Quinta Lezione

si riesce a generalizzare la dimostrazione che riporta Galileo nel caso della parabola. La seconda
invece si basa sulla considerazione dei fuochi e ha diverse applicazioni di tipo tecnologico.
Pag.7
Rapporti armonici
Consideriamo su una retta r un segmento AB e due punti C e D, il primo interno ad AB, e il
secondo esterno in modo che che:
CA DA
=
CB DB
I due punti C e D si dicono coniugati armonici in rapporto ad A e B.
É immediato che se C e D sono coniugati armonici in rapporto ad A e B, allora A e B sono
coniugati armonici in rapporto a C e D. La quaterna di punti (ABCD) costituisce una divisione
armonica.
CA DA
É chiaro che il valore comune dei due rapporti = non può essere 1, perché D deve essere
CB DB
esterno ad AB: se C è nel punto medio di AB non esiste alcun D tale che ABCD sia una divisione
armonica. Poiché però all'avvicinarsi di C al punto medio di AB, D si allontana all'infinito, si usa
dire che il punto all'infinito della retta r è il coniugato armonico del centro del segmento AB.
Vi sono molti modi per costruire, dato il segmento AB e un punto C interno al segmento il quarto
armonico. Ne suggeriamo una particolarmente semplice e che possiamo riprendere con geogebra .
• Rapporto armonico.ggb
Si costruisce dati i tre punti allineati A,B,C il quarto armonico D
Si conduca una retta s per A, formante un qualunque
angolo con la retta r (nel grafico è tracciata la
perpendicolare), e su di essa si riportino C in C' e B
in B'. Si costruisca, sempre su s, il simmetrico B'' di
B' rispetto a C'.
C'B'=C'B''
Si congiunga B'' con B e si tiri la parallela da C' a
B''B: essa interseca r nel punto D richiesto. Infatti per
il teorema di Talete
CA : CB = C'A: B''C' = DA : DB
La tangente a una ellisse con i rapporti armonici