, in quanto il calore fluisce dalle parti del
sistema a temperatura più alta a quelle a temperatura più bassa, mentre non vi è flusso
di calore tra parti alla stessa temperatura (in equilibrio termico). In conseguenza di ciò
assumeremo che q sia una funzione esclusivamente di ∇T , nulla per ∇T = 0. Per piccoli
gradienti di temperatura la funzione q = q(∇T ) sarà bene approssimata da una funzione
lineare e l’indipendenza dal riferimento implica che esista un numero reale κ tale che
q = −κ∇T. (7.12)
Il fatto che il calore fluisce nel verso opposto al gradiente di temperatura implica poi κ > 0.
Anche κ è assunta costante ed è detta coefficiente di conduzione termica. La relazione (7.12)
è stata già incontrata nel capitolo 2, ed è nota come legge di Fourier. Usando le precedenti
relazioni nelle equazioni di bilancio (6.25), otteniamo le equazioni
⎧
∂ρ
+ u · ∇ρ + ρdivu = 0
⎪⎨
∂t
∂
ρ u + u · ∇u + ∇p(ρ, T ) = µ∆u + (λ + µ)∇divu + ρb
∂t
⎪⎩
∂e
ρ + u · ∇e + p(ρ, T )divu = κ∆T + 2µTr(D
∂t 2 ) + λ(divu) 2 (7.13)
+ ρr.
Per arrivare alle equazioni (7.13), si utilizzano i seguenti calcoli
divS = div(−pI3 + N) = −∇p + div(2µD + λ(divu)I3)
= −∇p + µdiv ∇u + (∇u) T + λ∇divu = −∇p + µ∆u + µdiv(∇u) T + λ∇divu.
T
div(∇u)
i =
3 ∂
T
(∇u)
∂xj
i,j
3 ∂ ∂uj
=
∂xj ∂xi
= ∂
3 ∂uj
=
∂xi ∂xj
∂
divu.
∂xi
j=1
j=1
Mettendo insieme le due relazioni precedenti si ha
j=1
divS = −∇p + µ∆u + (λ + µ)div(∇u) T ,
che dimostra la seconda delle (7.13). Per mostrare la terza equazione, riutilizzare il conto
precedente relativo allo sviluppo di ∇uS. Le precedenti equazioni (7.13) sono dette
equazioni di Navier-Stokes. Se le relazioni tra p, e, ρ e T sono quelle del fluido perfetto
allora le equazioni di Navier-Stokes divengono
⎧
∂ρ
+ u · ∇ρ + ρdivu = 0
⎪⎨
∂t
∂
ρ u + u · ∇u + ∇p = µ∆u + (λ + µ)∇divu + ρb
∂t
⎪⎩
3
2 ρ
∂T
+ u · ∇T + pdivu = κ∆T + 2µTr(D
∂t 2 ) + λ(divu) 2 (7.14)
+ ρr,

7.4. FLUIDO INCOMPRESSIBILE 117
con
p = ρT.
Valutiamo la derivata temporale dell’entropia specifica in corrispondenza di tali equazioni.
Differenziando la (7.6) ed usando le (7.14), si ottiene
ρ Ds
Dt
q
= −div +
T
ρr
+ π
T
con
π = 1
4κ(∇
T
√ T ) 2 + λ(divu) 2 + 2µTr(D 2
) .
La quantità π è detta produzione di entropia. Essa è non negativa, come segue dall’esame
della sua espressione esplicita. In conseguenza, il fluido perfetto di Navier-Stokes soddisfa
la disuguaglianza di Clausius-Duhem
ρ Ds
Dt
q
≥ −div +
T
ρr
T ,
che esprime la seconda legge della Termodinamica per i sistemi non reversibili.
7.4 Fluido incompressibile
Nella pratica spesso si considerano situazioni nelle quali si possono trascurare le variazioni
locali di volume. Quando ciò si verifica si parla di fluido incompressibile. Si denoti con
V(At) = dx
la misura del volume materiale {At}, detta anche volume di At. Ricordando il teorema del
trasporto, si ha
d
dt V(At)
= divu(x, t)dx.
At
Pertanto il volume di ogni parte del fluido è costante nel tempo se e solo se divu = 0. La
condizione
divu = 0 (7.15)
è detta condizione di incompressibilità. Accanto ad essa, sebbene ciò non sia strettamente
indispensabile, assumeremo anche che la densità di massa sia costante nello spazio e nel
tempo:
ρ(x, t) = ρ.
Con tali assunzioni, evidentemente l’equazione di continuità è automaticamente soddisfatta
dai fluidi incompressibili. Tuttavia, le altre equazioni per il fluido, siano esse le (7.2)
o le (7.13), con p data dall’equazione di stato p = p(ρ, T ) non sono in generale compatibili
con tali assunzioni, essendo la (7.15), l’equazione di bilancio dell’impulso e l’equazione
At

118 CAPITOLO 7. EQUAZIONI DI EULERO E NAVIER–STOKES
di bilancio dell’energia un sistema di cinque equazioni nelle quattro incognite residue u e
T . Per tale motivo si interpreta la condizione di incompressibilità (7.15) come un vincolo
sui moti possibili del sistema ed in conseguenza si rinuncia all’equazione di stato per la
pressione. Infatti la pressione viene considerata come una nuova incognita da interpretarsi
come la reazione vincolare al vincolo di incompressibilità. In conseguenza di tale assunzione,
l’equazione di bilancio dell’energia risulta disaccoppiata da quella dell’impulso (usare
divu = 0 nell’equazione di bilancio dell’energia, sia nelle (7.4) che nelle (7.13)) e pertanto
le equazioni del fluido incompressibile divengono5
divu = 0
nel caso di fluido perfetto e
divu = 0
ut + u · ∇u + 1∇p
= b,
ρ
ut + u · ∇u + 1
ρ
µ
∇p = ∆u + b,
ρ
(7.16)
(7.17)
nel caso di fluido viscoso. Nelle (7.16) scompare ogni traccia della densità costante ρ, in
quanto p è ora un’incognita e nel seguito denoteremo con p quello che in effetti è il rapporto
p/ρ, continuando a chiamarlo pressione. Infatti la densità risulta un parametro irrilevante
nel moto di un fluido perfetto incompressibile. Nella (7.17) invece la densità ρ è presente
anche nel rapporto µ/ρ. Per tale motivo si introduce la quantità
ν = µ
ρ
che prende il nome di coefficiente di viscosità cinematica e le equazioni di (7.17) si scrivono,
senza far apparire esplicitamente la densità, come
divu = 0
(7.18)
ut + u · ∇u + ∇p = ν∆u + b,
Le (7.16) sono dette equazioni di Eulero incompressibili mentre le (7.18) sono dette equazioni
di Navier-Stokes incompressibili.
La precedente discussione è puramente formale, non essendo a priori giustificata la rimozione
dell’equazione di stato per la pressione e l’introduzione del vincolo di incompressibilità.
Si può però mostrare che le equazioni (7.16) e (7.18) possono essere giustificate
in un opportuno regime di approssimazione, che corrisponde alla maggior parte dei liquidi
in condizioni normali. 6 Tuttavia, sebbene ciò possa apparire strano, anche l’aria in condizioni
normali è ben approssimata dalle equazioni del fluido incompressibile, quando si
considerano velocità piccole rispetto a quella del suono, mentre i liquidi, in condizioni di
5 L’equazione di bilancio dell’energia è si può risolvere separatamente come un’equazione scalare una
volta nota u dalle prime due equazioni.
6 Vedi paragrafo 10.3.

7.4. FLUIDO INCOMPRESSIBILE 119
pressione estreme, possono comportarsi come fluidi comprimibili. In conclusione la proprietà
di incompressibilità non deve essere considerata come una proprietà assoluta di uno
specifico fluido, ma come una proprietà dei flussi di tale fluido nelle condizioni specificate.
Ciononostante, in conformità con l’uso corrente, ci riferiremo alle equazioni precedenti
come equazioni del fluido incompressibile.

120 CAPITOLO 7. EQUAZIONI DI EULERO E NAVIER–STOKES

Capitolo 8
Fluidi ideali
In questo capitolo studieremo le principali proprietà dei fluidi ideali. Restringeremo la
nostra attenzione ai fluidi ideali isoentropici ed ai fluidi ideali incompressibili. Ricordiamo
le equazioni ottenute nel capitolo 7. Per il fluido isoentropico si ha
ρt + div(ρu) = 0
(8.1)
ρ(ut + u · ∇u) + ∇p = ρb,
dove p = p(ρ) è l’equazione di stato per il fluido. Sia w(z) la primitiva di p ′ (z)/z:
w(z) =
z
1
p ′ (ζ)
ζ dζ,
ove l’estremo inferiore dell’integrale è stato posto in z = 1 per fissare le idee. In particolare,
se il fluido isoentropico è ideale, p(z) = Bz γ con γ = 5/3. Pertanto p ′ (z) = γBz γ−1 ,
p ′ (z)/z = γBz γ−2 e
w(z) = γ
γ − 1 Bzγ−1 + cost.
Utilizzando la funzione w, le (8.1) si scrivono anche
ρt + div(ρu) = 0
ut + u · ∇u + ∇w(ρ) = b.
La funzione w è detta a volte potenziale di pressione.
Le equazioni per il fluido ideale incompressibile si scrivono
divu = 0
ut + u · ∇u + ∇p = b.
(8.2)
(8.3)
L’analogia tra l’equazione di bilancio dell’impulso per il fluido isoentropico e per quello
incompressibile è evidente: basta sostituire il potenziale di pressione w(ρ) con la pressione
incognita per ottenere l’una dall’altra. Naturalmente le prime equazioni dei due sistemi
sono molto diverse e molto diversa è la loro interpretazione. Tuttavia l’analogia formale
consente di discutere alcune delle proprietà che seguono congiuntamente per i due sistemi
(8.2) e (8.3).
121

122 CAPITOLO 8. FLUIDI IDEALI
8.1 Condizioni al contorno
Le equazioni per il fluido ideale, così come quelle per gli altri casi considerati nel capitolo
precedente, sono state ottenute avendo in mente una situazione in cui il fluido riempie
tutto lo spazio. Nella pratica il fluido occupa una regione dello spazio. Denoteremo con
Ωt la chiusura dell’insieme dei punti di R3 occupati dal fluido al tempo t. In generale tale
regione può essere un’incognita del problema, come accade ad esempio se si studia il moto
dell’acqua in un bicchiere o le onde del mare, dove il pelo libero dell’acqua è incognito.
Problemi di questo tipo sono detti problemi di frontiera libera e la loro analisi matematica è
piuttosto difficile. Pertanto ci limiteremo a considerare situazioni, come quella di un gas in
un contenitore, in cui il dominio Ωt è assegnato a priori, e più in particolare, supporremo
che esso non dipenda dal tempo, e cioè il contenitore sia rigido. Nel seguito Ω denota
il dominio contenente il fluido e ∂Ω la sua frontiera, che si supporrà regolare (cioè con
normale infinitamente differenziabile in ogni punto). Un dominio particolarmente studiato
sarà il toro tridimensionale di lato L > 0 T3 L , ciò che equivale ad assumere che i campi
associati al fluido siano funzioni periodiche delle variabili spaziali x o X con di periodo
L nelle tre coordinate. Naturalmente si potrebbero considerare senza particolari difficoltà
periodi diversi in ciascuna coordinata, ma ci limiteremo a considerare un solo periodo. Con
T3 intenderemo il toro di lato 2π.
Il caso Ω = T 3 è molto studiato in quanto si tratta di un dominio compatto ma privo di
frontiera, in modo da poter trarre vantaggio dalla limitatezza del dominio senza dover analizzare
il comportamento del fluido vicino alla frontiera, problema che può a volte risultare
arduo. Quando il dominio non è un toro occorre specificare delle condizioni al contorno che
completano le equazioni stabilite in precedenza per i punti interni al dominio. La natura
fisica delle interazioni del fluido con il contenitore è complessa, ma noi ci limiteremo alla
schematizzazione che segue, che risulta in molti casi adeguata. Supporremo i campi ρ ed u
prolungati fino alla frontiera ∂Ω. Per determinare i valori da assegnare a ρ ed u sul bordo,
osserviamo innanzitutto che, se {Aɛ} è una famiglia di parti di Ω con frontiera regolare e
tale che |Aɛ|/|∂Aɛ| → 0, e se i campi coinvolti e le loro derivate sono limitati in Aɛ, allora,
con un argomento simile a quello usato nel capitolo 6 per ridurre le equazioni di bilancio
alla loro forma locale, si ottiene, per un qualsiasi sistema continuo
1
lim
ɛ→0 |∂Aɛ|
1
lim
ɛ→0 |∂Aɛ|
1
lim
ɛ→0 |∂Aɛ|
∂Aɛ
∂Aɛ
∂Aɛ
ρu · ndσ(x) = 0,
Sndσ(x) = 0,
[u · Sn − q · n]dσ(x) = 0.

8.1. CONDIZIONI AL CONTORNO 123
Se il fluido è ideale, tali condizioni divengono poi
1
lim
ɛ→0 |∂Aɛ|
1
lim
ɛ→0 |∂Aɛ|
1
lim
ɛ→0 |∂Aɛ|
∂Aɛ
∂Aɛ
∂Aɛ
ρu · ndσ(x) = 0,
pndσ(x) = 0,
pu · n]dσ(x) = 0. (8.4)
Ammettiamo ora che i campi ρ ed u e le loro derivate siano limitate fino al bordo. Per
ogni x ∈ ∂Ω si può allora considerare la famiglia {Aɛ} costituita da cilindri di generatrice
n(x) avente per base cerchi di centro x, raggio ɛ e altezza ɛ 2 . Applicando le (8.4) a tale
famiglia, con argomenti simili a quelli visti nel capitolo (6) si ottiene che le quantità ρu · n,
p e pu · n sono continue in x ∈ ∂Ω. La continuità di p implica ovviamente la continuità di
ρ, poichè p ′ (ρ) = 0. In conseguenza u · n è anche continuo. L’ultima delle condizioni (8.4)
non aggiunge informazioni.
La discussione precedente mostra che vicino al bordo è naturale prescrivere la pressione
e la componente normale della velocità. D’altra parte, in una situazione sperimentale
standard, la pressione al bordo è una costante pe e il contenitore a riposo. Pertanto le
equazioni (8.1) (8.3) vengono completate dalle condizioni al bordo
p(x, t) = pe, u(x, t) · n(x) = 0, x ∈ ∂Ω.
Che tali condizioni siano anche sufficienti a determinare in modo unico le soluzioni non
è evidente. Si rinvia per tale questione al teorema di unicità per i fluidi ideali, che come
vedremo sarà legato al teorema di unicità per l’equazione di Laplace.
Osserviamo che la condizione u·n = 0 sul bordo può essere interpretata come condizione
di impermeabilità del contenitore. Infatti, ricordando che la corrente di massa jρ = ρu, ne
segue che non vi è flusso di massa attraverso ∂Ω e quindi la massa totale del sistema si
conserva, ovvero
d
ρ(x, t)dx = 0.
dt Ω
Nulla è specificato per la componente tangenziale di u, che può essere non nulla: il fluido
ideale può infatti scivolare sulle pareti del contenitore. Questa è una differenza fondamentale
rispetto alle proprietà del fluido viscoso per il quale anche la componente tangenziale
della velocità deve annullarsi al bordo, cioè il fluido aderisce alle pareti.

124 CAPITOLO 8. FLUIDI IDEALI
8.2 Conservazione dell’energia totale
Assumiamo le equazioni del fluido isoentropico. Consideriamo la variazione dell’energia
cinetica totale del sistema, Kt(Ω) nel tempo.
d
dt Kt(Ω)
|u|
= ρt
Ω
2
+ ρu · ut dx
2
= −div[ρu] |u|2
− ρ(u · ∇u) · u − ρu · ∇w(ρ) + ρu · b dx.
2
Ω
Scrivendo (grazie alla formula (8.5) che dimostreremo più avanti)
ρ(u · ∇u) · u = ρu · ∇ |u|2
= div ρu
2 |u|2
−
2
|u|2
2 div(ρu)
ed usando la definizione di w, cioè ∇w = ρ−1∇p, si ha allora
d
dt Kt(Ω)
= −div ρu |u|2
− u · ∇p + ρu · b dx.
2
Ω
Usando il teorema di Gauss e la condizione al bordo u · n = 0, questa diviene poi
d
dt Kt(Ω)
= [−u · ∇p + ρu · b] dx.
D’altra parte, poichè per le condizioni al bordo
pu · ndσ = 0,
introdotta la funzione W (z) tale che W ′ (z) = p(z)/z2 , si ha
p Dρ
− u · ∇pdx = pdivudx = −
Ω
Ω
Ω ρ Dt dx
= − ρW ′ (ρ) Dρ
DW (ρ)
dx = − ρ dx.
Dt Dt
Ω
∂Ω
Usando il teorema del trasporto si ha
DW (ρ)
− ρ dx = −
Ω Dt
DρW (ρ)
= −
dx +
Dt
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
DρW (ρ)
dx + W (ρ)
Dt
Ω
Dρ
Dt dx
W (ρ)ρdivudx = − d
ρW (ρ)dx.
dt
Pertanto la funzione W (ρ) si interpreta come energia interna specifica e la quantità
2 |u|
E = ρ + W (ρ) dx,
2
Ω
Ω

8.3. TEOREMI DI BERNOULLI 125
detta energia totale soddisfa la relazione
d
E =
dt
Se b = 0 allora l’energia totale è conservata:
Ω
d
E = 0.
dt
ρu · bdx.
Se b non è nulla ma è una forza conservativa (b(x) = −∇U(x)), allora analogamente a
prima si ha
ρu · bdx = − ρu · ∇Udx = − ρ
Ω
Ω
Ω
Dρ
d
dx = − ρUdx.
Dt dt Ω
In tal caso la grandezza conservata è E +
Ω ρU.
Le considerazioni precedenti si applicano (più semplicemente) al caso del fluido ideale
incompressibile: si consideri di nuovo la variazione temporale dell’energia cinetica totale.
Procedendo come in precedenza, ma tenendo conto che ρ(x, t) = ρ, e divu = 0, si ha
d
dt Kt(Ω) = d
|u|
dt Ω
2
dx = u ·
2 Ω
Du
Dt dx
[−u · ∇p + u · b]dx.
Ω
Usando il teorema di Gauss e la condizione al bordo u · n = 0, si ha quindi
d
dt Kt(Ω)
= u · bdx.
Pertanto, se b = 0 oppure deriva da un potenziale, a causa della condizione divu = 0,
l’energia cinetica totale
Kt =
|u| 2
2 dx,
è conservata.
8.3 Teoremi di Bernoulli
Ω
Diremo linea di flusso passante per x al tempo t la traiettoria percorsa dall’elemento
materiale che transita per x al tempo t, cioè la soluzione dell’equazione
Ω
˙γ(τ) = u(γ(τ), τ)
soddisfacente la condizione ‘iniziale’ γ(t) = x. Con le notazioni del capitolo 6, γ(τ) =
Φ(Φ −1 (x, t), t). Accanto alle linee di flusso si introducono anche le linee di corrente al

126 CAPITOLO 8. FLUIDI IDEALI
tempo t. Si dice linea di corrente al tempo t passante per x la curva passante per x,
tangente in ogni suo punto il campo di velocità al tempo fissato t, cioèla funzione s ↦→ y(s)
soluzione dell’equazione differenziale
soddisfacente la condizione iniziale
d
y(s) = u(y(s), t),
ds
y(t) = x.
Evidentemente le due nozioni coincidono se il campo di velocità u(x, t) non dipende dal
tempo, caso nel quale il flusso si dice stazionario. In questo caso vale il teorema di Bernoulli,
che rappresenta una condizione puntuale sull’energia.
Teorema 8.3.1 (Primo teorema di Bernoulli) Si consideri un flusso stazionario per
un fluido isoentropico, soggetto ad un campo di forze esterne b di potenziale U. Allora, per
ogni x la quantità
E := |u|2
+ w + U
2
è costante lungo le linee di corrente. Se il invece del fluido isoentropico si considera il fluido
incompressibile, la stessa conclusione vale per
E := |u|2
2
+ p + U.
Dimostrazione. Analizziamo solo il caso del flusso isoentropico. Il caso incompressibile
segue analogamente. Si noti l’identità
1
2 ∇|u|2 = (u · ∇)u + u × (∇ × u). (8.5)
Per provarla osserviamo che
1
2 ∂i
u 2
j =
uj∂iuj =
uj∂jui + uj(∂iuj − ∂jui)
j
= (u · ∇)ui + [u × (∇ × u)]i.
j
Poichè il flusso è stazionario, u soddisfa l’equazione di Eulero stazionaria
(u · ∇)u + ∇(w + U) = 0.
Usando l’identità (8.5) risulta allora
1
∇
2 |u|2
+ w + U = u × (∇ × u).
j

8.4. TEOREMA DI KELVIN. 127
Sia s ↦→ y(s) una linea di corrente, in modo che y ′ (s) = u(y(s)). Si ha
d 1
ds 2 u(y(s))2
1
+ w(ρ(y(s))) + U(y(s)) = u(y(s)) · ∇
2 |u|2
+ w(ρ) + U (y(s))
= u(y(s)) · u(y(s)) × (∇ × u(y(s))) = 0,
in quanto u × (∇ × u) è ortogonale ad u.
Ricordiamo che il campo vettoriale w = rotu introdotto nel capitolo 7 e detto vorticità,
rappresenta la velocità di rotazione locale del flusso. Pertanto un flusso è detto irrotazionale
se e solo se rotu = 0.
Gli argomenti precedenti forniscono informazioni ancora più accurate nel caso di flussi
irrotazionali. La quantità E che è costante lungo le linee di corrente di un flusso stazionario,
può variare da linea di corrente a linea di corrente. Se il flusso è irrotazionale, ciò non
accade. Questo è il contenuto del seguente
Teorema 8.3.2 (Secondo teorema di Bernoulli) In ogni flusso stazionario ed irrotazionale
di un fluido ideale isoentropico o incompressibile la quantità E è una costante:
∇E = 0.
Dimostrazione. Usando la precedente identità (8.5), nel caso di fluido isoentropico si ha
∇E = (u · ∇)u + ∇(w + U) + u × w = (u · ∇)u + ∇(w + U) = 0.
Nel secondo passo si è usato w = 0 e nel terzo l’equazione di Eulero.
Osserviamo che in assenza di forze esterne, in un flusso stazionario irrotazionale, la
pressione è maggiore quando la velocità è minore e viceversa.
In idrostatica, ovvero quando u = 0, per un fluido incompressibile risulta
∇(p + U) = 0.
Se U = −gx3 (potenziale della gravità), allora
che è nota come legge di Stevino.
8.4 Teorema di Kelvin.
p = −gx3,
L’assenza di sforzi di taglio, che caratterizza il fluido ideale, induce a ritenere che non si
possano mettere in rotazione elementi di fluido che non ruotino inizialmente. Il teorema di
Kelvin e le sue conseguenze rappresentano la dimostrazione di tale congettura.
Sia C0 una qualsiasi curva regolare chiusa
C0 = {X = γ(λ), λ ∈ [0, 1], γ(0) = γ(1)}

128 CAPITOLO 8. FLUIDI IDEALI
e λ ↦→ γ(λ) una sua rappresentazione parametrica. Fissato il flusso (X, t) ↦→ Φ(X, t), per
ogni t si denoti con X ↦→ Φt(X) = Φ(X, t) la funzione che trasforma le posizioni iniziali
delle particelle nelle posizioni attuali. Sia inoltre Ct = Φt(C0), di equazione parametrica
λ ↦→ γt(λ) = (Φt◦γ)(λ). La famiglia {Ct, t ∈ [0, T ]} si dice curva materiale. Analogamente,
se Σ è una superficie e Σt = Φt(Σ), diremo che la famiglia {Σt, t ∈ [0, T ]} è una superficie
materiale.
Si definisce circuitazione della curva C la quantità
Γ(C) := u · ds.
Teorema 8.4.1 (di Kelvin) Per ogni flusso di un fluido isoentropico o incompressibile
soggetto a forze esterne conservative di potenziale U e per ogni curva materiale {Ct, t ∈
[0, T ]} risulta
d
dt Γ(Ct) = 0.
Dimostrazione. La prova è basata sulla seguente identità:
Lemma 8.4.2 Se u è differenziabile, per ogni curva materiale regolare {Ct, t ∈ [0, T ]}
risulta
d
dt
u · ds =
Du
· ds.
Dt
Dimostrazione. Si ha
Ct
Differenziando,
u · ds =
1
0
d
dt
Il secondo integrale vale
1
0
+
Ct
u(γt(λ), t) · γ ′ t(λ)dλ =
Ct
1
0
u · ds =
1
0
C
C
1
0
u(Φt(γ(λ)), t) · ∂
∂λ Φt(γ(λ))dλ.
Du
Dt (Φt(γ(λ))) · ∂
∂λ Φt(γ(λ))dλ
u(Φt(γ(λ)), t) · ∂ ∂
∂t ∂λ Φt(γ(λ))dλ.
u(Φt(γ(λ)), t) · ∂ ∂
∂t ∂λ Φt(γ(λ))dλ =
= 1
1
∂
2 ∂λ [u(Φt(γ(λ)), t)] 2 dλ = 0.
0
1
0
u(Φt(γ(λ)), t) · ∂
∂λ u(Φt(γ(λ)), t)dλ
Nell’ultimo passaggio si è usato il fatto che la curva è chiusa. Questo completa la dimostrazione
del Lemma.

8.4. TEOREMA DI KELVIN. 129
Dimostriamo ora il Teorea di Kelvin. Se u soddisfa le equazioni di Eulero, mediante il
Lemma si ottiene
d
dt Γ(Ct)
= − [∇(w + U)]ds = 0
Ct
avendo di nuovo usato il fatto che la curva è chiusa.
Analizziamo ora alcune conseguenze del Teorema di Kelvin. Dal Teorema di Stokes,
per ogni superficie materiale Σt avente come frontiera la curva materiale Ct risulta
Γ(Ct) =
Σt
rot u · ndσ =
Σt
w · ndσ.
Pertanto, il teorema di Kelvin implica che il flusso di vorticità attraverso la superficie
materiale Σt è costante nel tempo. In particolare, se al tempo t = 0 si suppone il campo
u(·, 0) irrotazionale ((·, 0) = 0), u(x, t) è irrotazionale ad ogni istante successivo in quanto,
per ogni superficie materiale risulta
w · ndσ = w(·, 0) · ndσ = 0.
Σt
Σt
In effetti la vorticità al tempo t può essere ottenuta trasportando quella iniziale lungo le
traiettorie, come mostrato dal teorema che segue. In esso porremo ζ = w/ρ. Nel caso
incompressibile si potrà identificare ζ con w da cui differisce per una inessenziale costante
moltiplicatica.
Teorema 8.4.3 Per un fluido isoentropico o incompressibile risulta
e quindi
dove F è il gradiente di deformazione introdotto in (6.2).
D
ζ − (ζ · ∇)u = 0. (8.6)
Dt
ζ(Φ(X, t), t) = F (X, t)ζ(X, 0), (8.7)
La (8.7) fornisce una prova diretta della conservazione del carattere irrotazionale di
un flusso. In effetti essa fornisce anche un modo per valutare in generale la vorticità al
tempo t nel punto x = P hi(X, t): basta infatti propagare il valore w(X, 0) e ruotare ed
allungare il vettore così ottenuto applicando la matrice F (X, t). Per questa operazione si
usa in letteratura il termine inglese ‘stirring’. Si noti inoltre che nel (8.6) non figurano più
w o p. Tale circostanza rende particolarmente utile l’equazione nel caso incompressibile in
quanto permette di eliminare l’incognita pressione (si tratta cioè di un’equazione pura nel
senso della Meccanica dei sistemi vincolati).
Dimostrazione. Ricordando l’identità (8.5), si ha
(u · ∇)u = 1
2 ∇|u|2 − u × w.

130 CAPITOLO 8. FLUIDI IDEALI
Pertanto l’equazione di Eulero si pu‘o riscrivere
ut − u × w = −∇ w + U + |u|2
.
2
Applicando il rotore ad entrambi i membri si ha quindi
È facile controllare che
wt − rot[u × w] = 0.
rot[u × w] = (w · ∇)u − wdivu − (u · ∇)w + udivw. 1
L’ultimo termine è nullo perchè divergenza di un rotore. Pertanto
D’altra parte
D w
Dt ρ
D
w − (w · ∇)u + wdivu = 0.
Dt
1 Dw w
= −
ρ Dt ρ2 Dρ
Dt
= 1
1
(w · ∇)u − wdivu + ζdivu = (ζ · ∇)u.
ρ ρ
La prova della (8.7) si ottiene differenziando i due membri rispetto al tempo. Si denotino
con H(X, t) e G(X, t) rispettivamente il primo e secondo membro. Ovviamente H(X, 0) =
G(X, 0). La derivata temporale del primo membro è, per l’equazione (8.6)
Ht = (H · ∇)u.
La derivata del secondo membro è (usando la (6.10))
∂T G(X, t) = ∂tF (X, t)ζ(X, 0) = ∇u(Φ(X, t), t)F (X, t)ζ(X, 0) = G(X, t) · ∇u.
Quindi G ed H soddisfano la stessa equazione lineare e lo stesso dato iniziale. Pertanto
essi coincidono.
8.5 Flussi bidimensionali
Per flusso bidimensionale intenderemo ogni flusso per il quale valgono le due seguenti
condizioni:
1) è invariante per traslazioni lungo un asse (ad esempio x3);
1 La dimostrazione è lasciata per come esercizio.

8.6. EQUAZIONE DELLA VORTICITÀ IN DIMENSIONE 2 131
2) la velocità nella direzione x3 è nulla.
In un flusso bidimensionale l’equazione (16.10) si semplifica notevolmente. Infatti, se u =
(u1, u2, 0) allora w = (0, 0, w3) con
w3 = ∂1u2 − ∂2u1.
In altri termini w è caratterizzato da una sola quantità scalare w3 che nel seguito indicheremo
semplicemente con w. In conseguenza di ciò si ha
(w · ∇)u = 0.
Pertanto la (8.6) diviene (con w = w3 e ζ = ζ3)
D
ζ = 0.
Dt
Quindi il rapporto ζ = w/ρ è conservato lungo le traiettorie del flusso:
ζ(Φ(X, t), t) = ζ(X, 0).
In particolare, nel caso del fluido incompressibile, per il quale ρ = cost, si ha
o equivalentemente
Tale equazione, assieme alle condizioni
wt + (u · ∇)w = 0 (8.8)
w(Φ(X, t), t) = w(X, 0)
divu = 0
w = ∂1u2 − ∂2u1.
e le opportune condizioni al contorno, caratterizza completamente, come si vedrà nel seguito,
i moti del fluido incompressibile bidimensionale ed è il motivo della relativa semplicità
di tale sistema.
8.6 Equazione della vorticità in dimensione 2
L’equazione (8.8) si presenta in forma molto semplice, ma la sua utilizzabilità pratica
sarebbe molto limitata se si dovesse preliminarmente conoscere il campo di velocità u.
Una semplice derivazione fornirebbe allora w senza alcun ricorso alla (8.8). In effetti,
mostreremo che il campo u può in molti casi essere ricostruito a partire da w, fornendo in
tal modo un’equazione chiusa nella sola incognita w. In conseguenza di ciò, la soluzione
delle equazioni Eulero è ricondotta a quella della (8.8), che è una sola equazione scalare e
non contiene l’incognita pressione. In effetti la costruzione di u a partire da w è un caso

132 CAPITOLO 8. FLUIDI IDEALI
particolare di un problema classico, che pur essendo nato in Idrodinamica, è di interesse
più generale:
Problema: dato il campo vettoriale w nell’aperto D ⊂ R d , d = 2, 3, determinare il
campo vettoriale u differenziabile in D e continuo in D, tale che
w = rotu divu = 0 x ∈ D
u · n = 0 x ∈ ∂D.
Discuteremo questo problema solo nel caso d = 2 e per un dominio D limitato, semplicemente
connesso e dotato di frontiera regolare. Conviene introdurre la notazione seguente:
se a = (a1, a2) ∈ R 2 è un vettore, il vettore a ⊥ = (a2, −a1) denota il vettore che si ottiene
da a con una rotazione di π/2 nel verso destrogiro. Analogamente ∇ ⊥ = (∂2, −∂1). In
d = 2 si ha dunque
rotu = divu ⊥ , divu = −rotu ⊥ .
Inoltre
rot∇ ⊥ = −∆.
La condizione divu = 0 equivale ad affermare che u ⊥ ha rotore nullo e questo implica,
poichè il dominio D è semplicemente connesso, che esiste una funzione Ψ tale che
u = ∇ ⊥ Ψ.
La funzione Ψ è detta potenziale di corrente o stream function in inglese. Ricordando che
e che
w = rotu = rot∇ ⊥ Ψ = −∆Ψ
0 = n · u = n · ∇ ⊥ Ψ = τ · ∇Ψ,
ove τ è il versore della tangente a ∂D, possiamo concludere che Ψ è determinato come la
soluzione del seguente problema al contorno:
∆Ψ = −w x ∈ D
(8.9)
Ψ = 0 x ∈ ∂D.
Infatti, l’annullarsi della derivata tangenziale di Ψ sul bordo assicura che Ψ è costante sul
bordo e la costante può essere fissata a 0 visto che Ψ è definito a meno di una costante. Il
problema (8.9) è il problema di Dirichlet per l’equazione di Poisson con termine noto −w.
Per la sua soluzione si rimanda al capitolo 2.

Capitolo 9
Cenni di teoria cinetica: l’equazione
di Boltzmann
9.1 Funzioni di distribuzione
Consideriamo un gas di N molecole, che per semplicità supporremo identiche, contenuto in
un recipiente di volume V . I valori tipici di N e di V in condizioni standard di temperatura
e di pressione (T = 300 ◦ K, P = 1atm) sono N = 6, 02×10 23 , V = 22, 3 litri corrispondenti
ad una mole. Supporremo sistematicamente che gli urti con le pareti dei recipiente siano
non dissipativi.
Chiaramente l’idea di seguire il moto delle singole molecole, tenendo conto delle loro
mutue interazioni e dell’eventuale presenza di forze esterne, appare impraticabile. Il metodo
utilizzato dalla teoria cinetica nello studio dell’evoluzione del sistema e del suo raggiungimento
di uno stato di equilibrio è il seguente. Introduciamo uno spazio a 6 dimensioni, che
useremo come spazio delle fasi con coordinate di impulso e posizione (p, q), e riportiamo
in questo spazio i punti rappresentativi di ciascuna molecola.
Consideriamo nello spazio delle fasi una cella di volume ∆ e contiamo, in un dato istante
t, il numero ν(∆, t) di punti rappresentativi che sono contenuti nella cella considerata. Se il
rapporto N/V è dell’ordine di almeno 10 18 cm −3 si potrà notare che il rapporto ν(∆)/Delta
si stabilizza, quando il diametro della cella diventa abbastanza piccolo (ma non troppo),
attorno a un valore che dipende dal centro della cella (p, q) e dall’istante t. Il valore così
ottenuto definisce una funzione f(p, q, t) detta funzione di distribuzione.
In tal modo l’insieme dei punti rappresentativi nello spazio delle fasi viene trattato come
una distribuzione continua. Così il numero di molecole ν(Ω, t), il cui stato cinematico in
un istante t è descritto da un punto che appartiene a un dato sottoinsieme misurabile Ω
nello spazio delle fasi, è dato dall’integrale
ν(Ω, t) =
Ω
f(p, q, t)dpdq,
133

134CAPITOLO 9. CENNI DI TEORIA CINETICA: L’EQUAZIONE DI BOLTZMANN
e quindi
N =
f(p, q, t)dpdq,
dove il dominio di integrazione è tutto lo spazio delle fasi. Se la distribuzione spaziale
delle molecole è uniforme, la funzione di distribuzione è indipendente dal vettore spaziale
q all’interno del contenitore (e nulla all’esterno) e l’integrazione rispetto alle q porta semplicemente
a fattore il volume V occupato dal sistema. In tal caso si ottiene la seguente
espressione del numero di particelle per unità di volume, riferito all’intero sistema
n = N
V =
f(p, t)dp.
Gli stati del sistema sono descritti dalla funzione di distribuzione f, e deve pertanto essere
possibile, in linea di principio, derivare da essa le proprietà termodinamiche del sistema
stesso.
9.2 L’equazione di Boltzmann
Ci proponiamo in questo paragrafo di descrivere il ragionamento che portò Boltzmann a
dedurre l’equazione che governa l’evoluzione temporale della funzione di distribuzione. A
differenza di Maxwell, che assumeva il sistema essere in equilibrio (ovvero la funzione di
distribuzione indipendente dal tempo) e cercava le condizioni sulla f affinché tale equilibrio
fosse stabile, Boltzmann era interessato al problema concettualmente importantissimo di
come tale equilibrio – la cui evidenza sperimentale è data dai successi della termodinamica
classica – venga raggiunto attraverso le collisioni tra le molecole.
La velocità di variazione nel tempo della funzione f è data da
df
dt
= ∂f
∂t + ∇qf · p
m + ∇pf · F,
dove si è tenuto conto del fatto che ˙q = p
e ˙p = F , essendo F una eventuale forza esterna
m
che agisce sul sistema.
Se la diluizione del gas fosse così forte da poter completamente trascurare l’interazione
tra le molecole, avremmo che df
= 0. Le variazioni di f sono quindi da attribuirsi alle
dt
collisioni tra le molecole, dove il termine collisione è usato nel senso generico di interazione
a corto raggio. Nel modello più semplice si assumono le ipotesi seguenti:
• Sfere rigide; si suppone che le molecole siano sfere rigide identiche perfettamente
elastiche di raggio R e massa m.
• Forte diluizione; se n = N/V , supporremo che
nR 3 ≪
e quindi la probabilità che due molecole siano ad una distanza dell’ordine di R (cioè
in collisione) è molto bassa.

9.2. L’EQUAZIONE DI BOLTZMANN 135
• Collisioni binarie; sono escluse le situazioni in cui tre o più molecole collidono simultaneamente.
Dal punto di vista fisico questa assunzione è ragionevole proprio
nell’ipotesi di forte diluizione del gas, poiché il cammino libero medio di una molecola
(ossia la distanza percorsa in media tra due urti successivi) è molto più grande del
diametro molecolare medio.
• Caos molecolare; la funzione di distribuzione di una coppia di molecole che collidono
– ovvero la probabilità che in un istante t si determini una collisione binaria in una
posizione q tra due molecole con impulsi p1 e p2 – è proporzionale al prodotto
f(q, p1, t)f(q, p2, t). (9.1)
Dall’ipotesi che le molecole siano sfere rigide identiche perfettamente elastiche segue
che due molecole che collidono con impulsi iniziali p1 e p2 emergono dall’urto con nuovi
impulsi p ′ 1 e p ′ 2, che devono verificare le leggi di conservazione della quantità totale di moto
e dell’energia
p1 + p2 = p ′ 1 + p ′ 2 = P
p 2 1 + p 2 2 = (p ′ 1) 2 + (p ′ 2) 2 = 2mE. (9.2)
Le transizioni della coppia (p1, p2) alle coppie ammissibili (p ′ 1, p ′ 2) non sono generalmente
equiprobabili, ma sono descritte da un nucleo di transizione τ(p1, p2, p ′ 1, p ′ 2) che deve essere
simmetrico rispetto allo scambio delle coppie (p1, p2) e (p ′ 1, p ′ 2), poiché la transizione inversa
ha la stessa probabilità per la reversibilità delle equazioni microscopiche di evoluzione. Il
nucleo sarà inoltre simmetrico separatamente per lo scambio di p1 con p2 e di p ′ 1 con
p ′ 2, poiché abbiamo supposto che le molecole siano identiche. Se quindi consideriamo la
funzione
f1 = f(p1, q, t),
la sua derivata totale rispetto al tempo è la somma di un termine negativo dovuto alle
transizioni (p1, p2) → (p ′ 1, p ′ 2) per un qualunque p2, e di uno positivo dovuto alle transizioni
inverse. Fissato p1, dovremmo considerare tutti i possibili vettori p2 e tutte le possibili
coppie (p ′ 1, p ′ 2) compatibili con le leggi di conservazione (9.2). Inoltre bisogna tenere conto
del fatto che la probabilità che si verifichi una collisione tra due molecole in un certo
istante. È appunto quest’ultimo fattore che risulta proporzionale al prodotto (9.1) in virtù
dell’ipotesi del caos molecolare. Introducendo in un modo simile a quanto fatto sopra i
simboli
f2 = f(p2, q, t), f ′ 1 = f(p ′ 1, q, t), f ′ 2 = f(p ′ 2, q, t),
risulta ora chiaro che il conteggio delle molecole entranti e uscenti nella classe descritta
dalla funzione f1 è espresso dalla seguente equazione di Boltzmann
∂ p1
+
∂t m · ∇q
+ F · ∇p f1 = dp2 Σ(P, E)τ(p1, p2, p ′ 1, p ′ 2)(f ′ 1f ′ 2 − f1f2)dΣ, (9.3)
dove Σ(P, E) è l’insieme dei vettori p ′ 1 e p ′ 2 che verificano le (9.2). L’equazione di Boltzmann
è dunque una equazione integro–differenziale non lineare, la non linearità essendo dovuta
proprio alle collisioni.

136CAPITOLO 9. CENNI DI TEORIA CINETICA: L’EQUAZIONE DI BOLTZMANN
9.3 La distribuzione di Maxwell–Boltzmann
Gli stati di equilibrio di un sistema retto dalla (9.3) sono descritti dalle soluzioni stazionarie.
Cerchiamo tali soluzioni supponendo che sia F = 0 e che la funzione di distribuzione f
non dipenda dalle coordinate di posizione q. In altri termini, cechiamo una soluzione
di equilibrio del tipo f0(p). Una condizione sufficiente affinché f0(p) sia una soluzione
stazionaria dell’equazione di Boltzmann è ovviamente che essa verifichi l’uguaglianza
f0(p1)f0(p2) = f0(p ′ 1)f0(p ′ 2) (9.4)
per ogni coppia di stati (p1, p2), (p ′ 1, p ′ 2) che soddisfano le (9.2). Vedremo in seguito che
tale condizione è anche necessaria.
L’equazione (9.4) esprime una legge di conservazione del prodotto f0(p1)f0(p2). Tuttavia
le ipotesi fatte (e in particolare l’assenza di struttura interna delle molecole) comportano
che le sole quantità conservate nell’urto sono l’energia cinetica e la quantità di moto
totale. Perciò la funzione f0(p) deve essere tale che il prodotto f0(p1)f0(p2) dipenda solo
dagli invarianti P ed E. Osserviamo che per ogni arbitrario vettore p0 abbiamo
(p1 − p0) 2 + (p2 − p0) 2 = 2mE − 2P · p0 + 2p 2 0,
e quindi una scelta di f0 che realizzi (9.4) (e tale inoltre che f0(p) → 0 per |p| → +∞) è
−A(p−p0) 2
f0(p) = Ce , (9.5)
con A e C costanti positive, di cui illustreremo il significato.
Definiamo ora il valor medio di una grandezza G(p) relativo alla distribuzione (9.5)
mediante la formula
G(p)f0(p)dp
〈G〉 = .
f0(p)dp
Ricordiamo che per la definizione di funzione di distribuzione, come abbiamo visto in
precedenza, il denominatore della precedente espressione rappresenta la densità media n =
N/V di particelle.
Si calcola allora facilmente che il valore medio dell’impulso p è dato da
pf0(p)dp
〈p〉 = = p0,
f0(p)dp
poiché
pf0(p)dp = C
−A(p−p0) 2
(p − p0)e dp + p0
f0(p)dp
ed il primo addendo a secondo membro è uguale a zero (esercizio). Dunque p0 è legato
alla presenza eventuale di una traslazione uniforme dell’intero sistema. È sempre possibile
scegliere un sistema di riferimento solidale con tale traslazione in modo che in esso si abbia
p0 = 0.

9.3. LA DISTRIBUZIONE DI MAXWELL–BOLTZMANN 137
La condizione di normalizzazione
f0(p)dp = n
consiste nel fissare la costante C in termini della costante A (usando il passaggio a coordinate
sferiche, esercizio):
e quindi
n =
f0(p)dp = 4π
+∞
0
C = n
ρ 2 e −Aρ2
dρ = C
3/2 A
.
π
π
3/2 A
A sua volta la costante A è legata all’energia cinetica media ε di una molecola
ε =
p 2
2m f0(p)dp
f0(p)dp .
Infatti, da quanto visto in precedenza segue che (esercizio)
ε = 2π
m
3/2 +∞
A
ρ
π 0
4 e −Aρ2
dρ = 3
4Am ,
da cui
A = 3
4εm .
Abbiamo così trovato l’espressione seguente per la distribuzione di equilibrio, detta distribuzione
di Maxwell–Boltzmann (o Maxwelliana)
Se il gas è sottoposto ad una forza conservativa
3/2 3
3p2
−
f0(p) = n
e 4εm . (9.6)
4πεm
F = −∇qΦ(p),
è di facile verifica che l’equazione di Boltzmann ammette la soluzione stazionaria
3Φ(q)
−
f0(p, q) = f0(p)e 2ε .
Osserviamo che le distribuzioni di equilibrio non dipendono dalla funzione τ che compare
nell’equazione di Boltzmann, ovvero del tipo di interazione a due corpi tra le molecole del
gas.

138CAPITOLO 9. CENNI DI TEORIA CINETICA: L’EQUAZIONE DI BOLTZMANN
9.4 Pressione e temperatura assoluta
Consideriamo una superficie esposta all’azione delle molecole del gas e supponiamo che
essa sia perfettamente riflettente. Per definizione, la forza che agisce (in media) su un
suo elemento infinitesimo dσ è in modulo Pdσ, dove P è la pressione. Tale forza si può
calcolare osservando che ogni molecola che urta dσ subisce una variazione del suo impulso
pari al doppio della componente normale pn del suo impulso precedente l’urto. La forza
esercitata su dσ sarà dunque ottenuta moltiplicando 2pn per il numero di urti nell’unità
di tempo ivi subiti da particelle aventi la componente di impulso pn e integrando sullo
spazio degli impulsi che danno luogo a collisioni (pn > 0). Calcoliamo l’espressione di P in
corrispondenza della distribuzione (9.6).
Poiché 1
mpnf0(p)dσdp è il numero di urti per unità di tempo da parte delle particelle
aventi impulso nella cella dp centrata su p, avremo l’espressione
P = 1
m
pn>0
2p 2 nf0(p)dp = 1
m
p 2 nf0(p)dp,
che è proporzionale alla media 〈p 2 n〉.
A causa della simmetria di f0(p), risulta che 〈p 2 n〉 uguaglia la somma delle medie 〈p 2 i 〉,
essendo pi le proiezioni sui vettori della base canonica ortonormale di R 3 , che queste ultime
sono uguali tra loro. Ne consegue che 〈p 2 n〉 = 1
3 〈p2 〉 e dunque otteniamo
P = 4π
3m
+∞
0
ρ 4 f0(ρ)dρ,
e a conti fatti si perviene alla cosiddetta equazione di stato
P = 2
3 nε.
Definiamo la temperatura assoluta T mediante la relazione
P = nkT
dove k è la costante di Boltzmann. Di conseguenza
per cui la (9.6) diviene
ε = 3
2 kT,
f0(p) = n(2πmkT ) −3/2 p2
−
e 2mkT .
9.5 Il ‘teorema H’ di Boltzmann. Entropia
In questa sezione supporremo per semplicità che la distribuzione delle molecole sia spazialmente
uniforme (cioè che la f non dipenda dalle coordinate q) e che il gas non sia sottoposto

9.5. IL ‘TEOREMA H’ DI BOLTZMANN. ENTROPIA 139
a forze esterne. La funzione di distribuzione f(p, t) verifica allora l’equazione
∂f
∂t (p1,
t) dp2
τ(p1, p2, p
Σ(P,E)
′ 1, p ′ 2)[f(p ′ 1, t)f(p ′ 2, t) − f(p1, t)f(p2, t)]dΣ. (9.7)
Vogliamo ora utilizzare l’equazione (9.7) per descrivere l’evoluzione temporale del funzionale
H di Boltzmann, definito da
H(t) = f(p, t) log f(p, t)dp,
dove l’integrazione è estesa a tutto lo spazio della quantità di moto. Abbiamo il seguente
teorema:
Teorema 9.5.1 (Teorema H di Boltzmann) Se la distribuzione f(p, t) che compare
nella definizione di H(t) è una soluzione dell’equazione (9.7), allora si ha
dH
dt
≤ 0.
Dimostrazione.
Sostituendo la (9.7) nell’espressione
dH
dt =
∂f
[1 + log f(p, t)]dp
∂t
si trova (avendo posto p = p1)
dH
dt =
dp1
dp2
τ(p1, p2, p
Σ(P,E)
′ 1, p ′ 2)[f(p ′ 1, t)f(p ′ 2, t)−f(p1, t)f(p2, t)][1+log f(p1, t)]dΣ.
Per via della invarianza di τ rispetto allo scambio di p1 con p2, possiamo scrivere
dH
dt =
dp1
dp2
τ(p1, p2, p
Σ(P,E)
′ 1, p ′ 2)[f(p ′ 1, t)f(p ′ 2, t)−f(p1, t)f(p2, t)][1+log f(p2, t)]dΣ,
in cui semplicemente f(p2, t) ha sostituito f(p1, t) nell’ultimo fattore. Sommando membro
a membro le due identità, troviamo
dH 1
= dp1 dp2 τ(p1, p2, p
dt 2
′ 1, p ′ 2)·
Σ(P,E)
· [f(p ′ 1, t)f(p ′ 2, t) − f(p1, t)f(p2, t)][2 + log f(p1, t)f(p2, t)]dΣ.
Ricordando l’invarianza di τ rispetto allo scambio delle coppie (p1, p2) e (p ′ 1, p2), avremo
anche
dH
= −1
dt 2
dp1
dp2 τ(p1, p2, p ′ 1, p ′ 2)·
Σ(P,E)
· [f(p ′ 1, t)f(p ′ 2, t) − f(p1, t)f(p2, t)][2 + log f(p1, t)f(p2, t)]dΣ.

140CAPITOLO 9. CENNI DI TEORIA CINETICA: L’EQUAZIONE DI BOLTZMANN
Sommando membro a membro le ultime due identità otteniamo
dH 1
=
dt 4
dp1
dp2 τ(p1, p2, p ′ 1, p ′ 2)·
Σ(P,E)
· [f(p ′ 1, t)f(p ′ 2, t) − f(p1, t)f(p2, t)][log f(p1, t)f(p2, t) − log f(p ′ 1, t)f(p ′ 2, t)]dΣ
e tale espressione è chiaramente negativa, poiché per ogni coppia di numeri reali positivi
x, y si ha (esercizio)
(y − x)(log x − log y) ≤ 0
con l’uguaglianza solo nel caso x = y.
Dalla dimostrazione seguente segue anche che la condizione (9.4) affinché una distribuzione
sia di equilibrio è non soltanto sufficiente ma anche necessaria. Infatti, per
una soluzione stazionaria avremo dH/dt = 0, che per quanto visto nella dimostrazione
precedente comporta la (9.4). Inoltre, qualunque sia la distribuzione iniziale f(p, 0), il sistema
si porta asintoticamente verso la soluzione stazionaria per t → +∞. Di quest’ultima
affermazione omettiamo la dimostrazione.
Il teorema H riveste un ruolo fondamentale nella teoria cinetica dei gas, poiché consente
l’introduzione dell’entropia e la deduzione della seconda legge della termodinamica. Infatti
basta definire l’entropia in modo che risulti proporzionale a −H(t) e che abbia la proprietà
di essere estensiva (ossia che aumenti proporzionalmente al volume, se si conserva la densità
media n).
Definizione 9.5.2 Se V indica il volume indicato dal gas, definiamo entropiala grandezza
estensiva
S = −kV H + costante
dove k è la costante di Boltzmann.
La scelta del fattore kV è fatta in modo tale da ritrovare l’equazione dell’entropia di
un gas ideale quando il funzionale H viene calcolato in corrispondenza della ditribuzione
di Maxwell–Boltzmann. Risulta infatti
H0 = n
log
λ −1 n
3/2
1
−
2πmkT
3
,
2
dove λ è un fattore di adimensionalizzazione, per cui
S0(E, V ) = kN log λn V
3/2
4 E
π +
N 3 N
3
.
2
La verifica è lasciata per esercizio.

Capitolo 10
Alcuni limiti idrodinamici
In questo capitolo tratteremo alcuni esempi di limiti idrodinamici per alcuni dei modelli
trattati in precedenza. Più precisamente studieremo il comportamento di taluni modelli
al variare di un certo parametro che viene mandato al limite, ottenendo formalmente un
modello approssimato che corrisponde ad altri modelli più semplici trattati. La prima
sezione sarà l’unica per cui giustificheremo rigorosamente il limite proposto.
10.1 Equazione delle onde con dissipazione esogena
Consideriamo l’equazione della corda con una dissipazione esogena, considerata nella sezione
5.7,
utt + µut − auxx = 0, a > 0, µ > 0, (10.1)
detta anche, in altri contesti, equazione di Cattaneo. Supponiamo che la costante µ sia
molto grande, e supponiamo allo stesso tempo di studiare il comportamento per tempi
grandi ponendo
t = µτ v(x, τ) = µu(x, µτ).
L’equazione nella nuova variabile v(x, τ) diventa
µ −2 vττ + vτ − avxx = 0. (10.2)
Per semplificare la trattazione supporremo che x ∈ [0, π] e che la corda sia ferma agli
estremi, ovvero v(0) = v(π). Imponiamo i dati iniziale
v(x, 0) = v0(x), vτ(x, 0) = 0.
Formalmente, per µ → +∞, l’equazione (10.2) diventa
vτ − avxx = 0, (10.3)
ovvero l’equazione di diffusione lineare. Tale procedimento limite verrà ora giustificato in
modo rigoroso, in due modi.
141

142 CAPITOLO 10. ALCUNI LIMITI IDRODINAMICI
10.1.1 Primo metodo: separazione delle variabili
In questo primo caso supporremo per semplicità che il dato iniziale u0 sia una combinazione
finita di armoniche, cioè che il suo sviluppo in serie di Fourier sia
Separando le variabili
si ha
quindi
u0(x) =
N
an sin nx.
n=1
u(x, τ) = f(x)g(τ)
µ −2 fg ′′ + fg ′ − f ′′ g = 0,
µ −2 g′′ g′
+
g g
= λ = f ′′
f ,
con λ ∈ R costante. Determiniamo prima la f. Dalle condizioni al bordo risulta evidente
che gli unici autovalori possibili sono λ = k 2 , k ∈ Z, con corrispondenti autofunzioni
L’equazione per g diventa quindi
fk(x) = A sin(kx).
µ −2 g ′′ + g ′ + k 2 g = 0.
Si tratta di una ODE lineare del secondo ordine a coefficienti costanti. Le radici del
polinimio caratteristico sono
λ1(k, µ) = −1 − 1 − 4k 2 µ −2
La soluzione generale della (10.2) è quindi
Per t = 0 si ha
e
2µ −2 , λ2(k, µ) = −1 + 1 − 4k2 µ −2
2µ −2
v(x, τ) =
v0(x) =
0 =
+∞
k=1
N
ak sin kx =
k=1
+∞
k=1
αke λ1t + βke λ2t sin(kx). (10.4)
+∞
k=1
[αk + βk] sin(kx)
αkλ1e λ1t + βkλ2e λ2t sin(kx).
Per k > N si ha banalmente αk = βk = 0. Per k ≤ N osserviamo che λ1 e λ2 risultano
entrambi reali se
µ > 2N.
.

10.1. EQUAZIONE DELLE ONDE CON DISSIPAZIONE ESOGENA 143
Inoltre si può facilmente verificare che
αk = λ2ak
λ1 − λ2
βk = −λ1ak
.
λ1 − λ2
Per capire come si comporta v quando µ → +∞, studiamo il comportamento dei seguenti
coefficienti:
lim
µ→+∞ λ1(k, µ) = −∞,
lim
µ→+∞ λ2(k, µ) = lim
µ→+∞
−4k 2 µ −2
2µ −2
1 + 1 − 4k2 µ −2
lim
µ→+∞ αk
−1 +
= ak lim
µ→+∞
1 − 4k2 µ −2
2 1 − 4k2 µ −2
lim
µ→+∞ βk
1 +
= ak lim
µ→+∞
1 − 4k2 µ −2
2 1 − 4k2 µ −2
Sostituendo tali limiti nella (10.4) otteniamo
lim v(x, τ) =
µ→+∞
N
k=1
= 0,
= ak.
ake −k2 t sin(kx),
= −k 2 ,
e la funzione a secondo membro coincide con la soluzione di (10.3) con dato iniziale v0 e
con condizioni al bordo omogenee di Diriclhet 1 .
10.1.2 Secondo metodo: stima dell’energia
In questo secondo caso imporremo una condizione diversa sui dati iniziali. L’idea è quella
di stimare la norma L 2 della differenza v − w dove
e
Per quanto riguarda i dati iniziali, supporremo
µ −2 vττ + vτ − avxx = 0 (10.5)
wτ − awxx = 0. (10.6)
v(x, 0) = w(x, 0) = v0(x)
vτ(x, 0) = wt(x, 0) = v0(x).
1 Si confronti tale funzione con la soluzione dell’equazione del calore in (2.7).

144 CAPITOLO 10. ALCUNI LIMITI IDRODINAMICI
Questo equivale a richiedere che
v0,xx = v0(x), (10.7)
in quanto non è naturale fissare una condizione sulla derivata temporale iniziale per l’equazione
del calore: questo implica che sia rispettata la condizione (10.7) che è detta
condizione di dati iniziali ben preparati. Possiamo allora definire
U = v − w,
che soddisfa ⎧⎪ ⎨
U(x, 0) = 0 x ∈ [0, π]
µ −2 Uττ + Uτ − Uxx = −µ −2 wtt x ∈ [0, π], t ≥ 0
⎪⎩
Uτ(x, 0) = 0 x ∈ [0, π]
U(0, t) = U(π, t) = 0 t ≥ 0.
(10.8)
Usiamo ora l’energia dell’equazione delle onde e stimiamone l’evoluzione nel tempo.
Definiamo
π
E(t) = U 2 x(x, t)dx + µ −2
π
U 2 t (x, t)dx.
Integrando per parti ed usando la (10.8) otteniamo
d
dτ
π
E(τ) = 2
− 2
π
0
U
0
2 τ dx − 2µ −2
π
0
0
UτUτx + µ −2 UτUττ π
dx = 2
π
Uτwττdx ≤ −2
0
0
−UτUxx + µ −2
UτUττ dx
0
U 2 τ dx + µ −2
π
dove abbiamo usato la disuguaglianza di Cauchy–Schwarz
π
0
fgdx ≤ 1
2
Per µ abbastanza grande abbiamo dunque
Ora, dato che
π
0
d
E(τ) ≤ µ−2
dτ
w(x, τ) =
f 2 dx + 1
2
π
0
π
0
w 2 ττdx.
+∞
ake −k2τ sin(kx),
k=1
derivando due volte rispetto al tempo si ha
wττ(x, τ) =
0
g 2 dx.
+∞
k 4 ake −k2τ sin(kx)
k=1
w 2 ττdx + µ −2
π
0
U 2 τ dx,

10.2. APPROSSIMAZIONE ACUSTICA PER UN FLUSSO ISOENTROPICO 145
e chiaramente esisterà una costante C > 0 indipendente da µ tale che
π
0
w 2 ττdx ≤ C.
Per cui abbiamo provato che
d
dτ E(τ) ≤ Cµ−2 .
Fissando T > 0 ed integrando in dτ tra 0 e τ tale che 0 ≤ τ ≤ T , si ha
π
0
U 2 x(x, τ)dx +
In particolare abbiamo mostrato che
π
π
U
0
2 τ (x, τ)dx ≤ µ −2 T C → 0, per µ → +∞.
0
U 2 x(x, τ)dx → 0.
Usiamo infine la seguente disuguaglianza di Poincarè 2 :
b
a
f(x) 2 dx ≤ Cab
b
a
f ′ (x) 2 dx, se f(a) = f(b) = 0,
dove Cab è una costante dipendente da a e b. Otteniamo
π
che dimostra l’asserto.
0
(v(x, τ) − w(x, τ)) 2 dx → 0 per µ → +∞
10.2 Approssimazione acustica per un flusso isoentropico
Scriviamo le equazioni di Eulero per il fluido isoentropico ed isolato (b = 0) nella forma
⎧
⎪⎨
∂
ρ + div[ρu] = 0
∂t
⎪⎩
∂
ρ u + u · ∇u = −∇p(ρ).
∂t
(10.9)
con ρ ↦→ p(ρ) differenziabile e con derivata prima p ′ (ρ) strettamente positiva. Per fissare
le idee si può pensare p(ρ) = Aρ γ con A > 0 e γ > 1. Sia ρ(x, 0) = ρ0 + δρ1(x, 0),
2 La dimostrazione di questa disuguaglianza è un utile esercizio di analisi. Una dimostrazione nel caso
multidimensionale si può trovare ad esempio nel già citato libro di Evans.

146 CAPITOLO 10. ALCUNI LIMITI IDRODINAMICI
u(x, 0) = δu1(x, 0) con ρ0 una costante positiva e δ > 0 una costante piccola. Cerchiamo
una soluzione espressa nella forma
ρ(x, t) = ρ0 + δρ1(x, t) + O(δ 2 )
u(x, t) = δu1(x, t) + O(δ 2 ).
Sostituendo tali relazioni nella prima delle (10.9) e pensando sempre a δ come ad una
costante piccola, si ha
δ∂tρ1 + δρ0divu1 = O(δ 2 ),
e quindi, dividendo per δ e mandando δ → 0,
∂tρ1 + ρ0divu1 = 0. (10.10)
Effettuando lo stesso procedimento nella seconda delle (10.9) si ottiene
ρ0∂tu1 + p ′ (ρ0)∇ρ1 = 0. (10.11)
Differenziando la (10.10) rispetto ad t ed applicando l’operatore di divergenza alla (10.11)
si ottiene
∂ 2 ttρ1 − p ′ (ρ0)∆ρ1 = 0.
Quindi ρ1 soddisfa l’equazione delle onde con velocità c = p ′ (ρ0), detta velocità del suono.
In questo caso ρ1 è detta anche onda di compressione.
10.3 Limite incompressibile per il flusso isoentropico
Fissiamo un dominio spaziale limitato Ω con frontiera regolare, ed imponiamo la condizione
al contorno u · n = 0 (no flux condition). Tale condizione implica che nessuna particella
di fuido sta uscendo dal dominio. Introduciamo una lunghezza tipica L (ad esempio il
diametro del dominio spaziale), una velocità tipica V (ad esempio il massimo del modulo
della velocità iniziale), un tempo tipico τ (ad esempio il tempo necessario per attraversare
il dominio con velocità V e quindi τ = L/V . Abbiamo inoltre già una densità tipica
ρ0 ≡ R e in conseguenza una pressione tipica P = p(R). Introduciamo allora le variabili
adimensionali
x ′ = x
L
t ′ = t
τ
u ′ = u
V
ρ ′ = ρ
R
p ′ = p
P
= uτ
L
= p
p(R) .

10.3. LIMITE INCOMPRESSIBILE PER IL FLUSSO ISOENTROPICO 147
Sostituendo tali espressioni nelle equazioni di Eulero isoentropiche
⎧
⎪⎨
∂
ρ + div[ρu] = 0
∂t
⎪⎩
∂
ρ u + u · ∇u = −∇p(ρ),
∂t
(10.12)
usando le nuove variabili indipendenti x ′ , t ′ anzichè x, t, ciascun termine verrà moltiplicato
per una costante dipendente dalle grandezze tipiche sopra introdotte. Alla fine, rimuovendo
gli apici (e rinominando quindi tutte le variabili) si ottiene il seguente sistema riscalato
con
⎧
⎪⎨
∂
ρ + div[ρu] = 0
∂t
⎪⎩
∂
ρ u + u · ∇u = −λ
∂t 2 ∇p(ρ),
λ = c
1
V γA ,
(10.13)
ove p(ρ) = Aργ e dove c = p ′ (R) è la velocità del suono. Il numero λ appena definito
è detto numero di Mach. Il limite incompressibile corrisponde a velocità V molto piccole
rispetto a c e quindi λ → +∞. È conveniente riscrivere le (10.13) usando p come incognita
invece di ρ. A tale scopo basta moltiplicare la prima equazione per p ′ (ρ) ed usare
ρp ′ (ρ) = Aγρ γ = γp(ρ),
per ottenere ⎧
⎪⎨ ∂
p + u · ∇p + γpdivu = 0
∂t
⎪⎩
∂
1
u + u · ∇u = −λ2
∂t ρ(p) ∇p,
(10.14)
con ρ(p) = (Ap) 1/γ .
Il nostro scopo è ora quello di ottenere il limite (formale) per λ → +∞ delle soluzioni
del sistema (10.14) mediante il seguente metodo di espansione. Scriviamo le variabili p ed
u come sviluppi di potenze di λ −1 , ovvero
p = p0 + λ −1 p1 + λ −2 p2 + O(λ −3 ),
u = u0 + λ −1 u1 + λ −2 u2 + O(λ −3 ).
Sostiuendo tali sviluppi nella seconda delle (10.14) ed uguagliando i coefficienti delle potenze
di λ (per lo stesso motivo per cui abbiamo uguagliato i coefficienti di δ nel paragrafo
precedente, ovvero dividendo l’equazione per un opportuna potenza di λ e mandando
λ → +∞) otteniamo:
λ 2 : ∇p0 = 0
λ 1 : ∇p1 = 0
λ 0 : ∂tu0 + u0 · ∇u0 = −ρ(p0) −1 ∇p2. (10.15)

148 CAPITOLO 10. ALCUNI LIMITI IDRODINAMICI
Sostituendo nella prima delle (10.14) si ottiene invece
λ 0 : ∂tp0 + u0 · p0 + γp0divu0 = 0
λ 1 : ∂tp1 + u0 · p1 + u1 · p0 + γp0divu1 + γp1divu0 = 0. (10.16)
Le prime due delle (10.15) implicano che p0 e p1 non dipendono da x, ma possono dipendere
da t. Usiamo tale informazione nella prima delle (10.16), integrata su Ω. Dal teorema di
Gauss applicato ai campi p0u1 e p1u0, dalle condizioni al bordo e dal fatto che p0 non
dipende da x, si ha
0 = ∂tp0dx = ∂tp0(t).
Ω
Pertanto p0 non dipende neanche da t. Inoltre, avendo provato che le derivate di p0 sono
tutte nulle, abbiamo anche divu0 = 0. La seconda delle (10.15) e le precedenti informazioni
riducono la (10.16) a
∂tp1 + γp0divu1 = 0.
ed un argomento analogo al precedente (usando anche div(g(p0)u1) = g(p0)divu1 dato che
g(p0) non dipende da x) mostra che ∂tp1 = 0 e divu1 = 0. In conclusione, nel sistema
(10.14) rimangono solo i termini all’ordine λ 0 più termini infinitesimi per λ grande. Di
conseguenza, supponendo che tutte le funzioni presenti nelle espansioni precedenti siano
limitate ed abbiano derivate limitate, si ottiene il seguente sistema limite per λ → +∞:
divu0 = 0
∂tu0 + u0 · ∇u0 = −∇ˆp,
ove abbiamo denotato ˆp = ρ(p0) −1 p2. Il sistema precedente è evidentemente il sistema
di equazioni di Eulero incompressibili (7.16). Quanto appena esposto mostra come le
equazioni di Eulero incompressibili sono da considerarsi come una buona approssimazione
per un flusso compressibile con velocità rispetto alla velocità del suono.
10.4 Limite diffusivo in un mezzo poroso
Consideriamo ancora le equazioni di Eulero per un fluido comprimibile isoentropico. Stavolta,
supponiamo che il moto del fluido avvenga in presenza di un mezzo poroso. Tralasciando
i dettagli matematici, possiamo dedurre (con buona approssimazione) che la porosità del
mezzo provochi un attrito lineare direttamente proporzionale alla velocità e alla densità.
Tale fenomeno contribuisce alla formulazione della legge di bilancio dell’impulso mediante
un termine di damping −ρu. Il segno meno tiene conto del fatto che la forza agente
sull’elemento di fluido è di tipo dissipativo. Otteniamo dunque le equazioni
⎧
⎪⎨
∂
ρ + div[ρu] = 0
∂t
⎪⎩
∂
(10.17)
ρ u + u · ∇u + ∇p(ρ) = −ρu,
∂t

10.4. LIMITE DIFFUSIVO IN UN MEZZO POROSO 149
con p(ρ) = Aρ γ , A > 0, γ > 1. Ci poniamo a questo punto il problema di determinare il
comportamento delle soluzioni per tempi lunghi. Almeno ad un livello formale, questo può
essere fatto riscalando le variabili indipendenti nel modo seguente
x = y τ
, t = ,
ɛ ɛ2 ove ɛ > 0 è un parametro destinato ad essere mandato a zero al limite (il che implica che
il tempo cresce più velocemente dello spazio). Coerentemente con l’analisi dimensionale
delle variabili in gioco, studieremo quindi il comportamento delle nuove funzioni
ρ ɛ
y τ
(y, τ) = ρ , = ρ(x, t)
u ɛ (y, τ) = 1
ɛ u
ɛ
ɛ 2
y τ
,
ɛ ɛ2
= 1
u(x, t).
ɛ
Sostituendo tali variabili nelle equazionie (10.17), otteniamo il nuovo sistema riscalato
⎧
⎪⎨
∂
⎪⎩
∂t ρɛ + div[ρ ɛ u ɛ ] = 0
ɛ 2 ρ ɛ
∂
∂t uɛ + u ɛ · ∇u ɛ
+ ∇p(ρ ɛ ) = −ρ ɛ u ɛ .
(10.18)
Consideriamo ora il limite per ɛ → 0, detto limite diffusivo in quanto le variabili
indipendenti sono riscalate nel modo in cui l’equazione del calore resta invariata (vedi
capitolo 2, paragrafo 2.1.5). Supponendo come nel paragrafo precedente che le incognite ρ ɛ
e u ɛ siano limitate ed abbiano tutte le derivate prime limitate (la supposizione di tali ipotesi
a priori si esprime dicendo che l’operazione che stiamo effettuando è un limite formale),
otteniamo il seguente sistema limite
⎧
⎨ ∂
ρ + div[ρu] = 0
∂t
⎩
∇p(ρ) = −ρu.
(10.19)
La seconda delle equazioni precedenti è detta legge di Darcy. Essa esprime il fatto che
l’impulso è irrotazionale, il che si esprime anche dicendo che il flusso limite è di tipo
gradiente. Sostituendo la seconda equazione nella prima otteniamo una unica equazione
ρt = ∆p(ρ),
ovvero una equazione di diffusione non lineare, che nel nostro caso è proprio l’equazione
dei mezzi porosi ricavata nel paragrafo 2.3. Dunque, quanto appena esposto ci dice che
l’equazione dei mezzi porosi approssima il flusso isentropico in un mezzo poroso di un fluido
comprimibile in una scala diffusiva.

150 CAPITOLO 10. ALCUNI LIMITI IDRODINAMICI

Capitolo 11
Fenomeni di radiazione termica in un
gas
11.1 Concetti introduttivi
In questa sezione integreremo le equazioni di un fluido comprimibile con la descrizione
degli effetti della radiazione termica ad alte temperature sul bilancio dell’energia. Il risultato
sarà dato da un sistema di equazioni per il flusso di un gas irradiante. Iniziamo
con l’osservazione fisica che un gas ad altissime temperature produce energia sotto forma
di radiazione elettromagnetica. Prima di descrivere tali effetti in dettaglio, richiamiamo
alcune nozioni riguardanti le radiazioni elettomagnetiche. Come è noto, il campo elettromagnetico
si propaga sotto forma di onde, ovvero di segnali periodici aventi una frequenza
ν ed una lunghezza d’onda λ, legati tra loro mediante la relazione λν = v, ove v è la
velocità di propagazione dell’onda (velocità della luce c nel caso del vuoto). Nel seguito
considereremo mezzi con indice di rifrazione v/c prossimo all’unità, cosicché la velocità di
propagazione può essere supposta pari a c. Dato che i meccanismi di emissione di energia
dovuta all’agitazione termica avvengono su scala microscopica, è necessario usare il punto
di vista della meccanica quantistica, secondo cui l’energia di radiazione si propaga tramite
fotoni, la cui energia dipende dalla frequenza mediante la relazione
E = hν,
dove h è la costante di Planck.
Un campo di radiazione in una regione di spazio può essere descritto mediante una
funzione di distribuzione che esprima localmente la quantità di fotoni. Più precisamente,
data una posizione r ∈ R 3 , dato un tempo t ≥ 0, dato un vettore Ω ∈ S 1 , dato un valore
ν della frequenza, la quantità
f(ν, r, Ω, t)dνdrdΩ
indica il numero di fotoni nell’intervallo di frequenza [ν, ν + dν], contenuti al tempo t
nell’elemento di volume dr centrato in r ed aveni una direzione di propagazione contenuta
1 S indica qui il bordo della sfera unitaria di R 3 .
151

152 CAPITOLO 11. FENOMENI DI RADIAZIONE TERMICA IN UN GAS
nella porzione infinitesima di angolo solido dΩ centrata attorno ad Ω. La funzione f è
la funzione di distribuzione. Dato che l’energia di un fotone è nν e la sua velocità è c,
l’energia irradiante nell’intervallo spettrale dν, passante per l’unità di tempo dt attraverso
l’unità di superficie dS, con direzione contenuta nell’angolo solido dΩ centrato in Ω è pari
a
hνfdΩdrdν
= hνcfdΩdν =: Iν(r, Ω, t)dνdΩ,
dtdS
ove abbiamo usato c = dx/dt e dr = dSdx. La quantità Iν precedente è detta intensità
spettrale di radiazione. Il campo di radiazione è interamente determinato dalla funzione Iν
o dalla funzione di distribuzione f.
Data ora una superficie unitaria con versore normale n, vogliamo determinare il flusso
dell’energia spettrale attraverso essa. Immaginando di osservare la superficie elementare
posta in verticale, con n rivolto verso destra (ν ortogonale alla direzione di osservazione), i
fotoni attraversano la superficie in entrambe le direzioni. La quantità di energia che fluisce
da sinistra a destra per unità di tempo nell’intervallo spettrale dν è pari a
S + f cos θdΩ,
ove con S + abbiamo indicato l’emisfero destro della superficie unitaria e dove θ è l’angolo
formato da n e dalla direzione dei fotoni Ω. L’itegrale della stessa quantità su S− (emisfero
sinistro) darà come risultato il flusso passante da sinistra verso destra. Poichè cos θ ha
segno opposto a destra ed a sinistra, l’energia che fluisce attraverso la superficie unitaria
sarà pari a
Sν(r, t, n) = hνc f cos θdΩ = Iν cos θdΩ.
S
Possiamo definire anche il vettore flusso di energia
S
Sν = IνΩdΩ,
la cui componente lungo n è data da Sν(r, t, n). Le quantità
I =
+∞
0
S
Iνdν, S =
+∞
0
Sνdν,
rappresentano rispettivamente l’intensità ed il flusso di radiazione integrato lungo tutto lo
spettro delle frequenze.
11.2 L’equazione del ‘radiative transfer’
Vogliamo scrivere una legge di bilancio che descriva l’evoluzione nel tempo della quantità
Iν. A tal proposito, consideriamo un cilindro con basi dσ ed altezza ds diretta lungo Ω,
centrato in r. Una quantità di radiazione Iν(Ω, r, t)dσdt fluisce tra le due basi del cilindro
durante il tempo dt. La variazione totale nel tempo dell’intensità Iν va calcolata tenendo
conto che Iν dipende da r e da t. Derivando totalmente, detta s l’ascissa nella direzione
dell’asse Ω, si ha
dIν = ∂Iν
∂t
∂Iν ∂Iν ds ∂Iν
dt + ds = +
∂s ∂t c ∂s ds.

11.2. L’EQUAZIONE DEL ‘RADIATIVE TRANSFER’ 153
Ovviamente, la derivata direzionale ∂Iν
∂s è pari al prodotto scalare Ω · ∇Iν. In virtù di ciò
si ha
Iν(Ω, r, t)dσdt = 1
∂Iν
c ∂t
+ cΩ · ∇Iν
dsdσdt.
Vogliamo ora brevemente descrivere i meccanismi responsabili dell’aumento o della
diminuzione dei fotoni (dati la posizione, la frequenza, l’angolo solido, etc). Nei sistemi
atomici, i fotoni vengono assorbiti o emessi durante le transizioni da uno stato energetico
degli elettroni ad un altro. L’assorbimento di un fotone si accompagna ad una eccitazione
di un atomo (o di una molecola). Quando l’energia del fotone è superiore all’energia che
l’elettrone necessita per passare al successivo livello energetico (energia di soglia), tale
passaggio avviene. Se questa energia supera l’energia che lega l’elettrone al nucleo, allora
l’elettrone diventa libero (fotoionizzazione). L’energia in eccesso si converte in energia
cinetica dell’elettrone. D’altra parte, qualora un elettrone venga eccitato senza liberarsi dal
nucleo, il suo nuovo stato energetico è instabile, il che produce un decadimento spontaneo
verso stati di energia più bassa. Ciò provoca l’emissione di energia elettromagnetica, e
quindi di fotoni. Quelli appena descritto sono solo alcuni dei fenomeni di interazione
tra radiazione e materia. Ad esempio, la teoria della meccanica quantistica ci dice che
l’emissione di un fotone ad una data energia dipende anche dalla presenza nelle vicinanze
di altri fotoni con la stessa energia. Sempre dalla meccanica quantistica (tralasciamo i
dettagli), sappiamo che l’aumento di radiazione emessa nel cilindro durante il tempo dt è
pari a
jν
1 + c2
Iν dσdsdt.
2hν3 D’altra parte, la radiazione assorbita durante lo stesso intervallo di tempo è
kνIνdσdsdt.
I coefficienti jν e kν sono detti rispettivamente coefficiente di radiazione assorbita e coefficiente
di radiazione emessa. In virtù di ciò, una prima espressione dell’equazione del
‘radiative transfer’, ovvero l’equazione che regola la variazione nel tempo di Iν è data da
1 ∂Iν
c ∂t
+ cΩ · ∇Iν = jν
1 + c2
Iν − kνIν.
2hν3 Per semplificare il secondo membro dell’equazione precedente, può essere utile analizzare
la situazione di equilibrio termo–radiattivo. Tale situazione è caratterizzata dal fatto che il
numero di fotoni emessi dal mezzo per unità di tempo, di volume e di frequenza, nell’angolo
solido dΩ è esattamente uguale all’energia irradiante assorbita. L’intensità spettrale di
energia nel caso di equilibrio radioattivo fu ricavata da Planck ai tempi dei primi sviluppi
della teoria dei quanti. Essa è data da
Iν,p = 2hν3
c 2
1
e hν
kT − 1 ,

154 CAPITOLO 11. FENOMENI DI RADIAZIONE TERMICA IN UN GAS
dove k è la costante di Boltzmann e T è la temperatura. Dato che all’equilibrio il mezzo
è isotropo, il flusso totale di energia irradiante attraverso una superficie piana è nullo, il
che implica che il flusso da destra verso sinistra compensa il flusso da sinistra verso destra.
Integrando su un emisfero, otteniamo la seguente espressione per il flusso all’equilibrio
Sν.p = 2hπν3
c 2
1
e hν
kT − 1 .
Integrando sulle frequenze su [0, +∞) (tralasciamo i calcoli), si ha
Sp :=
+∞
0
Sν,pdν = σT 4 , σ = 2π5 K 4
15c2 , (11.1)
h3 ove σ è detta costante di Stefan–Boltzmann.
Dato che all’equilibrio il secondo membro dell’equazione differenziale precedentemente
ricavata deve essere nullo, ponendo Iν = Iν,p si ottiene la relazione
jν
kν
=
Iν,p
1 + (c 2 /2nν 3 )Iν,p
= 2hν3 hν
e− kT .
c2 Questa relazione è detta relazione di Kirchhoff. A seguito di ciò, l’equazione diventa
1 ∂Iν
hν
−
+ cΩ · ∇Iν = jν − kν(1 − e kT )Iν. (11.2)
c ∂t
Ponendo k ′ hν
−
ν = kν(1 − e kT ) ed imponendo ancora la condizione di equilibrio si ottiene
e dunque (11.2) diventa
1 ∂Iν
c ∂t
jν = k ′ νIν,p,
+ cΩ · ∇Iν
Nell’ipotesi di quasi–stazionarietà ∂tIν = 0 si ottiene
Integrando rispetto ad Ω su tutto l’angolo solido si ha
∇ · Sν = k ′ ν4πIν,p − k ′ ν
= k ′ ν(Iν,p − Iν). (11.3)
∇ · (ΩIν) = k ′ ν(Iν,p − Iν). (11.4)
IνdΩ = k ′ ν4Sν,p − k ′ ν
IνdΩ. (11.5)
Moltiplicando la (11.4) per Ω ed integrando in dΩ si ha (usando il fatto che Iν,p non dipende
da Ω)
Ω(Ω · ∇Iν)dΩ = −k ′ νSν.

11.3. APPROSSIMAZIONE DIFFUSIVA 155
Supponiamo a questo punto che Iν sia approssimativamente indipendente dall’angolo Ω
(approssimazione di Milne–Eddington). Otteniamo (con buona approssimazione)
k
ΩiΩk∂xk IνdΩ =
k
∂xk Iν
ΩiΩkdΩ =
per ogni indice i, il che in forma vettoriale ci dice che
Ω(Ω · ∇Iν)dΩ = 4π
3 ∇Iν,
ovvero
Sν = − 4π
3k ′ ∇Iν,
ν
k
∂xkIν 4π
3 δik = 4π
3
che sostituita nella (11.5) (applicando l’operatore di gradiente) ci dà
−∇divSν = −3(k ′ ν) 2 Sν + k ′ ν4π∇Iν,p = −3(k ′ ν) 2 Sν + 4k ′ ν∇Sν,p.
∂xi Iν,
Infine, integrando sullo spettro di frequenze [0, +∞) e ricordando la (11.1) si ottiene
−∇divS = −3(k ′ ν) 2 S + 4k ′ νσ∇T 4 . (11.6)
L’equazione precedente è nonlineare in T . Spesso, dato che le temperature in gioco sono
molto alte (quindi lontane dallo zero), si usa un’approssimazione lineare per l’equazione
precedente data da
−∇divS = −3(k ′ ν) 2 S + 16k ′ νσT 3 0 ∇T,
ove T0 è una temperatura tipica attorno alla quale stiamo linearizzando. Dato che S
rappresenta un flusso di energia per unità di tempo, l’equazione precedente può essere
combinata con le equazioni di un gas ideale ove il termine divS nella legge di bilancio
dell’energia sostituisca il termine di flusso di calore. Ovvero, considereremo il sistema di
equazioni
⎧
ρt + div(ρu) = 0
⎪⎨ (ρu)t
+ div(ρu ⊗ u + pI) = 0
ρ e +
⎪⎩
|u|2
+ div ρu e + 2
t
|u|2
2
−∇divS + aS + b∇T = 0,
ove a e b sono opportune costanti positive.
11.3 Approssimazione diffusiva
+ pu = −divS
(11.7)
Consideriamo la quarta equazione del sistema precedente (11.7). Per semplicità supponiamo
le costanti a e b uguali ad 1 (si possono sempre riscalare le variabili dipendenti e rino-

156 CAPITOLO 11. FENOMENI DI RADIAZIONE TERMICA IN UN GAS
minarle in modo opportuno). Ponendo r = divS ed applicando l’operatore di divergenza,
si ha
−∆r + r = −∆T.
Il nostro scopo è di risolvere l’equazione precedente in r. Riscriviamola nel modo seguente,
−∆v + v = −T v := r − T. (11.8)
Per risolvere l’equazione precedente consideriamo il seguente problema di Cauchy per
l’equazione del calore
wt = ∆w
w(x, 0) = −T (x).
Definiamo la trasformata di Laplace di w rispetto al tempo calcolata in 1
Integrando per parti, si ha
∆v =
+∞
0
e −t ∆w(x, t)dt =
v(x) =
+∞
0
+∞
0
e −t wtdt =
e −t w(x, t)dt.
+∞
0
e −t w(x, t)dt + e −t w| t=+∞
t=0
= v + T,
ovvero v è soluzione dell’equazione (11.8). Risolvendo l’equazione del calore secondo la
formula data nel paragrafo 2.1.6, si ha
w(x, t) = −
1
(4tπ) n/2
|x−y|2
−
e 4t T (y)dy,
e di conseguenza
v(x, t) = − 1
(4π) n/2
+∞
0
R n
R n
|x−y|2
−t− e 4t
tn/2 T (y)dy.
La formula precedente si può alleggerire definendo il potenziale di Bessel
B(x) =
1
(4π) n/2
+∞
e
0
|x|2
−t− 4t
dt.
tn/2 Il potenziale di Bessel è una funzione positiva radiale con massa unitaria (esercizio).
Ricordando (11.8) e la definizione di v si ha
v(x, t) = −[B ∗ T ](x, t), r(x, t) = T (x, t) − [B ∗ T ](x, t).
Come conseguenza di quanto appena mostrato, la legge di bilancio dell’energia (nel caso
del gas perfetto) diventa
3
2 ρ
∂T
+ u · ∇T + ρT divu = −T (x, t) + [B ∗ T ](x, t). (11.9)
∂t

11.3. APPROSSIMAZIONE DIFFUSIVA 157
Ci proponiamo di esaminare il comportamento dell’equazione (11.9) su scala diffusiva, in
modo analogo a quanto fatto nella sezione 10.4. Poniamo
x = x τ
, t =
ɛ ɛ , T ɛ (y, τ) = 1
ɛ T (x, t), uɛ (y, τ) = 1
u(x, t).
ɛ
Ridefiniamo il potenziale di Bessel riscalato
L’equazione (11.9) diventa
3
2 ρ
ɛ ∂T
∂τ + uɛ · ∇yT ɛ
R n
B ɛ (ξ) = 1
B
ɛn
ξ
.
ɛ
+ ρT ɛ divyu ɛ = − 1
ɛ 2 [T ɛ − [B ɛ ∗ T ɛ ]] .
Analizziamo il termine a secondo membro, utilizzando Bɛ (x)dx = 1
− 1
ɛ2 [T ɛ − [B ɛ ∗ T ɛ ]] (y, t) = − 1
ɛ2
Rn = − 1
ɛ2
Rn 1
z
B [T
ɛn ɛ
ɛ (y) − T ɛ
z
(y − z)]dz = ξ
ɛ
= 1
ɛ2
Rn B(ξ)[T ɛ (y − ɛξ) − T ɛ (y)]dξ
= 1
ɛ2
B(ξ) −ɛξ · ∇T ɛ
2 ∂
(y) + ɛ ξiξj
2T ɛ (y)
+ O(ɛ
∂ξi∂ξi
3
) dξ.
i,j
B ɛ (z)[T ɛ (y) − T ɛ (y − z)]dz
Poichè B è una funzione pari, gli integrali di ξiB(ξ) e di ξiξjB(ξ) sono tutti nulli tranne
questi ultimi nei casi i = j. Per cui otteniamo
− 1
ɛ 2 [T ɛ − [B ɛ ∗ T ɛ ]] (y, t) =
Rn B(ξ)|ξ| 2 ∆T ɛ (y)dξ + O(ɛ) = C∆T ɛ (y) + O(ɛ),
ove C =
Rn B(ξ)|ξ| 2dξ > 0. Mandando al limite ɛ → 0 vediamo dunque che tutto il
secondo membro tende formalmente al termine C∆T , e l’equazione formale al limite è
data
3
2 ρ
∂T
+ u · ∇T + ρT divu = C∆T,
∂t
ovvero un’equazione con un termine di diffusione nella temperatura (come nel caso del
fluido viscoso). Quanto dimostrato ci dice che in scala diffusiva la presenza dell’energia
irradiante si approssima bene con un termine diffusivo lineare.

158 CAPITOLO 11. FENOMENI DI RADIAZIONE TERMICA IN UN GAS

Appendice A
Alcuni richiami di analisi e di
geometria.
A.1 Distanze, norme e topologia.
Lo spazio vettoriale R n è l’insieme dei vettori di n coordinate reali, dotato delle operazioni
di somma vettoriale e prodotto per uno scalare. Dati due vettori
X, Y ∈ R n , X = (x1, . . . , xn), Y = (y1, . . . , yn),
la distanza euclidea tra X ed Y è definita da
d(X, Y ) = (x1 − y1) 2 + . . . + (xn − yn) 2 .
Geometricamente, essa esprime la lunghezza del segmento che unisce i punti aventi le
coordinate di X ed Y . La norma euclidea di un vettore X ∈ R n è il numero X := d(X, 0).
È evidente che d(X, Y ) = X − Y .
Esercizio A.1.1 Usando l’interpretazione geometrica della distanza euclidea tra X ed Y
come lunghezza del segmento che li unisce, dimostrare la seguente disuguaglianza triangolare:
d(X, Y ) ≤ d(X, Z) + d(Z, Y ) (A.1)
per ogni X, Y, Z ∈ R n .
Su R n è definito il prodotto scalare standard
(X, Y ) = x1y1 + . . . + xnyn,
dove xj ed yj (j=1,. . . ,n) sono le rispettive componenti dei vettori X ed Y .
Esercizio A.1.2 Usando la definizione di distanza euclidea, dimostrare la disuguaglianza
di Cauchy
|(X, Y )| ≤ XY (A.2)
per ogni X, Y ∈ R n .
159

160 APPENDICE A. ALCUNI RICHIAMI DI ANALISI E DI GEOMETRIA.
Osservazione A.1.3 Più in generale, un prodotto scalare reale è una applicazione (·, ·)
che associa ad una coppia di vettori un numero reale, soddisfacendo le proprietà
• (αX, βY ) = αβ(X, Y ), per ogni α, β ∈ R, X, Y ∈ R n ,
• (X + Y, Z) = (X, Z) + (Y, Z), per ogni X, Y, Z ∈ R n ,
• (X, Y ) = (Y, X),
• (X, X) ≥ 0 e (X, X) = 0 se e solo se X = 0.
In questo caso la (A.2) è ancora vera, ma non può essere dimostrata usando la definizione
come nel caso euclideo. Osserviamo che ogni prodotto scalare reale induce una norma ·
data da
· 2 = (X, X).
Su R 3 è definito anche il prodotto vettoriale esterno X ∧ Y . Scrivendo i vettori per
componenti X = (x1, x2, x3), Y = (y1, y2, y3), il prodotto vettoriale X ∧ Y ∈ R 3 è definito
da
X ∧ Y = (x2y3 − x3y2, y1x3 − x1y3, x1y2 − y1x2).
Dato un vettore X0 ∈ R n ed un numero reale positivo r > 0, la sfera aperta di centro
X0 e raggio r è l’insieme
B(X0, r) = X ∈ R n d(X, X0) < r .
Un sottinsieme A di R n si dice aperto se vale la seguente proprietà:
∀ X ∈ A, ∃ r > 0 B(X, r) ∈ A.
Geometricamente, un insieme A è aperto se in ogni suo punto si può centrare una sfera
di raggio arbitrario (eventualmente ‘piccolo’ se il punto è ‘vicino’ al bordo di A) tutta
contenuta in A stesso.
Un insieme C ⊂ R n si dice chiuso se il suo complementare C c = {x ∈ R n | x /∈ C} è
aperto.
Un insieme B ⊂ R n si dice limitato se esiste una sfera aperta B(0, R) che lo contiene.
Un punto X0 è un punto di frontiera (o un punto del bordo) di un insieme limitato B se
ogni sfera aperta B(X0, r) contiene punti di B e punti del suo complementare. L’insieme
dei punti di frontiera di B si indica con ∂V .
Un insieme B ⊂ R n si dice compatto se è chiuso e limitato.
Sia A ⊂ R n un aperto. Un’applicazione F : A → R m si dice continua in un punto
X0 ∈ A se per ogni ɛ > 0 esiste un δ > 0 tale che l’immagine della sfera aperta B(X0, δ)
di centro X0 e raggio δ > 0 tramite l’applicazione F è contenuta nella sfera B(F (X0), ɛ) di
centro F (X0) e raggio ɛ 1 .
F si dice continua su un sottinsieme A ′ ⊂ A se è continua in ogni punto di A ′ .
1 Ricordiamo anche che il concetto di limite di una funzione di più variabili si formula come nel caso di
una variabile, sostituendo gli ‘intorni lineari’ con le sfere aperte.

A.2. MATRICI 161
Teorema A.1.4 (Teorema di Weierstrass) Sia F : R n ⊃ B → R m un’applicazione
continua definita su un compatto B. Allora esistono due punti Xm ed XM in B tali che
F (Xm) = min
X∈B f(X), F (XM) = max
X∈B f(X),
ovvero F assume masssimo e minimo in B.
A.2 Matrici
Lo spazio vettoriale delle matrici n × n a coefficienti reali si indica con M(n, n). Su esso
sono definite le operazioni di somma, prodotto ‘righe per colonne’ e prodotto per uno
scalare. In particolare, data A ∈ M(n, n) e dato X ∈ R n (inteso come vettore ‘colonna’),
è ben definito il prodotto AX. Ogni matrice può essere trattata come un vettore di n 2
componenti, per cui potremmo definire il concetto di norma in modo analogo ad R n .
Tuttavia, nelle applicazioni è più sensata la seguente definizione di norma uniforme
A = max
X∈Rn AX. (A.3)
, X=1
Osserviamo che il massimo esiste per il teorema di Weierstrass. Osserviamo inoltre che,
per ogni matrice A ∈ M(n, n) e per ogni vettore X ∈ R n si ha
Inoltre, se A = (ai,j) n i,j=1, vale
AX ≤ AX. (A.4)
A ≤ sup |ai,j|. (A.5)
i,j=1,...,n
D’ora in avanti il simbolo di norma per una matrice è da intendersi nel senso della norma
uniforme. Una funzione t ↦→ A(t) a valori in M(n × n) si dice continua in t0 se
lim A(t) − A(t0) = 0.
t→t0
Data A ∈ M(n, n), i vettori V ∈ R n tali che AV = λV per qualche λ ∈ R si dicono
autovettori di A. I corrispondenti numeri λ si dicono autovalori. Gli autovalori possono
essere anche numeri complessi. Essi sono dati dalle soluzioni dell’ equazione caratteristica
det[A − λI] = 0,
che è di grado n. L’operazione di coniugio tramite la matrice invertibile B trasforma una
data matrice A nella matrice BAB −1 . I coefficienti del polinomio caratteristico sono invarianti
per coniugio, come la traccia ed il determinante. L’autospazio relativo all’autovalore
λ è la dimensione del sottospazio generato dai corrispondenti autovettori. La dimensione
dell’autospazio relativo a λ è detta molteplicità geometrica di λ. Se λ è una radice n–upla
del polinomio caratteristico, n è detto molteplicità algebrica di λ. Essa è sempre maggiore
della molteplicità geometrica. Ricordiamo che, per il Teorema fondamentale dell’algebra,

162 APPENDICE A. ALCUNI RICHIAMI DI ANALISI E DI GEOMETRIA.
ogni matrice n × n ammette n radici complesse (contate con la loro molteplicità algebrica).
Inoltre, se z ∈ C è una soluzione dell’equazione caratteristica, anche il suo coniugato z lo
è.
Una matrice A ∈ M(n, n) si dice diagonalizzabile se tutti i suoi autovalori sono reali
e la loro molteplicità algebrica è pari a quella geometrica. Quando ciò accade, esiste una
base di autovettori {V1, . . . , Vn} tali che AVj = λjVj, per ogni j = 1, . . . , n (un autovalore
λj è ripetuto tante volte quanto la sua molteplicità). Da ciò segue anche che, detta V la
matrice quadrata con colonne Vj, si ha
V −1 AV = D := diag[λ1, . . . , λn]. 2
Un richiamo speciale meritano le matrici quadrate 2 × 2. In questo caso, l’equazione
caratteristica di A è
λ 2 − (trA)λ + det A = 0.
Nel caso in cui l’equazione caratteristica ha due soluzioni reali e distinte, A è certamente
diagonalizzabile. Nel caso in cui le radici sono complesse, A è certamente non diagonalizzabile.
Nel caso in cui si ha una sola radice reale doppia λ0 si possono verificare entrambe
le situazioni, come appare chiaro dai due esempi
λ0 0
λ0 1
A = , Z = ,
0 λ0
0 λ0
ove A è diagonalizzabile (anzi, è già diagonale!) e Z non lo è.
A.3 Calcolo differenziale in più variabili
Una funzione F : R n → R m si dice lineare se essa è rappresentata da
F (X) = AX, X ∈ R n ,
con A ∈ M(n, n).
Una funzione F : R n ⊃ A → R m si dice differenziabile in un punto X0 ∈ A se essa
è approssimabile nell’intorno di X0 con una funzione lineare, con un resto infinitesimo di
ordine superiore a X − X0, ovvero se esiste una matrice A ∈ M(n, m) tale che
F (X) − F (X0) − A(X − X0)
lim
X→X0 X − X0
= 0. (A.6)
Una funzione F : R n ⊃ A → R m ammette derivata parziale j–esima nel punto X0 se
esiste finito il limite
1
lim
h→0 h (F (X0 + hej) − F (X0)) ,
2 La notazione a secondo membro indica la matrice diagonale avente λ1, . . . , λn sulla diagonale principale.

A.3. CALCOLO DIFFERENZIALE IN PIÙ VARIABILI 163
ove ej è il vettore avente tutte le componenti nulle ad eccezione della j–esima componente
uguale ad 1 3 .
Sia ora F : Rn → R 4 . La funzione derivata parziale j–esima di F associa ad ogni
punto X la derivata parziale j–esima di F in X (se esiste!). Tale funzione si indica con
∂F
∂xj . F si dice di classe C1 se tutte le sue derivate parziali cono continue.
Se una funzione F : Rn ⊃ A → Rm è differenziabile in X0, allora la matrice A in (A.6)
è data da
∂Fi
A = (X0)
∂xj
,
i=1,...,m, j=1,...,n
ove Fi, i = 1, . . . , m sono le m componenti della funzione F . La matrice A ∈ M(m, n) è
detta matrice Jacobiana di F in X0. Nel caso in cui F è un funzionale definito su Rn , la
sua matrice Jacobiana si riduce al vettore riga
∂F
∇F (X0) = (X0), . . . ,
∂x1
∂F
(X0)
∂xn
detto gradiente di F in X0.
La derivata parziale di F rispetto a xj può essere indicata con le seguenti notazioni
∂F
, ∂xj
∂xj
F, ∂jF, Fxj .
Teorema A.3.1 (Differenziale totale) Ogni funzione di classe C 1 è differenziabile.
Nel seguente teorema le due generiche componenti di un vettore di R 2 sono indicate
rispettivamente con x ed y.
Teorema A.3.2 (Teorema della funzione implicita) Sia A un aperto di R 2 . Sia F :
A → R di classe C 1 e sia X0 = (x0, y0) ∈ A con F (X0) = 0. Se la derivata parziale di F
rispetto ad y in X0 è diversa da zero, allora esistono un intervallo U ∈ R contenente x0 ed
una funzione di una variabile f : U → R derivabile in U tali che F (f(x), x) = 0 per ogni
x ∈ U. Inoltre,
f ′ (x) = − Fx
(f(x), x).
Fy
Analogamente alle derivate parziali prime (ovvero le derivate rispetto ad una sola variabile),
si definiscono le derivate parziali seconde di un funzionale F : R n → R, ottenute
derivando ulteriormente le derivate parziali prime rispetto ad una qualsiasi variabile. La
derivata parziale seconda di F rispetto ad xi ed xj si scrive nei vari modi
∂ 2 F
∂xixj
, ∂ 2 i,jF, ∂ 2 xixj , Fxi,xj .
3 ej è anche detto il j–esimo componente della base canonica di R n .
4 Una funzione a valori in R si dice anche un funzionale, mentre chiameremo spesso campo vettoriale
una funzione a valori vettoriali.

164 APPENDICE A. ALCUNI RICHIAMI DI ANALISI E DI GEOMETRIA.
La matrice Hessiana di F in X0 (se le derivate parziali seconde sono tutte ben definite) è
data da
D 2
2 ∂ F
F (X0) = (X0) .
∂xixj i,j=1,...,n
Analogamente si definiscono tutte le derivate successive. Una derivata si dice di ordine k
se vengono effettuate in tutto k derivazioni. Una funzione si dice di classe C k se tutte le
derivate di ordine k (e quindi anche quelle di ordine inferiore) sono continue.
Durante il corso faremo spesso uso degli operatori diffenziali divergenza e laplaciano.
Dato un campo vettoriale F : R n → R n , F = (F1, . . . , Fn), la divergenza di F in X0 è il
numero (se esiste)
divF (X0) =
n ∂Fj
(X0).
∂xj
Dato un funzionale f : R n → R, il laplaciano di f in X0 è il numero (se esiste)
∆f(X0) =
j=1
j=1
n ∂2f (X0),
∂xjxj
ovvero il laplaciano di f è la somma degli elementi della diagonale principale della matrice
Hessiana di f.
Una curva regolare in R n è un’applicazione
R ⊃ I ∋ t ↦→ X(t) ∈ R n
di classe C 1 tale che la sua derivata ˙ X(t) (detta anche vettore velocità) è diversa dal vettore
nullo in ogni t.
Una ipersuperficie regolare di R n è un sottoinsieme S ⊂ R n che può essere rappresentato
come
S = {X ∈ R n | F (X) = 0} ,
ove F : R n → R è un funzionale di classe C 1 tale che ∇F (X) = 0 per ogni X tale che
F (X) = 0. Ovvero, una ipersuperficie regolare è l’insieme di livello di un funzionale di
classe C 1 in cui il gradiente è non nullo. Dato un punto X ∈ S ⊂ R 3 , si può facilmente
dimostrare che il versore normale uscente ad S in X è dato da ∇f(X0)/∇f(X0).
Diremo che un insieme limitato V ⊂ R n ha un bordo regolare se l’insieme dei suoi punti
di frontiera è un ipersuperficie regolare.
Una ipersuperficie regolare di R n può essere espressa anche in forma parametrica mediante
una applicazione di classe C 1 r : R n−1 ⊃ D → R n , r = (r1, . . . , rn). I punti
dell’ipersuferficie S sono i punti dell’immagine di r, ovvero
S = {X = (x1, . . . , xn) ∈ R n | xi = ri(y1, . . . , yn−1), i = 1, . . . , n,
per qualche y = (y1, . . . , yn−1) ∈ D} .

A.4. INTEGRAZIONE 165
A.4 Integrazione
Supporremo in questa sezione che sia noto il concetto di integrale di una funzione di una
o più variabili secondo Riemann e che siano note le sue proprietà principali. Richiamiamo
qui alcuni risultati utili nel seguito del corso.
Teorema A.4.1 Sia f : A ⊂ R n → R una funzione integrabile secondo Riemann. Supponiamo
che
V
f(x)dx = 0
per ogni sottinsieme V ⊂ A. Allora esiste un insieme N ⊂ A tale che la misura di N
è zero 5 e tale che f(x) = 0 per ogni x ∈ A \ N 6 . Se in più f è continua, allora f è
identicamente nulla su A.
Teorema A.4.2 Sia F : A → B un’applicazione differenziabile ed invertibile tra due aperti
A, B ⊂ Rn . Sia f : B → R una funzione integrabile. Allora vale la seguente formula di
cambiamento di variabile
f(x)dx = f(F (y))| det ∇F (y)|dy,
ove ∇F è la matrice Jacobiana di F .
B
A
Richiamiamo brevemente il concetto di integrale di superficie in R 3 . Sia S un’ipersuperficie
regolare di R 3 espressa in forma parametrica da una mappa X : R 2 ⊃ D → R 3 ,
ovvero
S = X ∈ R 3 | X = X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D .
Sia F : R3 → R una funzione di classe C1 definita sui punti di S. Allora si definisce
l’integrale di superficie di F su S come l’integrale multiplo
F dσ := F (X(u, v))Xu(u, v) ∧ Xv(u, v)dudv,
S
D
ove i vettori Xu ed Xv denotano (coerentemente con la notazione di derivata parziale)
Xu =
∂x
∂u
∂y ∂z
, ,
∂u ∂u
, Xv =
∂x
∂v
∂y ∂z
, ,
∂v ∂v
Teorema A.4.3 (Teorema di Gauss) Sia F : R3 ⊃ V → Rn , F = (F1, F2, F3), un
campo vettoriale di classe C1 definito su un insieme aperto e limitato V ⊂ R3 avente bordo
∂V regolare. Allora vale l’identità
divF (X)dX = F · νdσ,
V
ove ν denota il versore normale uscente dalla superficie ∂V .
5 Qualora il concetto di misura non sia noto, interpretare tale affermazione come
6 Si dice in questo caso che f è nulla quasi ovunque in A
∂V
.
N
1dx = 0.

166 APPENDICE A. ALCUNI RICHIAMI DI ANALISI E DI GEOMETRIA.
Teorema A.4.4 (Teorema di Stokes) Sia F : R3 ⊃ V → Rn , F = (F1, F2, F3), un
campo vettoriale di classe C1 definito su un insieme aperto e limitato U ⊂ R3 . Sia Σ
una superficie regolare con versore normale −→ n e avente come bordo ∂Σ una curva regolare
chiusa. Allora vale
rot F ·
Σ
−→
n dσ = F · ds.
∂Σ
La quantità a primo membro si dice flusso del rotore di F attraverso Σ.
A.5 Serie di funzioni
Sia fk : R ⊃ I → R n una successione di funzioni da un intervallo I della retta reale a valori
nello spazio vettoriale R n . La serie di funzioni con termine generico fk è la somma infinita
f(t) :=
∞
fk(t). (A.7)
k=0
La funzione f(t) è definita solo per quei t ∈ I tali che la corrispondente serie (di vettori)
∞
k=0 fk(t) è convergente (ovvero convergono le singole serie numeriche date dalle n componenti).
Tale insieme di valori di t è detto insieme di convergenza puntuale. In alcune
applicazioni si utilizzano nozioni più forti di convergenza, quali la convergenza uniforme
e quella totale. La serie (A.7) si dice convergere uniformemente al limite f(t) su un dato
sottoinsieme J ⊂ I se
lim
k→∞ sup
k
f(t)
− fk(t) = 0.
t∈J
La serie (A.7) si dice convergere totalmente su J ⊂ I se la serie numerica
∞
k=0
i=0
sup fk(t)
t∈J
converge. Ovviamente la convergenza uniforme su J implica la convergenza puntuale su
ogni punto di J.
Tutte le definizioni date (così come tutti i risultati richiamati in questa sezione) si
generalizzano banalmente al caso in cui le funzioni fk siano a valori nello spazio vettoriale
delle matrici n × n. In tal caso, la norma euclidea · è sostituita dalla norma uniforme
dello spazio delle matrici quadrate definita nella (A.3). La convergenza totale nel caso delle
matrici è detta convergenza in norma.
Teorema A.5.1 Ogni serie di funzioni totalmente convergente su un insieme J è ivi
uniformemente convergente.
Teorema A.5.2 Sia ∞
k=0 fk(t) una serie di funzioni con fk funzione continua per ogni
intero k. Supponiamo che la serie converga uniformemente su J. Allora la somma della
serie è una funzione continua su J.

A.5. SERIE DI FUNZIONI 167
Teorema A.5.3 (Passaggio al limite sotto integrale) Sia ∞
k=0 fk(t) una serie di funzioni
uniformemente convergente su I ad una somma f(t). Sia J ⊂ I. Allora
J
f(t)dt =
∞
k=0
J
fk(t)dt.
Una conseguenza dei due teoremi precedenti è in seguente
Teorema A.5.4 (Teorema di derivazione di una serie) Sia ∞
k=0 fk(t) una serie di
funzioni uniformemente convergente su I ad una somma f(t). Supponiamo che fk è di
classe C 1 su I per ogni intero k e supponiamo che la serie delle derivate prime converga
uniformemente su I alla funzione g(t), ovvero
g(t) =
∞
f ′ k(t).
k=0
Allora anche f è di classe C 1 e si ha g(t) = f ′ (t).
Una serie di potenze è una serie di funzioni ciascuna rappresentata da un monomio,
ovvero
∞
Ckt k .
k=0
Ogni serie di potenze ha un raggio di convergenza r, tale che per |t| < r la serie converge.
Eventualmente r può essere infinito. Si può dimostrare che ogni serie di potenze converge
totalmente su ogni insieme del tipo |t| ≤ r1 < r. Un esempio importante di serie di potenze
è la serie esponenziale
∞
k=0
Si può dimostrare che il raggio di convergenza di tale serie è infinito e che la somma della
serie in t ∈ R è dato da e t . Il tipico esempio di serie di potenze è dato dalla serie di taylor:
sappiamo dall’ Analisi 1 che se una funzione f : R → R ammette n derivate continue in
un punto x0, allora vale lo sviluppo di Taylor
f(x) = f(x0) + f ′ (x0)(x − x0) + f ′′ (x0)
2!
con
lim
x→x0
t k
k! .
(x − x0) 2 + . . . + f (n) (x0)
(x − x0)
n!
n + Rf,x0,n(x),
Rf,x0,n(x)
= 0.
(x − x0) n
Nel caso in cui una funzione sia derivabile infinite volte (di classe C ∞ ), lo sviluppo di
Taylor diventa una somma di infiniti termini, detta serie di Taylor. Se esiste un intrevallo
aperto contenente x0 tale che in ogni suo punto x la serie di Taylor centrata in x0 converge
ad f(x), allora la funzione f si dice analitica in x0. Più precisamente, una funzione f di

168 APPENDICE A. ALCUNI RICHIAMI DI ANALISI E DI GEOMETRIA.
classe C∞ si dice analitica in x0 se esiste un intervallo I = (x0 − δ, x0 + δ) tale che per ogni
punto x ∈ I si ha
∞ f
f(x) =
(n) (x0)
(x − x0)
n!
n .
n=0
Quando ciò accade si dice anche che f è sviluppabile in serie di potenze. Una situazione
in cui questo avviene è ad esempio nel caso di f(x) = e x , x0 = 0.
A.6 Serie di Fourier
Sia data una funzione reale f : [0, l] → R, l ∈ R. Supponiamo che f sia continua e di classe
C 1 su [0, l]. Allora è possibile sviluppare f in ogni punto di [0, l] come serie di funzioni
trigonometriche. Ovvero,
con
per ogni n ≥ 1 e
f(x) = a0 +
an = 2
l
f(x) cos
l 0
∞
2πnx
an cos +
l
n=1
2πnx
l
∞
2πnx
bb sin ,
l
n=1
dx, bn = 2
l
f(x) sin
l 0
a0 = 1
l
f(x)dx.
l 0
A.7 Equazioni differenziali ordinarie
2πnx
l
dx,
In questa sezione richiamiamo dei risultati di esistenza ed unicità di soluzioni del problema
di Cauchy
˙X = F (X)
X(0) = X0,
(A.8)
ove F : Ω → R n è un campo vettoriale, Ω è un aperto di R n ed X0 un punto di R n .
Definizione A.7.1 Sia Ω ⊂ R n un aperto. Un campo vettoriale F : Ω → R n si dice
lipschitziano su Ω se esiste una costante L > 0 tale che, per ogni coppia X, Y ∈ Ω si ha
|F (Y ) − F (X)| ≤ L|Y − X|. (A.9)
La più piccola costante L per cui vale la disuguaglianza (A.9) è della costante di Lipschitz
di F su Ω.

A.7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE 169
Esercizio A.7.2 Si può dimostrare che un campo vettoriale F di classe C 1 è localmente
Lipschitziano, nel senso che la disuguaglianza (A.9) è soddisfatta, se non su tutto l’aperto
Ω, almeno su tutti i suoi sottinsiemi compatti. La dimostrazione di questo fatto è un utile
esercizio per ‘ri–familiarizzare’ con il concetto di funzione differenziabile.
Suggerimenti: dati due punti X ed Y in un compatto K ⊂ Ω, costruire la funzione di una variabile
reale
[0, 1] ∋ t ↦→ f(t) = F (tx + (1 − t)y)
ed applicare il teorema del valor medio (di Analisi Uno) tra i punti t = 0 e t = 1. Usare quindi le
disuguaglianze (A.4) e (A.5) ed il teorema di Weierstrass.
Teorema A.7.3 (Teorema di esistenza ed unicità) Sia F : Ω → R n un campo vettoriale
localmente lipschitziano, Ω aperto di R n , il problema di Cauchy (A.8) ammette
un’unica soluzione locale X = X(t) definita su un intervallo I, 0 ∈ I.
Teorema A.7.4 (Teorema di esistenza globale) Nelle ipotesi del teorema precedente,
supponiamo che valga la condizione
F (Y ) ≤ AY + B,
con A, B costanti positive. Allora la soluzione t ↦→ X(t) è definita globalmente per t ∈ R.

170 APPENDICE A. ALCUNI RICHIAMI DI ANALISI E DI GEOMETRIA.

Bibliografia
• A. Milani Comparetti – Introduzione ai Sistemi Dinamici – Plus (Pisa)
• G. B. Whitham – Linear and Nonlinear Waves – Wiley Interscience.
• S. Salsa – Equazioni alle derivate parziali – Springer
• R. Esposito – Appunti delle lezioni di Meccanica Razionale – Aracne.
• H. O. Kreiss e J. Lorenz – Initial–Boundary Value Problems and the Navier–Stokes
Equations – Academic Press.
• Ya. B. Zel’dovich e Yu. P. Raizer – Physics of Shock Waves and High–Temperature
Hydrodynamic Phenomena – Dover.
• L. C. Evans – Partial Differential Equations – Springer.
171