2. Cinematica Moto rettilineo - Definizioni elementari Definito un ...
2. Cinematica Moto rettilineo - Definizioni elementari Definito un ...
2. Cinematica Moto rettilineo - Definizioni elementari Definito un ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>2.</strong> <strong>Cinematica</strong><br />
<strong>Moto</strong> <strong>rettilineo</strong> - <strong>Definizioni</strong> <strong>elementari</strong><br />
<strong>Definito</strong> <strong>un</strong> asse di riferimento “x” per la descrizione del moto di <strong>un</strong> p<strong>un</strong>to (per il momento<br />
non si considera la sua massa), si definiscono:<br />
- Legge oraria: x(t) (cioè la f<strong>un</strong>zione che associa ad ogni istante “t” (secondi) <strong>un</strong>a certa<br />
posizione “x” (metri))<br />
- Velocità media (m/s): v = x<br />
t = x(t2) x(t1) , definita dallo spostamento x<br />
t 2 t 1<br />
nell’intervallo di tempo t 2 t 1 . NOTA: si osservi la distinzione tra posizione x e<br />
spostamento x (variazione di posizione). In generale il simbolo si usa proprio per<br />
indicare variazioni, cioè <strong>un</strong>a data quantità a <strong>un</strong> certo istante meno la stessa quantità in <strong>un</strong><br />
istante precedente).<br />
x(t + t) x(t)<br />
- Velocità istantanea all’istante “t” (m/s): v(t) = lim<br />
=<br />
t 0 t<br />
dx<br />
dt = x ˙ (t)<br />
- Accelerazione media (m/s 2 ): a = v<br />
t = v(t2 ) v(t1) t2 t1 - Accelerazione istantanea (m/s 2 v(t + t) v(t)<br />
): a(t) = lim<br />
=<br />
t 0 t<br />
dv<br />
dt = v ˙ (t). NOTA: essendo<br />
v(t) = dx / dt , l’accelerazione istantanea è la derivata seconda di x(t), cioè<br />
a(t) = d dx <br />
dt dt = d 2 x<br />
dt 2 = x ˙ (t).<br />
Dalla figura si capisce che la velocità istantanea ha il significato matematico di derivata della<br />
legge oraria x(t) rispetto al tempo t. Intuitivamente, l’intervallo di tempo utile per definire la<br />
velocità istantanea deve essere abbastanza breve in modo che la velocità stessa non cambi<br />
apprezzabilmente nell’intervallo medesimo, ovvero la velocità istantanea sia praticamente<br />
uguale alla velocità media! Geometricamente, dx/dt è la tangente dell’angolo di inclinazione<br />
della retta tangente alla curva x(t) nell’istante t.
OSSERVAZIONI:<br />
- Per brevità, il rapporto incrementale che individua la velocità istantanea è indicato con<br />
dx/dt, e anche nel seguito del corso gli incrementi d(qualchecosa) indicheranno <strong>un</strong>a<br />
piccola variazione della grandezza “qualchecosa” in <strong>un</strong> intervallo di tempo infinitesimo<br />
dt.<br />
- Attenzione, dx/dt non è la stessa cosa di x/t !!!<br />
- Come vedremo, indicando le derivate come fatto ad esempio per dx/dt permette di<br />
svolgere molti calcoli in maniera semplice, trattando le quantità infinitesime dx e dt come<br />
normali grandezze algebriche<br />
Esempio: <strong>un</strong>’automobile che percorre <strong>un</strong> tratto di strada l<strong>un</strong>go 100 km in 2 ore ha <strong>un</strong>a<br />
velocità media di 50 km/h. Ciononostante, il tachimetro che indica la velocità istantanea<br />
misurando la “velocità di rotazione delle ruote”, in vari istanti l<strong>un</strong>go il percorso potrà indicare<br />
valori di velocità anche molto diversi: per esempio oltre 100 km/h in tratti rettilinei liberi e 20<br />
km/h in tratti con lavori in corso…<br />
Esempio: sia x(t)=3t 2 -2 (m), essendo t (s). La velocità media nell’intervallo 1s
Procedimento inverso: come calcolare v(t), x(t) nota l’accelerazione a(t)<br />
Questo problema permette di introdurre il concetto di “integrale” per via geometrica, in<br />
relazione a <strong>un</strong> problema fisico ben preciso.<br />
Sia nota per esempio la velocità istantanea v(t) per ogni istante in <strong>un</strong> certo intervallo 0
<strong>Moto</strong> <strong>rettilineo</strong> <strong>un</strong>iforme<br />
Velocità costante: v(t)=v0. Quindi a(t) = dv / dt =0. Al generico istante “t” si ha:<br />
<strong>Moto</strong> <strong>rettilineo</strong> <strong>un</strong>iformemente accelerato<br />
t<br />
x(t) = x(0) + v0 dt = x(0 ) + v0 t<br />
Accelerazione costante: a(t)=a 0. Al generico istante “t” si ha:<br />
OSSERVAZIONI:<br />
t<br />
0<br />
<br />
v(t) = v(0) + a0 dt = v(0) + a0 t<br />
x(t) = x(0) + v(t) dt<br />
t<br />
<br />
0<br />
0<br />
= x(0)+ v(0)t + 1<br />
2 a 0 t2<br />
- si osservi l’importanza delle condizioni iniziali x(0), v(0). Si può facilmente verificare che<br />
prendendo le derivate dx/dt e dv/dt si ottengono rispettivamente proprio le espressioni di<br />
v(t) e a 0.<br />
- Le espressioni ricavate per v e per x valgono solo per <strong>un</strong> moto ad accelerazione costante:<br />
per esempio non si applicano a <strong>un</strong> moto armonico!!!<br />
Esempio: <strong>un</strong> sasso è lanciato verticalmente verso l’alto con velocità v 0=9.8 m/s; calcolare la<br />
massima quota raggi<strong>un</strong>ta e in quanto tempo viene raggi<strong>un</strong>ta. (accelerazione di gravità g=9.8<br />
m/s 2 verso il basso)<br />
Assumendo <strong>un</strong> asse di riferimento “x” diretto verso l’alto, con origine nel p<strong>un</strong>to di partenza,<br />
abbiamo:<br />
v(t) = v 0 gt<br />
x(t) = 0 + v0 t 1<br />
2 gt2<br />
La massima quota raggi<strong>un</strong>ta corrisponde all’istante in cui la velocità cambia segno (da verso<br />
l’alto, positiva, a verso il basso, negativa), cioè t=v0/g=1 s. Messo questo valore nella legge<br />
oraria x(t) si ottiene x(1)=9.8-9.8/2=4.9 m.
<strong>Moto</strong> nel piano - Rappresentazione cartesiana del moto<br />
r<br />
Vettore posizione del p<strong>un</strong>to P: r (t) = x(t) r<br />
i + y(t) r<br />
j<br />
Il vettore posizione, al variare del tempo t, traccia la traiettoria del p<strong>un</strong>to P.<br />
y<br />
r(t)<br />
P<br />
r(t+dt)<br />
x<br />
r<br />
Il vettore velocità v (t) è tangente alla traiettoria in ogni istante, per definizione di traiettoria.<br />
Il vettore spostamento infinitesimo d r = r (t + dt) r (t) è infatti tangente alla traiettoria come<br />
si intuisce dal disegno.<br />
Assegnate le leggi orarie x(t) e y(t), essendo d r = dx r<br />
i + dy r<br />
j si calcolano direttamente:<br />
r<br />
vettore velocità v (t) = vx(t) r<br />
i + vy(t) r<br />
j = d r / dt ; vx (t) = dx / dt , vy (t) = dy / dt<br />
r<br />
vettore accelerazione a (t) = ax (t) r<br />
i + ay (t ) r<br />
j = d r<br />
v /dt ; a x (t) = dvx / dt , a y(t) = dvy / dt<br />
r r<br />
NOTA: I versori i , j non cambiano nel tempo.<br />
Viceversa, assegnato il vettore r<br />
a (t) e le condizioni iniziali del moto ( r<br />
v (0) e r (0)) si<br />
calcolano i vettori<br />
velocità<br />
posizione<br />
r<br />
v (t) = r<br />
v (0) + r<br />
a (t)dt<br />
r (t) = r (0) + r<br />
v (t) dt<br />
<br />
dr<br />
v(t)<br />
t<br />
t<br />
<br />
0<br />
= vx (0) + ax (t)dt<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
t<br />
t<br />
<br />
0<br />
= x(0)+ vx (t)dt<br />
<br />
<br />
0<br />
t<br />
r <br />
r<br />
<br />
<br />
i + vy (0) + ay (t)dt<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
j<br />
t<br />
r <br />
r<br />
<br />
<br />
i + y(0) + vy (t)dt<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
j<br />
0<br />
0
Esempio: <strong>Moto</strong> del proiettile. Consideriamo <strong>un</strong> proiettile lanciato a velocità v 0 con angolo <br />
rispetto al piano orizzontale. Calcoliamo la gittata L (massima distanza percorsa l<strong>un</strong>go “x”) e<br />
la massima altezza H raggi<strong>un</strong>ta.<br />
Essendo a y=-g, v x(0)=v 0cos, v y(0)=v 0sin, x(0)=y(0)=0 usando le relazioni scritte sopra<br />
abbiamo:<br />
v x (t) = v 0 cos ; v y(t) = v 0 sin gt<br />
x(t) = v0t cos ; y(t) = v0t sin 1<br />
2 gt2<br />
Massima gittata: quando il proiettile torna a terra, quindi y(tL)=0. Imponendo questa<br />
2<br />
condizione si ottiene tL = 2v0 sin / g , e infine L = x(t L ) = 2v0 sin cos / g . Si noti che la<br />
gittata è massimizzata per =45°.<br />
Massima quota raggi<strong>un</strong>ta nella traiettoria: quando v y(t H)=0, cioè t H = v 0 sin / g e quindi<br />
H = y(t H ) = v 0<br />
2 sin 2 <br />
2g
Rappresentazione del moto riferita alla stessa traiettoria<br />
Come sottinteso da quanto detto in precedenza, il vettore velocità istantanea può essere<br />
definito in termini del vettore spostamento infinitesimo:<br />
r<br />
v (t) = d r / dt<br />
r<br />
Come detto prima, v (t) è tangente alla traiettoria e p<strong>un</strong>ta nella direzione di avanzamento.<br />
r<br />
Definendo <strong>un</strong> versore u T (t) tangente alla traiettoria e che p<strong>un</strong>ta nella direzione di<br />
avanzamento (in generale variabile nel tempo se la traiettoria è curvilinea), si può scrivere:<br />
r<br />
v (t) = v(t) r<br />
u T (t)<br />
y<br />
O<br />
s(t)<br />
r(t)<br />
P<br />
v(t)=v(t)u T<br />
Il modulo del vettore velocità, cioè v(t) , si chiama velocità scalare e rappresenta la rapidità<br />
con cui viene percorsa <strong>un</strong>a traiettoria (è il dato indicato dal tachimetro di <strong>un</strong>’auto). Misurando<br />
la strada fatta s(t) l<strong>un</strong>go <strong>un</strong>a certa traiettoria a partire da <strong>un</strong> riferimento di partenza O, si ha:<br />
v(t) = ds / dt<br />
r<br />
Il vettore accelerazione a (t) nel piano ha invece sempre due componenti:<br />
- tangente alla traiettoria: indica se cambia la rapidità di percorrenza (es.: se cambia la<br />
velocità indicata dal tachimetro dell’auto)<br />
- normale alla traiettoria e verso l’interno della curva (“centripeta”): indica semplicemente<br />
la variazione di direzione della traiettoria (es.: <strong>un</strong>’auto in curva con velocità costante<br />
indicata dal tachimetro “sente” <strong>un</strong>’accelerazione, cioè gli occupanti si sentono “spinti<br />
ortogonalmente alla traiettoria” diversamente da quanto avviene su <strong>un</strong> <strong>rettilineo</strong> a velocità<br />
costante!)<br />
In sintesi, il vettore velocità può variare (e quindi dar luogo ad <strong>un</strong>a accelerazione) se si<br />
verifica almeno <strong>un</strong>o di questi fatti:<br />
r<br />
- cambia il modulo del vettore v (t) (“tachimetro”)<br />
r<br />
- cambia la direzione del vettore v (t), anche se il suo modulo resta costante (curva con<br />
“tachimetro che indica velocità costante”)<br />
x
Per calcolare l’espressione generale del vettore accelerazione riferito alla traiettoria<br />
definiamo alc<strong>un</strong>e quantità:<br />
- raggio di curvatura della traiettoria, R = raggio della circonferenza (di centro C) che<br />
meglio approssima la traiettoria vicino alla posizione istantanea del p<strong>un</strong>to P.<br />
r<br />
r<br />
- versore normale, u N (t) , orientato perpendicolare alla traiettoria (e quindi a u T(t) ) e<br />
diretto verso il centro C.<br />
- angolo d al centro della circonferenza associato alla percorrenza di <strong>un</strong> tratto ds = Rd<br />
r<br />
di traiettoria. Come si vede dal disegno, è lo stesso angolo di cui ruota il versore u T (t)<br />
nell’intervallo di tempo dt.<br />
Procediamo secondo la definizione:<br />
r<br />
a = dr<br />
r<br />
v d(v u T )<br />
= =<br />
dt dt<br />
dv r<br />
u T + v<br />
dt<br />
dr u T<br />
dt<br />
(si è sfruttata la regola di derivazione di <strong>un</strong> prodotto di f<strong>un</strong>zioni, che vale anche nel calcolo<br />
vettoriale, facendo attenzione al fatto che la derivata di <strong>un</strong> vettore è <strong>un</strong> vettore!)<br />
Dalla figura precedente, si ha d r<br />
u T = d r<br />
u N = (ds / R) r<br />
u N , per cui:<br />
Le due componenti di<br />
precedenza.<br />
OSSERVAZIONI:<br />
u T<br />
r<br />
a = dv r<br />
u T + v<br />
dt<br />
dr<br />
dt<br />
= dv<br />
dt<br />
r<br />
u T + v<br />
R<br />
ds<br />
dt<br />
r r r<br />
a = aT u T + aN u N = dv<br />
2<br />
r v r<br />
u T + u N<br />
dt R<br />
r<br />
a (t) hanno pertanto il significato discusso intuitivamente in<br />
- la componente normale (centripeta, ossia diretta verso il centro C) in generale c’è sempre<br />
se la traiettoria è curva (R finito e v0). Nel moto del proiettile esaminato prima<br />
evidentemente questa componente c’è sempre, diretta verso la “pancia” della parabola<br />
- la componente tangenziale è non nulla solo se la velocità scalare cambia (cioè se il<br />
“tachimetro” indica variazioni del modulo della velocità). Nel caso del moto del<br />
r<br />
u N
proiettile, questa componente è nella direzione del moto o opposta a seconda che il<br />
proiettile stia salendo o scendendo<br />
- il moto <strong>rettilineo</strong> corrisponde a R = , quindi c’è solo la componente tangenziale!<br />
<strong>Moto</strong> circolare<br />
Il raggio di curvatura R è evidentemente costante in tutti i p<strong>un</strong>ti della traiettoria<br />
(circonferenza), e il centro di curvatura è fissato. Valgono tutte le considerazioni fatte nel<br />
caso generale del moto curvilineo per le componenti dell’accelerazione.<br />
Un caso particolare è quello del moto circolare <strong>un</strong>iforme (velocità scalare costante):<br />
v(t) = v0 r<br />
a (t) = v 2<br />
0 r<br />
u N<br />
R<br />
Si noti che c’è solo accelerazione centripeta.<br />
Nel caso del moto circolare si definisce <strong>un</strong> vettore velocità angolare r<br />
:<br />
r<br />
= = d<br />
dt ,<br />
r<br />
= r<br />
k<br />
il cui modulo rappresenta la rapidità di percorrenza angolare della circonferenza (rad/s), e la<br />
cui direzione è, per definizione, normale al piano della circonferenza e secondo la regola<br />
della mano destra (dita piegate a descrivere il senso del moto e pollice che definisce il verso<br />
di r<br />
, normale al piano della circonferenza)<br />
Considerando <strong>un</strong> moto circolare (anche non <strong>un</strong>iforme) in <strong>un</strong> sistema di riferimento xyz<br />
arbitrario, si può verificare che r<br />
v = r<br />
r<br />
Si può definire anche <strong>un</strong> vettore accelerazione angolare r<br />
(rad/s 2 ):<br />
r<br />
= d v<br />
<br />
dt