Quinta Lezione

!
Pag.6
y 2 2 #
2 xf &
= d1 " (x " f) = % (x + f)" 2 (
$ l '
= 4xf " 4(x + f) xf
= 4f(l " f)
l 2
x(l " x)
l + 4 x2 f 2
2
" (x " f) 2 = (x + f) 2 " 4(x + f) xf
l + 4 x2 f 2
l 2 " (x " f)2 =
4xf
=
2
l l 2
l 2 ( " xl " fl + xf)
= 4xf
l 2 [ l(l " f)" x(l " f) ] =
Si vede così che la curva del giardiniere è una ellisse di lato trasvero l e lato retto
4f(l " f)
p =
l
Questo stesso calcolo ci permette di dimostrare che, viceversa una ellisse di lato trasverso l e lato
retto p (p < l) può essere tracciata ponendo due punti F1 e F2 che vengono chiamati fuochi
dell'ellisse, a una distanza d data da
!
d = l " 2f = l(l " p)
Infatti dalla relazione lp=4f(l-f), pensando p ed l come parametri e f come incognita e, tenendo
conto che f < l , troviamo
!
f 2 " fl + lp
l "
= 0 da cui f =
4
l(l " p)
2
Abbiamo fino a questo punto trovato varie grandezze associate a una ellisse legate da delle relazioni
che permettono date le une di ricavare le altre.
!
• Tavola V.4
Il lato retto è la corda perpendicolare all'asse maggiore che contiene il fuoco
Ricapitolando:
l = asse maggior =lato trsverso=AB
p = lato retto=PP'
a = asse minore = CD
d= distanza tra i due fuochi= F1F2
f= distanza vertice-fuoco =AF1=BF2
• Tavola V.5
Come costruire una aiuola ellittica conoscendo le lunghezze degli assi.
La retta tangente a una ellisse in un suo punto
!
!
!
!
p =
4f(l " f)
l
a = pl = l 2 " d 2
d = l(l " p)
l " d
f =
2
Vi sono due maniere per costruire la retta tangente a una ellissi e ognuna mette in luce aspetti
diversi. La prima, più antica, si basa sul concetto di rapporto rmonico e con questo nuovo strumento